解碼專訓(xùn)一：證比例式或等積式的技巧名師點金：證比例式或等積式，若遇問題中無平行線或相似三角形時，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布到兩個三角形或不在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似或先將它們轉(zhuǎn)化到兩個三角形中再證兩三角形相似，若不在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換．構(gòu)造平行線法1．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，DF交AC于點E，交BC的延長線于點F，求證：AE·CF＝BF·EC.(第1題)2．如圖，已知△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于點F，試證明：AB·DF＝BC·EF.(第2題)構(gòu)造相似三角形法3．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N.求證：BP·CP＝BM·CN.(第3題)三點定型法4．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.求證：AD·AB＝AE·AC.(第4題等比過渡法5．如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，作BG⊥AP于點G，交CE于點D.求證：CE2＝DE·PE.(第5題)解碼專訓(xùn)二：利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一．由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法．證明兩線段的數(shù)量關(guān)系1．如圖，已知在△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于點M，與DE交于點N.求證：BM＝MC.(第1題)證明兩線段的位置關(guān)系類型1證明兩線段平行2．如圖，已知點D為等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一點，連接CD，DE⊥CD，DE＝CD，連接CE，AE.求證：AE∥BC.(第2題)類型2證明兩線段垂直3．如圖，在△ABC中，D是AB上一點，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求證：CD⊥AB.(第3題)4．如圖，已知矩形ABCD，AD＝AB，點E，F(xiàn)把AB三等分，DF交AC于點G，求證：EG⊥DF.(第4題)解碼專訓(xùn)三：巧作平行線構(gòu)造相似三角形的技巧名師點金：解有關(guān)相似三角形題目時，常常遇到要證(或求)的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形時，我們通?？梢宰髌叫芯€構(gòu)造出相似三角形，從而使問題得以解決．巧連線段的中點構(gòu)造相似三角形1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF于點P，Q，求BP∶PQ∶QD.(第1題)過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上一點，BF∶AF＝3∶2，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E，求的值．(第2題)3．如圖，過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E.求證：AE∶ED＝2AF∶FB.(第3題)過一邊上的點作平行線構(gòu)造相似三角形4．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證：＝.(第4題)解碼專訓(xùn)四：相似與函數(shù)綜合的常見類型名師點金：圖形的相似是初中幾何的重要內(nèi)容，中考中常與其他內(nèi)容綜合考查，例如與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等結(jié)合，作為動態(tài)性問題或存在性問題出現(xiàn)．相似與一次函數(shù)的綜合1．如圖，已知直線AB的表達(dá)式為y＝－x＋30，直線AB與x軸，y軸分別交于A，B.動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平行移動(即EF∥x軸)，并且分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP.設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．(第1題)(1)求t＝15時，△PEF的面積；(2)直線EF和點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160？若存在．請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．(3)當(dāng)t為何值時，△EOP與△BOA相似．相似與反比例函數(shù)的綜合2．已知點A、B分別在反比例函數(shù)y＝(x＞0)，y＝(x＞0)的圖象上，且OA⊥OB，則的值為()(第2題)A.B．2C.D．33．(2022·赤峰)如圖，直線y＝－2x＋4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點，過點C作CD⊥x軸，點P是x軸下方直線CD上的一點，且△OCP與△OBC相似，求過點P的雙曲線表達(dá)式．(第3題)相似與二次函數(shù)的綜合4．(2022·黔南州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(0，4)和C(8，0)，P(t,0)是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB，過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點A作y軸的垂線，兩直線交于點D.(1)求b、c的值；(第4題)(2)當(dāng)t為何值時，點D落在拋物線上；(3)是否存在t，使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．5．(2022·甘孜州)如圖，已知拋物線y＝ax2－5ax＋2(a≠0)與y軸交于點C，與x軸交于點A(1，0)和點B.(1)求拋物線的表達(dá)式；(第5題)(2)求直線BC的表達(dá)式；(3)若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似(排除全等的情況)？若能，請求出所有符合條件的點N的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．解碼專訓(xùn)五：圖形的相似中五種熱門考點名師點金：相似是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考重點考查內(nèi)容之一，而針對成比例線段、相似三角形的判定與性質(zhì)、位似圖形等都是命題的熱點．比例線段及性質(zhì)1．下列各組長度的線段，成比例線段的是()A．2cm，4cm，4cm，8cmB．2cm，4cm，6cm，8cmC．1cm，2cm，3cm，4cmD．2.1cm，3.1cm，4.3cm，5.2cm2．若＝＝＝≠0，則＝________.3．如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A、B固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，則支撐點C到端點A的距離約為________(≈2.236，結(jié)果精確到0.01cm)．(第3題)平行線分線段成比例4．如圖，若AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論中，與相等的是()A.B.C.D.(第4題)(第5題)5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC為邊向三角形外作正方形ACDE，連接BE交AC于F，若BF＝cm，則EF＝________.6．如圖，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．(第6題)相似三角形的性質(zhì)與判定7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為3∶4，則△ABC與△DEF的面積之比為()A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶16(第8題)8．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE的延長線與BA的延長線交于點F，則S△AEF∶S四邊形ABCE為()A．3∶4B．4∶3C．7∶9D．9∶79．若兩個相似多邊形的面積之比為1∶4，周長之差為6，則這兩個相似多邊形的周長分別是________．10．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.(1)求證：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的長．(第10題)11．如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，點F是BC的延長線上一點，且CE＝CF，BE的延長線交DF于點M.(1)求證：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的邊長為2，求ME·MB.(第11題)相似三角形的應(yīng)用12．一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈的高度．如圖，當(dāng)李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25m，已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高度CD(結(jié)果精確到0.1m)．(第12題)13．某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm.為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF的長應(yīng)為多少？(材質(zhì)及其厚度等忽略不計)(第13題)圖形的位似(第14題)14．如圖，已知正方形ABCD，以點A為位似中心，把正方形ABCD的各邊縮小為原來的一半，得正方形A′B′C′D′，則點C′的坐標(biāo)為________．15．如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，點O和△ABC的頂點均是小正方形的頂點．(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比為1∶2；(2)連接(1)中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(結(jié)果保留根號)．(第15題)答案解碼專訓(xùn)一1．證明：過點C作CM∥AB交DF于點M，∴△CMF∽△BDF.∴＝.又∵CM∥AD，∴＝.∵D為AB的中點，∴＝.∴＝，即AE·CF＝BF·EC.2．證明：過點D作DG∥BC，交AC于點G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴＝，＝.∵AD＝CE，∴＝.∴＝.即AB·DF＝BC·EF.點撥：過某一點作平行線，構(gòu)造出“A”型或“X”型的基本圖形，通過相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解決問題．(第3題)3．證明：如圖，連接PM，PN.∵M(jìn)N是AP的垂直平分線，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴＝，即BP·CP＝BM·CN.4．證明：∵∠A＝35°，∠C＝85°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－35°－85°＝60°.∵∠AED＝60°，∴∠AED＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.∴＝，即AD·AB＝AE·AC.5．證明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴＝，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°且∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴＝，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.解碼專訓(xùn)二1．證明：∵DE∥BC，∴△NEO∽△MBO.∴＝.同理可得＝.∴＝.∴＝.∵DE∥BC，∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM.∴△ANE∽△AMC.∴＝.同理可得＝，∴＝.∴＝.∴＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.2．證明：過點C作CO⊥AB于點O，∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴＝.又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.3．證明：∵AC2＝AB·AD，∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.又∵BC2＝BA·BD，∴＝.又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∴CD⊥AB.4．證明：設(shè)AE＝EF＝FB＝AD＝k，則AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，又∵∠CGD＝∠AGF.∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.設(shè)FG＝2m，則DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝k.∴5m＝k.∴m＝k.∴FG＝k.∴＝＝，＝＝.∴＝.又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.解碼專訓(xùn)三1．解：連接DF.∵E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中點，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位線．∴DF∥AE，且DF＝AE.∴DF∥PE.∴∠BEP＝∠BFD，∠BPE＝∠BDF.∴△BEP∽△BFD.∴＝＝.∵BE＝EF，∴BF＝2BE，∴BD＝2BP，DF＝2PE.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴＝.設(shè)PE＝a，則DF＝2a，AP＝3a.∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.2．解：過點C作CG∥AB交AE的延長線于點G.∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.又∵D為CF的中點，∴CD＝DF.在△ADF和△GDC中，∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵BF∶AF＝3∶2，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥CG.∴∠B＝∠ECG，∠BAG＝∠G.∴△ABE∽△GCE.∴＝＝＝.3．證明：過點B作BN∥CF交AD的延長線于點N.∴＝，∠FCD＝∠NBD.又∵∠CDE＝∠BDN，∴△EDC∽△NDB.∴＝.∵BD＝CD，∴ED＝DN＝EN.∴＝.∴AE∶ED＝2AF∶FB.4．證明：過點C作CF∥AB交DP于點F，∴△PCF∽△PBD.∴＝.∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.∴＝.解碼專訓(xùn)四1．解：由題可得，A(40，0)，B(0，30)，∴OA＝40，OB＝30.(1)∵EF∥OA.∴△BEF∽△BOA.∴＝.當(dāng)t＝15時，OE＝BE＝15.∴EF＝＝＝20.∴S△PEF＝EF·OE＝×20×15＝150.(2)∵△BEF∽△BOA.∴EF＝＝.∴××t＝160.整理，得t2－30t＋240＝0∵(－30)2－4×240＝－60＜0.∴方程沒有實數(shù)根．∴不存在使得△PEF的面積等于160的t值，(3)當(dāng)∠EPO＝∠BAO時，△EOP∽△BOA.∴＝，即＝.解得t＝12.當(dāng)∠EPO＝∠ABO時，△EOP∽△AOB.∴＝，即＝.解得t＝.∴當(dāng)t＝12或t＝時，△EOP與△BOA相似．(第2題)2．B點撥：如圖，過A作AN⊥x軸于N，過B作BM⊥x軸于M，∵OA⊥OB，∴∠ANO＝∠BMO＝∠AOB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△OAN∽△BOM，∵點A、B分別在反比例函數(shù)y＝(x＞0)，y＝(x＞0)的圖象上，∴S△AON＝1，S△BOM＝4，∴＝＝2(相似三角形的面積比等于相似比的平方)．3．解：∵直線y＝－2x＋4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點，∴令y＝0，可得－2x＋4＝0，解得x＝2，即C(2，0)，OC＝2.令x＝0，可得y＝4，即B(0，4)，OB＝4，①如圖①，當(dāng)∠OBC＝∠COP時，△OCP∽△BOC，(第3題)∴＝，即＝，解得CP＝1，∴P(2，－1)，設(shè)過點P的雙曲線表達(dá)式為y＝，把P點坐標(biāo)代入解得k＝－2，∴過點P的雙曲線表達(dá)式為y＝－，②如圖②，當(dāng)∠OBC＝∠CPO時，△OCP∽△COB，在△OCP和△COB中，，∴△OCP≌△COB(AAS)∴CP＝BO＝4，∴P(2，－4)．設(shè)過點P的雙曲線表達(dá)式為y＝，把P點坐標(biāo)代入得－4＝，解得k＝－8，∴過點P的雙曲線表達(dá)式為y＝.綜上可得，過點P的雙曲線的表達(dá)式為y＝－或y＝.4．解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(0，4)和C(8，0)，∴，故b的值為，c的值為4；(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP∽△PEB且相似比為＝＝2，∵AO＝4，∴PE＝2，OE＝OP＋PE＝t＋2，又∵DE＝OA＝4，∴點D的坐標(biāo)為(t＋2，4)，∴點D落在拋物線上時，有－(t＋2)2＋(t＋2)＋4＝4，解得t＝3或t＝－2，∵t＞0，∴t＝3.故當(dāng)t為3時，點D落在拋物線上；(3)存在t，能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似．理由如下：由(2)得＝2，則BE＝t.①當(dāng)0＜t＜8時，如圖①.(第4題)若△POA∽△ADB，則PO∶AD＝AO∶BD，即t∶(t＋2)＝4∶，整理，得t2＋16＝0，∴t無解；若△POA∽△BDA，同理，解得t＝－2±2(負(fù)值舍去)；②當(dāng)t＞8時，如圖②.若△POA∽△ADB，則PO∶AD＝AO∶BD，即t∶(t＋2)＝4∶，解得t＝8±4(負(fù)值舍去)；若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．綜上可知，當(dāng)t＝－2＋2或8＋4時，以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似．5．解：(1)∵點A(1，0)在拋物線y＝ax2－5ax＋2(a≠0)上，∴a－5a＋2＝0，∴a＝，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－x＋2；(2)由(1)易得拋物線的對稱軸為直線x＝，∴點B的坐標(biāo)為(4，0)，易得C的坐標(biāo)為(0，2)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，把B、C兩點坐標(biāo)代入可得，解得k＝－，b＝2，∴直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋2；(3)設(shè)N，分兩種情況討論：(ⅰ)當(dāng)△OBC∽△HNB時，＝，①當(dāng)x＞4時，有＝解得x1＝5，x2＝4(不合題意，舍去)，∴點N的坐標(biāo)為(5，2)；②當(dāng)1＜x＜4時，有＝，解得x1＝5(舍去)，x2＝4(舍去)；③當(dāng)x＜1時，有＝，得到x2－x－12＝0.解得x1＝4(舍去)；x2＝－3，∴N點的坐標(biāo)為(－3，14)；(ⅱ)當(dāng)△OBC∽△HBN時，＝，①當(dāng)x＞4時，有＝.解得x1＝2(舍去)，x2＝4(舍去)；②當(dāng)1＜x＜4時，有＝，解得x1＝2，x2＝4(舍去)，∴點N的坐標(biāo)為(2，－1)；③當(dāng)x＜1時，有＝，解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝4(舍去)．綜上所述，N點的坐標(biāo)為(5，2)、(－3，14)或(2，－1)．解碼專訓(xùn)五1．A2.43.49.44cm4.D5.3cm(第6題)6．解：過D點作DN∥AC，交BE于N，如圖．易知△DMN∽△AME，△BDN∽△BCE.∵＝，∴＝.∴＝＝.∵＝，∴＝＝.∴＝·＝×＝.7．D8.D9.6，1210．(1)證明：∵E是Rt△ACD的斜邊的中點，∴DE＝EA.∴∠A＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠F