圓錐曲線方程?知識網(wǎng)絡(luò)?范題精講【例1】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為斤(0,—1)、用(0,1),直線尸4是橢圓的一條準(zhǔn)線.求橢圓方程；設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且|朋|一|加|=1,求tanZ幷朋的值.解析:本題考查橢圓的基本性質(zhì)及解題的綜合能力.2⑴設(shè)橢圓方程為匚+二=1@＞力＞0)?次cr2由題設(shè)知夕1,—=4t.\a2=4,Z?2=a—d?2=3.c???所求橢圓方程為—=1?4(2)由⑴知d=4,a=2.由橢圓定義知丨朋丨+|朋1=4,又|朋|一丨朋|=1,:.\PM=-.\K\=-?2又\F^\=2c=2,259由余弦定理遇茍啓普需景嚴(yán)丄亍冷.X2X2「?tanZ/^朋二/1=./—-1=—.Yeos訂/侶V93【例2】已知雙曲線=l,it點(diǎn)川2,1)的直線/與已知雙曲線交于A、A兩點(diǎn).2求線段”乙的中點(diǎn)P的軌跡方程；過點(diǎn)3(1,1)能否作直線廠，使廠與已知雙曲線交于兩點(diǎn)0、且〃是線段的中點(diǎn)？請說明理由.⑴解法一：設(shè)點(diǎn)”、A的坐標(biāo)分別為(必，戸)、(上，護(hù))，中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則有x\—=1,X22—=1,乙乙兩式相減，得25+Q(山一疋)=(/+必)(y】—必).當(dāng)*】工*2,尸鐘時，由x\+x2=2x.yi+^2=2yf得①)，“-勺又由R、P-P、力四點(diǎn)共線，得2zl=21二2②x-2X]-吃由①②得蘭=丄二￡,vX-29r即2*2—聲一4*+尸0?當(dāng)x產(chǎn)衛(wèi)時，x=2.y=0滿足此方程，故中點(diǎn)P的軌跡方程是2x—y—4x+^=0.

解法二：設(shè)點(diǎn)“、卩2、中點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為3,必）、（血必）、（兒y）,直線/的方程為尸川/一2）+1,將/方程代入雙曲線”一于一1中，得（2—”）x+2k（2k-1）x+2^-3=0,則卅段=2則卅段=2心_1丿k2—23-2丘Ep4(2￡-1)f_2A]+x2_k(2k-l)=k2-l'_兒+比_2(2￡—1)k—2當(dāng)yHO時，由①②得k=——?將其代入①，整理得2Z-/-4x+j-0.當(dāng)/傾斜角為90°時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,y0）仍滿足此方程，故中點(diǎn)戶的軌跡方程為2Y-/-4卅尸0.（2）解：假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線1'存在，Q.、@的坐標(biāo)分別為（巫必）、（應(yīng),尹），同⑴得2（朋+幻5—舶）=（乃+必）（乃—戸）?Vx3+xi=2,7：i+/i=2,=2（朋工川）,=2（朋工川）,即/的斜率為2.??.尸的直線方程為y-l=2a-l）,即/=2x—1.y=2x_l,???方程組彳,代無解，與假設(shè)矛盾.X--—=12???滿足條件的直線/不存在.【例3】如下圖，已知△恥的面積為S,且OF-FQ=1.（1）若S的范圍為*<S<2,求向量亦與巨的夾角〃的取值范圍；（2）設(shè)|麗|巳（&若以0為中心，廠為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)@當(dāng)丨苑丨取得最小值時，求此橢圓4的方程.分析:本題考查向量的基本知識、三角知識及最值問題在解析幾何中的綜合運(yùn)用.解：解：(1)VOF?FQ=19：.\OFFQ?cos0=\.又丄丨亦丨?又丄丨亦丨?丨起丨?2sin(180°一0)=Stan0=2Stan0=2S、S=tan^~2~又丄<S<2,???丄<衛(wèi)皿〈2.即l<tan0<4,22??亍San4?

（2）以喬所在的直線為/軸，以亦的過0點(diǎn)的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）.:.0(0,0)9F(c90).“仏必)?->2設(shè)橢圓方程為L+展二1?又麗?ro=us=-c94A(c90)?(XQ—CfJb)=l.由①得C(Xo~C)=l=>Xo=c+—?由②得以弓當(dāng)C=2時，丨00|nin=J(2+二)-+才=，此時±2）,M2,0）.2?259代入橢圓方程得<+_+糸=人a1-b2=4.to.*.a2=10,Z?2=6.->2??.橢圓方程為—+-^-=1.106評析：新知識（向量）在幾何中的應(yīng)用是值得關(guān)注的趙勢.?試題詳解高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練（十一）第八章圓錐曲線方程（-）（A卷）說明：本試卷分為第I、I【卷兩部分，請將第I卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第II卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第I卷（選擇題共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1?橢圓2/+3/=6的焦距是A.2C.2V52(V3-V2)A.2C.2V5D.2(73+V2)解析:將2r+3y=6化為標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1,2:&=*、氏=2、c=3—2=1>

焦距2c=2Xl=2.答案:A2.方程4(+砂=1的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則斤的取值范圍是QOB.0<^<20<從4D.2<^<4解析:將方程變?yōu)镻嚴(yán),由已知可砒鈴,.?.°gR答案:C25A.7.5C.2.5解析：Va=5,Zf4,/.c=3.3?25A.7.5C.2.5解析：Va=5,Zf4,/.c=3.12.58.5兩準(zhǔn)線間的距離為2?『2X亍罟"到左準(zhǔn)線的距離為2.5,則〃到右準(zhǔn)線的距離為￥-2.5哼.設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為尺則^-=-=|,/.MF|=8.5.2a3T答案：D4?若雙曲線二一二=1的實軸長、虛軸長.焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的高心率是TOC\o"1-5"\h\zA.2B.3-D.-3解析：由2b=a^c得4l/=a2+2ac+c\艮卩3c2—2ac—5a=09.\3e2—2e—5=0.?:歹??3答案：D225?雙曲線二一匸.=1的兩焦點(diǎn)為斤、心點(diǎn)P在雙曲線上，且直線〃、朋傾斜角之差為仝?則△朋尺的面9163積為B.32A.B.32C.32D.42解析：由題意可知|〃丨一|%|=6,Z/^/7s=￡J/^/s|=10?3由余弦定理，得|^|2=(|/^|-|/^|)2+|/^|?曲I,?:\PFx\?1/7^1=64?：.S=-X64sin—=16-73,選A.TOC\o"1-5"\h\z23答案:A22以橢圓二+匚二1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，高心率歹2的雙曲線方程是239a.-2i=iB.^-r=iTOC\o"1-5"\h\z612614c.^-Z=iD.^-r=i14412解析:晶25,養(yǎng)9,則d=16,夕4,橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)、(_4,0).雙曲線的焦點(diǎn)仍為(4,0)、(一4,0),由于6=2,c=4,干2,才=12.???雙曲線方程為二一工二1.12答案:Dhr1已知雙曲線二一二=1和橢圓二+二=1@＞0,〃＞方＞0)的離心率互為倒數(shù)，那么以去b、加為邊的三角形茁"〃廠/rA.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D?等腰三角形解析：雙曲線二一匚=1的離心率穌二^(Tb'aa橢圓的離心率4"一『.mTq與◎互為倒數(shù)，302=1,an^a2+b24nr-b2,.,-z_,八即?=1,整理得a+l)-=m.am??.以次b、/〃為邊的三角形是直角三角形.答案:B方程^3(.v+l)2+3(y+l)2=|x+y—21表示的曲線是A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.不能確定解析:數(shù)形結(jié)合法.動點(diǎn)P(x$到定點(diǎn)(-1,-1)和定直線卅『一2=0距離之比為半.答案:B22229?若橢圓￡+匸二13＞〃＞0)和雙曲線二一二=1@＞力＞0)有相同的焦點(diǎn)斤、砥戶是兩條曲線的一個交點(diǎn),mndTb"則I彤I?|朋|的值是A.m—aB.丄(血一&)2C.nf—^D.—y/a解析：|朋|+|%|=2妬，|朋丨一丨處1=2需，/.\PFi\=yfm+y[a,.PFi|=yjm—需?IWI?\PFz\=m~a.答案:A

10.已知幾尺為橢圓二+￡=1@＞〃＞0)的焦點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，必垂直于/軸，且ZA?=60°?則橢圓CT/?"的離心率為A.丄B.返TOC\o"1-5"\h\z22/止2分析:本題考查如何求橢圓的離心率.22?2解：???」％；丄/軸，???〃點(diǎn)的橫坐標(biāo)為財一c把肝代入橢圓方程亠+亠=1中，得廳如下圖所示./lrtrFf2cl在Rt△?奶尺中，tanZ/^；l#s=-12—^=V3,MF、b~即2ac=y[3I)./.V3^~2ac~gc2=0.每一項都除以8二得羽~2e~-\/3e=0,解得e)=—或&2=—V?(舍).3答案:C第I【卷(非選擇題共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11.若橢圓的兩個焦點(diǎn)為A(-4,0)、尺(4,0),橢圓的弦/怡過點(diǎn)蟲，且△旳眺的周長為20,那么該橢圓的方程為.解析：處的周長：MeI+M川+丨眺|+|財1=2豺2滬4滬20,:.5=5.又?:c=4,:.Zf3.?:橢圓的方程為令計.12?已知戶是橢圓上的一點(diǎn)，R、尺是橢圓的兩個焦點(diǎn)，Z朋用=90°,ZPfU230°，則橢圓的離心率是解析:因為氣今2c解析:因為氣今2cIPFJ+/FJTOC\o"1-5"\h\z于是在△〃応中，由正弦定理知歹.sm90°+sm30c3答案:￡Q1經(jīng)過點(diǎn)M10,-).漸近線方程為y=±-x的雙曲線方程為3分析:本題考查依據(jù)條件求雙曲線的方程.解：設(shè)雙曲線的方程為lx—3y)(x+3y)=/〃(/〃丘R.且0),QQQ因雙曲線過點(diǎn)M10,-),所以有(10-3X-)(10+3X-)=//A得〃尸36.3322所以雙曲線方程為Y-9/=36,即—一罕=1?364

答案：二一二=136422方程—+—=1表示的曲線為C,紿出下列四個命題：4-kk-l曲線C不可能是圓；若1<K4,則曲線C為橢圓;若曲線C為雙曲線，則Ml或&>4；若曲線C表示焦點(diǎn)在/軸上的橢圓，則KK-.2其中正確的命題是?解析：當(dāng)4_k=k_\,即k=—時表示圓，否定命題①，顯然k=—￡（1,4）,22???否定命題②；若曲線C為雙曲線，則有（4-A）a-l）<0,即4<&或￡<1,故命題③正確；若曲線6?表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4一￡>￡一1>0,解得KK-,說明命題④正確.2答案:③④三、解答題（本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分8分）設(shè)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，它在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連成60°的角，兩準(zhǔn)線間的距離等于8JJ,求橢圓方程.解：依題意，設(shè)所求橢圓方程為二+二=1,cr?.?橢圓右焦點(diǎn)Ac,0）與短軸兩端點(diǎn)久〃連成60°的角，如圖，則ZAFB=60°，△/1/莎為等邊三角形，TOC\o"1-5"\h\z于是有a=2b.①又由兩準(zhǔn)線間的距離等于8巧，得,2a'=8y^.②>Ja2-b2聯(lián)立①?兩方程，解得干6,戻3.故所求橢圓方程為—=1?369（本小題滿分10分）已知橢圓二+罕=1,過點(diǎn)P（2,1）引一條弦，使它在這點(diǎn)被平分，求此弦所在的直線164方程.解:如圖,設(shè)弦與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為心,戸）、血必）.又P（2,l）,?屛+4）『=16,①工―②①一②得（&—疋）（Xi+A2）+4（/i—y2）（/1+/2）=0,兒一兒__勺+耳兒一兒__勺+耳4（.vi+y2）2x1.=-—=k.^4x2x12?'?Z彷的方程為y—1二一丄（x—2）.2（本小題滿分12分）求以橢圓—+^=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)?且一條漸近線的傾斜角為包的雙曲線方程.64166分析：已知漸近線方程為bx±ay=09中心在原點(diǎn)，求雙曲線的方程?可設(shè)雙曲線方程為圧#一才b二入（入工0）,根據(jù)其他條件?確定入的正負(fù).解：橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(土&0)、(0,±4).?.?雙曲線漸近線方程為x±y[3y=0,則可設(shè)雙曲線方程為疋一3戶&伙工0),3若以(土&0)為焦點(diǎn)，則A+-=64,得掃4&雙曲線方程為二一^-=1；34816若以(0.±4)為焦點(diǎn)?則一上一侶16,得冶一12.雙曲線方程為—=1.341222(本小題滿分12分)如下圖，雙曲線工一二=13丘1<)的兩個焦點(diǎn)為F、、九P為雙曲線上一點(diǎn)，b~|岀<5,|朋|、"用|、|彤|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程.解：Ji朋I、|月網(wǎng)、I彤I成等差數(shù)列,?|朋|+|朋|=2"E|=4c.又I朋|一|%|=2滬4,A|/^]|=2c+2,\P/^>\=2c-2.根據(jù)中線定理有|/7汗+|朋|2=2(|剛2+“切2)〈2(5沁2),:.(2<?+2)2+(2c—2)2<2(52+<?2)..\8c+8<50+2c.：.c<79即4+tf<7.Ai)<3.又Z?eN\AZfI.???所求雙曲線方程為—-x=l.4(本小題滿分12分)在△月處中，已知27(-2,0)、C(2,0),月〃丄化?于點(diǎn)D、HABC的垂心為〃，且AH=|~HD.求點(diǎn)〃匕,y)的軌跡0的方程；已知戶(一1.0)、0(1,0),〃是曲線G上的一點(diǎn)，那么丄廠?丄，丄廠能成等差數(shù)列嗎?若能，求出J/點(diǎn)\MP\\PQ\\^Q\的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.解：???//點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則〃點(diǎn)坐標(biāo)為(兒0),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為(兒仝y)?3/.BH=(x+2,y).C4=(x—2t—y)?3/f22由創(chuàng)丄以知y-4+j-y=0,即才+亍1，???0的方程為二+二=1(護(hù)0)?3解法一：顯然只0恰好為&的兩個焦點(diǎn)，:.\MP\+\MQ\=4,\PQ\=2.若丄，丄，丄廠成等差數(shù)列，則丄「+丄廠二丄=1.