2021年新高考數(shù)學(xué)模擬試卷1

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設(shè)集合A={0,-2],B={-1,0,2],則AUB=（）

A.{0}B.{-1,2}C.{-2,0}D.{-2,-1,0,

2）

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足（-2-i）z=|3+4i|（i為虛數(shù)單位），貝眩=（）

A.-2+iB.2-iC.-2-iD.2+i

1212

3.（5分）已知a=（-）3,b=（-）3,c=log3n,則n,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

4.（5分）已知向量面=1,\b\=2,a'b=V3,則向量3與向量7的夾角為（）

71TtTC27r

A.-B.—C.—D.—

6433

5.（5分）已知等比數(shù)列{斯}滿足。I+〃2=6,〃2+〃3=12,則〃i的值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差

數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則上面第1節(jié)的容量為（）

131426

A.一升B.一升C.一升D.1升

223333

7.（5分）已知函數(shù)/（久）=+2）,若對于任意的x€R,都有/（修）W/（x）勺（必）

成立，則|國-對的最小值為（）

1

A.4B.1C.一D.2

2

7n

8.（5分）已知函數(shù)f（%）=4%—胃早）（m>0,HER）在（0,+8）上不單調(diào)，若m-幾

>入恒成立，則實數(shù)人的取值范圍為（）

A.[3,+8）B.[4,+8）C.（-8,3]D.（-8,4]

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知4,B,C三點不共線，O為平面ABC外的任一點，則“點M與點A,B,C

共面”的充分條件的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA^-OB-OC

C.OM=OA+l；OB+10CD.OM=+loC

Z5Zoo

10.（5分）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，現(xiàn)從備選的10

題中隨機抽出3題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.則下列選項正確的是（）

A.答對0題和答對3題的概率相同，都為:

3

B.答對題的概率為百

C.答對2題的概率為三

12

D.合格的概率為1

11.（5分）如圖，在四面體ABCO中，截面尸QMN是正方形，則在下列命題中，正確的為

（）

B.AC〃截面PQMN

C.AC^BD

D.異面直線PM與8。所成的角為45°

12.（5分）下列四個圖形中可能是函數(shù)y=f（x）圖象的是（）

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從

家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁

堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（33,42）,下車后從公交站步行到單位要

12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N

（44,22）,下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.下列說法：①若8：00出門，則乘

坐公交不會遲到；②若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；③若8：06

出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；④若8：12出門，則乘坐地鐵幾乎不可能

上班不遲到.從統(tǒng)計的角度認(rèn)為以上說法中所有合理的序號是.

參考數(shù)據(jù)：若Z?N（H，o2）,則6<Z<n+o）=0.6826,P（^-28<Z<n+2

。）=0.9544,P（|i-38<Z<H+3O）=0.9974.

14.（5分）已知首項為3的正項數(shù)列｛斯｝滿足（斯+1+斯）（斯+1-斯）=3（斯+1）（斯-1）,

記數(shù)列口。92（W一1）｝的前n項和為S”，貝IJ使得S”>440成立的n的最小值為.

15.（5分）若22、<2/+1對任意的尤［0,1］成立，則正實數(shù)。的取值范圍為.

x2y2_

16.（5分）已知橢圓氏—+—=1（a>b>0）的右焦點為尸.短軸的一個端點為直

a2-Z?2

4

線/：3廠4），=0交橢圓后于4B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線/的距離不小于g,

則橢圓E的離心率的取值范圍是.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知數(shù)列｛〃”｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列仍”｝是公比為4（q>0）的等比數(shù)

列,且“1=歷=2,。4+的=25,a3b3=4.

（I）求數(shù)列｛斯｝和｛與｝的通項公式；

（II）設(shè)/=斯+2,求數(shù)列｛Cn｝的前〃項和

371

18.（12分）在銳角△ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且cos2A+sin（--A）+1=0.

2

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若aABC的面積S=3b，b=3.求sinC的值.

19.（12分）已知圓C：（x+1）2+y2=8,定點A（1,0）,M為圓上一動點，線段MA的垂

直平分線交MC于點N,設(shè)點N的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E方程；

（2）若經(jīng)過尸（0,2）的直線/交曲線E于不同的兩點G,”（點G在點凡，之間），

20.(12分)如圖，長方體A8CD-ABiGG的底面ABC。是正方形，點E在棱A4i上,

BELEC\.

(1)證明：BEJ_平面EBiG；

(2)若AE=4E,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

21.(12分)從編號為1,2,3,4,―,10的10個大小、形狀相同的小球中，任取5個球.如

果某兩個球的編號相鄰，則稱這兩個球為一組“好球”.

(1)求任取的5個球中至少有一組“好球”的概率；

(2)在任取的5個球中，記“好球”的組數(shù)為X,求隨機變量X的概率分布列和均值E

(X).

1

22.(12分)已知函數(shù)/'(x)=alnx+五(aCR).

(I)當(dāng)a=2時，求曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線方程:

(II)若f(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(HI)求f(x)在［1,e］上的最小值.

2021年新高考數(shù)學(xué)模擬試卷1

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設(shè)集合A={0,-2},B={-1,0,2},則AU5=（）

A.{0}B.{-1,2}C.{-2,0）D.{-2,-1,0,

2）

【解答】解：VA={0,-2},B={-1,0,2）,

.\AUB={-2,-1,0,2）.

故選：D.

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足（-2-i）z=|3+4/|（i為虛數(shù)單位），則5=（）

A.-2+zB.2-iC.-2-/D.2+i

【解答】解：由（-）得一

2-iz=|3+4i|=5,z=-—4L-—7l=（-Z科—i需H—Z％~rl）;=-2+i,

：.z=-2-i.

故選：C.

212

1g-5

3.（5分）己知。=（-）2c=log3m則a,b,c的大小關(guān)系為（）

3

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解答】解：（裝V（凝V（3o=l，log3n>\og33=l；

.\c>b>a.

故選：D.

4.（5分）已知向量向=1,值|=2,=V3,則向量3與向量R勺夾角為（）

71TTTT27r

A?—B.—C.一D.—

6433

【解答】解：??,向=1,山=2,a■&=V3,

->T?/3r-tTT

/?cos<a,b>=且0WVa,b><n,

TT71

，向量a,b的夾角為二.

故選：A.

5.（5分）已知等比數(shù)列｛斯｝滿足m+〃2=6,〃2+。3=12,則〃1的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,則

a+at?(?i+?2)12c

--2----3=---------=q=-7~=2?

的+。2。1+。26

.?q=2.

將4=2代入“1+42=6,即”1+勾4=6,

解得ai=2.

故選：B.

6.(5分)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差

數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則上面第1節(jié)的容量為()

131426

A.一升B.一升C.一升D.1升

223333

【解答】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：a\,。2,…，。9,且為等差數(shù)列，

根據(jù)題意得：。]+。2+。3+。4=3,。7+a8+。9=4,

即4〃i+6d=3①，3卬+21d=4②，②X4-①X3得：66d=7,解得d=^,

把"=看代入①得：。1=另，

故選：A.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=3smg%+2),若對于任意的在R,都有/(修)勺(x)W/(X2)

成立，則團-&I的最小值為()

1

A.4B.1C.-D.2

2

【解答】解：函數(shù)/(%)=3s勿6久+2),所以函數(shù)的周期7=孕=4.

/2

對于任意的XWR,都有/(為)W/(x)成立，-3</(x)W3.

T

則bl-勸的最小值為￡=2.

故選：D.

8.(5分)已知函數(shù)/(%)=伍%—(,w>0,HGR)在(0,+°°)上不單調(diào)，若

>入恒成立，則實數(shù)人的取值范圍為()

A.[3,+8)B.[4,+8)C.(…，3]D.(-8,4]

【解答】解：/'(X)3見出)甘+也=^+四一呼尹1.

x(x+l)x(x+l)

:函數(shù)/(x)=bix—筆招(機>0,〃eR)在(0,+8)上不單調(diào)，

，函數(shù)f（x）在（0,+8）上存在極值點.

.*.x2+（/rm-m+2）x+l=0有不相等的正的實數(shù)根.

-mn-2>0>△=(n?-2-mn)-4>0,

由△＞（）化為：（機-加〃-4）（1-〃）＞0,

m—mn—4>0fm—mn—4<0

{l-n>0'"11一九VO

.(m-mn-4>0―/口424,、

由{,可得：m>^—..m-n>-r--n=g(n),

(1-n>01一九IfIf

g'(n)=止也乎，可得：〃=-|時，函數(shù)g(n)取得極小值即最小值，g(-1)

(If)

=3.入W3.

m—mn—4<0

由,可得：“14V[2，舍去.

1-n<0i-Tii—n

綜上可得：入W3.

故選：C.

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知A,B,C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，則“點M與點A,B,C

共面”的充分條件的是（）

A.OM=20A-0B-0CB.OMOA+OB-OC

C.OM=OA+^OB+loCD.OM=OAOB+^OC

23236

【解答】解：.A2-1-1=0^1,因此點M與點4,B,C不共面；

B.等式化為：AM=CB,因此點M與點4,B,C共面.

C.1+今+#1,因此點M與點A,B,C不共面；

111

D.-+-+-=1,因此點M與點A,B,C共面.

236

故選：BD.

10.（5分）某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，現(xiàn)從備選的10

題中隨機抽出3題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.則下列選項正確的是（）

1

A.答對0題和答對3題的概率相同，都為鼻

3

B.答對1題的概率為g

C.答對2題的概率為三

12

一1

D.合格的概率為二

【解答】解：某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道，

現(xiàn)從備選的10題中隨機抽出3題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.

在A中，答對。題的概率為：尸0=與==，答對3題的概率為：尸3=與=各

.?.對。題和答對3題的概率相同，都為上，故A錯誤；

12

12

在8中，答對1題概率為。1=華=1，故B錯誤；

C10

21

在C中，答對2題的概率為°2=華=?，故C正確；

Qo

r2rl63i

在。中，合格的概率為2=罕+號="，故。正確.

c10c10

故選：CD.

11.(5分)如圖，在四面體A8CD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為

()

A.ACLBD

B.AC〃截面PQMV

C.AC=BD

D.異面直線PM與8。所成的角為45°

【解答】解：因為截面PQMN是正方形，所以PQ〃MN、QM//PN,

則PQ〃平面AC。、〃平面8D4,

所以PQ//AC,QM//BD,

由PQ_LQM可得AC_LB。，故A正確；

由82〃AC可得AC〃截面PQMN,故B正確；

異面直線PM與8。所成的角等于PM與QW所成的角，故。正確;

綜上C是錯誤的.

故選：ABD.

12.(5分)下列四個圖形中可能是函數(shù))，=f(x)圖象的是()

【解答】解：A.D.都滿足函數(shù)的定義，

在B中，當(dāng)x=0時有兩個函數(shù)值與之對應(yīng)，不滿足函數(shù)對應(yīng)的唯一性，

在C中，存在一個x有兩個y與x對應(yīng)，不滿足函數(shù)對應(yīng)的唯一性，

故選：AD.

三.填空題(共4小題，滿分2()分，每小題5分)

13.(5分)江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從

家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁

堵，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(33,42),下車后從公交站步行到單位要

12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N

(44,22),下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘.下列說法：①若8：00出門，則乘

坐公交不會遲到；②若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；③若8：06

出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；④若8：12出門，則乘坐地鐵幾乎不可能

上班不遲到.從統(tǒng)計的角度認(rèn)為以上說法中所有合理的序號是③④.

參考數(shù)據(jù)：若Z?。2),則p(□-b<Z<u+。)=0.6826,P(^-26<Z<n+2

o)=0.9544,P(n-36<Z<n+3o)=0.9974.

【解答】解：設(shè)乘公交車所需時間為X,乘地鐵所需實際為匕

對于①，8：00出門-還是有可能會遲到，只是概率較小，故①錯；

對于②，P（XW41）=l-i（33-2X8丁433+2X4）=0.9772.P（丫<48）=

I_1-P（生2邛了§212x2）=o9772.乘坐兩種交通工具不遲到的概率一樣,故②錯;

對于③，若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性為P（XW37）=

1一1-P（33-4，XW33+4）用413,乘坐地鐵不遲到的概率為P（yW44）=0.5<0.8413.故

③對；

對于④，若8：12出門，則乘坐地鐵上班遲到的概率為P（FW38）

=1一144一3X2廠〈44+3x2）=0003故④正確.

故填：③④.

14.（5分）已知首項為3的正項數(shù)列｛斯｝滿足（斯+1+%）（斯+i-斯）=3（斯+1）（斯-1）,

記數(shù)列。。。2（嫌-1）｝的前n項和為S〃，則使得S〃>440成立的n的最小值為21.

【解答】解：依題意，由（斯+1+斯）（為+1-斯）=3（即+1）（斯-1）,可得

成+1=4成-3,

故成+1-1=4a?—3—1=4a?-4=4（a￡—1）>

令bn=若-1,則bn+\—4Z?zl,

瓦=a：-]=8,

二數(shù)列伯”｝是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列.

n2n22fl+l

：.bn=瓦-4T=8X2_=2,nEN*.

2n+1

：.log2（a^-1）=log2bn=log22=2n+i,

數(shù)列。。?。ㄈ?1）｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.

..國=陽+尹1）=/+2〃,

令J+2”-440>0,即（n+22）（?-20）>0,

解得〃>20或“<-22（舍去），

,使得S?>440成立的n的最小值為21.

故答案為：21.

15.（5分）若22A<2/+1對任意的xe[0,1]成立，則正實數(shù)a的取值范圍為+8）.

【解答】解：對任意的x€[0,1]成立，

（2x-1）/g2V（x+1）Iga,

4

???%，g”g（2a）vo，

引入函數(shù)/'(x)=xlg^-lg(2a),

討論：當(dāng)，g：=0時，a—4,此時/(x)=-/g8,滿足題設(shè)；

當(dāng)，g，>0時，0<?<4,且均，一均(2a)VO,：.^2<a<4；

當(dāng)仞稱<0時，44,且Ox/g,-仞(2a)VO,：.a>4.

綜上，所求實數(shù)。的取值范圍是(魚，+00).

X2V2_

16.(5分)己知橢圓氏—+—=1(a>b>0)的右焦點為尸.短軸的一個端點為M,直

4

線/：3龍-4)，=0交橢圓E于A,5兩點.若HF|+|5月=4,點M到直線/的距離不小于g,

則橢圓E的離心率的取值范圍是(0,]].

【解答】解：如圖所示，

設(shè)尸為橢圓的左焦點，連接AF,BF',則四邊形AF8F'是平行四邊形，

：.4^\AF]+\BF]=\AF'\+\AF\=2a,；.a=2.

4

取M(0,b),?.?點M到直線/的距離不小于g,

14bl4”,

>--解得

V32+425

橢圓E的離心率的取值范圍是(0,—].

故答案為：(0,5].

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)已知數(shù)列｛斯｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛與｝是公比為q(q>0)的等比數(shù)

列，且。1=加=2,04+05—25,a3b3=4.

(I)求數(shù)列｛斯｝和｛與｝的通項公式;

(II)設(shè)Cn=0?+2,求數(shù)列｛%｝的前〃項和凡.

【解答】解：(I)???數(shù)列｛斯｝是公差為d的等差數(shù)列，。1=2,"4+45=25,

.,?。［+31+。］+41=25,得d=3.

???斯=2+3(〃-1)=3n-1,

??。3=8.

?a3b3~~~4,??=2,

.??瓦q2=2，

i

,**Z?1=2,q>0,:.q=于

；.勾=2X弓尸T=4)吁2；

(II)-：cn=an+2,S”是數(shù)列｛.｝的前"項和，

二.S〃=C1+C2+…+/=〃|+2+。2+2+…+〃〃+2=(。］+。2+…+?！?+(2+2+…+2)

n(2+3n-l)3.5

=———------+2幾=+2［幾.

37r

18.(12分)在銳角△ABC中，角A,8,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且cos2A+sin(--A)+1=0.

2

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面積S=3V5,b=3.求sinC的值.

3TT

【解答】解：(1)Vcos2A+sin(——A)+1=0.

2

_/,/1s

Acos2A-cosA+1=0,可得：2cosA-cosA=0,解得：cosA=g或cos4=0,

:△ABC為銳角三角形，

._1

??COST4TL—2，

???可得：

(2)V5AABC=^hcsinA==3V3,可得：bc=12,

又b=3,可得：c=4,

在△ABC中，由余弦定理可知，a2=Z>2+c2-IbccosA=16+9-2X3X4x1=25-12=13,

:.ci=V13,

在△ABC中，由正弦定理可知：-y—--可得：sinC=C

sinAsinCaV131J

19.（12分）已知圓C：（x+1）2+y2=8,定點人（1,o）,M為圓上一動點，線段MA的垂

直平分線交MC于點M設(shè)點N的軌跡為曲線￡

（1）求曲線E方程；

（2）若經(jīng)過尸（0,2）的直線/交曲線E于不同的兩點G,，（點G在點F,”之間）,

【解答】解：（1）設(shè)點N的坐標(biāo)為（x,y）,

NP是線段AM的垂直平分線，

又點N在CM上，圓C：（x+1）2+,=8,半徑是廠=2魚,

：.\NC\=r-\NM\,

INCI+INMI=r=2a＞\AC\,

.?.點N的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，

x2y2

設(shè)橢圓的方程為：-砂7+7匕72=1

：.2a=2近,即c=l,

由b2=a2"2=1,

X2

?,?橢圓的方程為：—4-y7=1,

曲線E方程：—+y2=1；

（2）設(shè)G（xi，yi）,H（孫”），

當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線G〃的斜率為2

則直線G”的方程為：y=H+2,

y=依+21

：.\2,,整理得：（一+F）工2+4丘+3=0,

Sx+y2=i2

由△＞（）,解得：乃＞|,

4k3

X\+X2=—i---7，X\*X2=i---7,

抖卜升必

又〈FG=(xj,y\-2),FH=(田，j2~2),

T2T

■:FG屋FH,

；.X|=|x2,

3

整理得：一一J）2=3盾即〃=2》,

5i+2r

解得：*=±V2,

直線/的方程為：y=±&x+2,

當(dāng)直線GH斜率不存在時，直線的/方程為x=0,

FG=4還與而=|前矛盾，

故直線G”斜率不存在時，直線方程不成立，

直線I的方程為：y=±Vlx+2.

20.（12分）如圖，長方體ABC。-AiSCMi的底面ABC。是正方形，點E在棱A4|上,

BELEQ.

（1）證明：BE_L平面EBC；

（2）若AE=4E,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

【解答】證明：（1）長方體ABC。-AiBiCj。中，BCi_L平面ABAiBi，

：.BiCi±BE,'：BE±ECi，

平面EB\C\.

解：（2）以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AE=AE=1,：BE_L平面EBiCi，：.BEA.EB\,：.AB=\,

則E(1,1,1),A(1,1,0),Bi(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),

'：BC1EB\,EBi_L面EBC,

故取平面EBC的法向量為藍(lán)=E》i=(-1,0,1),

設(shè)平面ECC\的法向量ri=(x,y,z),

由R21=°,得t；；+z=o,取x=l，得旌(1，7,0)，

In-CE=0

,、m-n1

..cos<m,n>=~—

|m|-|n|2

，二面角B-EC-Ci的正弦值為

21.(12分)從編號為1,2,3,4,…，10的10個大小、形狀相同的小球中，任取5個球.如

果某兩個球的編號相鄰，則稱這兩個球為一組“好球”.

(1)求任取的5個球中至少有一組“好球”的概率；

(2)在任取的5個球中，記“好球”的組數(shù)為X,求隨機變量X的概率分布列和均值E

(X).

【解答】解：(1)從10個球中任取5個球共有尊()=252種取法，

設(shè)事件4表示“至少有一組好球”，則了表示“5個球不相鄰”，

一泊1

P⑷=澄=春

c10

任取的5個球中至少有