學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題21填空題解題方法數(shù)學填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數(shù)學中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題。這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田,創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn).因此，我們在備考時，既要關(guān)注這一新動向，又要做好應試的技能準備．解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步都正確無誤,還要求將答案表達得準確、完整。合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求．方法一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果．例1設(shè)a＝（m＋1）i－3j，b＝i＋（m－1）j，其中i，j為互相垂直的單位向量，又（a＋b)⊥（a－b），則實數(shù)m＝________．【答案】－2【解析】a＋b＝（m＋2）i＋（m－4)j，a－b＝mi－(m＋2)j。∵(a＋b)⊥(a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴m(m＋2）i2＋[－（m＋2）2＋m(m－4）］i·j－（m＋2）（m－4）j2＝0,而i,j為互相垂直的單位向量，故可得m（m＋2）－(m＋2)（m－4）＝0，∴m＝－2.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝eq\f（ax＋1,x＋2)在區(qū)間(－2,＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）,＋∞））【解析】a＋b＝(m＋2)i＋（m－4）j，a－b＝mi－（m＋2）j?！?a＋b)⊥（a－b)，∴(a＋b）·(a－b)＝0,∴m（m＋2）i2＋[－（m＋2)2＋m(m－4)］i·j－（m＋2)(m－4)j2＝0，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得m（m＋2)－（m＋2）（m－4）＝0，∴m＝－2.方法二、特殊化法當填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替,即可以得到正確結(jié)果．例2、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b，c.若a，b,c成等差數(shù)列，則eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC）＝__________．【答案】eq\f（3，5）【解析】特殊化:令a＝3，b＝4，c＝5，則△ABC為直角三角形，cosA＝eq\f（3，5），cosC＝0，從而所求值為eq\f（3,5）.【變式探究】過拋物線y＝ax2（a〉0)的焦點F作一直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p，q,則eq\f（1，p）＋eq\f(1，q）＝________．【答案】4a【解析】設(shè)k＝0，因拋物線焦點坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f（1，4a)))把直線方程y＝eq\f（1,4a）代入拋物線方程得x＝±eq\f(1,2a），∴｜PF|＝|PQ|＝eq\f（1，2a），從而eq\f（1，p）＋eq\f(1,q)＝4a?！痉治觥看藪佄锞€開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性．方法三、數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù),則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果．例3、如果不等式eq\r（4x－x2）＞(a－1)x的解集為A，且A{x｜0＜x＜2}，那么實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】［2，＋∞）【變式探究】已知實數(shù)x，y滿足（x－3）2＋y2＝3,則eq\f（y，x－1)的最大值是__________．【答案】eq\r(3)【解析】eq\f(y，x－1)可看作是過點P(x，y）與M(1，0)的直線的斜率，其中點P在圓(x－3）2＋y2＝3上，如圖,當直線處于圖中切線位置時,斜率eq\f(y，x－1）最大，最大值為tanθ＝eq\r(3).方法四、等價轉(zhuǎn)化法通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉"，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題,從而得出正確的結(jié)果．例4、不等式eq\r(x）＞ax＋eq\f（3，2）的解集為(4,b），則a＝__________，b＝__________．【答案】eq\f（1，8)36【變式探究】不論k為何實數(shù)，直線y＝kx＋1與曲線x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】［－1，3］【解析】題設(shè)條件等價于點（0,1）在圓內(nèi)或圓上，∴a2＋1≤2a＋4。∴－1≤a≤3。【小結(jié)反思】1．數(shù)學填空題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型）和概念(性質(zhì)）判斷型的試題，解答時必須按規(guī)則進行正確的計算或者合乎邏輯的推演和判斷．2．求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”、“快”上下功夫．常用