廣東省云浮市羅旁中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則（

）A．

B．

C.平面

D．平面參考答案：D2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高二丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高2丈，問(wèn)：它的體積是多少？”已知1丈為10尺，該鍥體的三視圖如圖所示，則該鍥體的體積為（）A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，利用所給數(shù)據(jù)，即可求出體積【解答】解：由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱，則三棱柱的體積V1=3×2×2=6，四棱錐的體積V2=×1×3×2=2，由三視圖可知兩個(gè)四棱錐大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故選：A．3.函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

參考答案：C4.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足，，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得的最大的自然數(shù)n是（

）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：C，解得，所以，所以，所以，則最大的自然數(shù)是9.故選C。

5.已知兩點(diǎn)、，且是與的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是(

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD外接球的表面積是（

）A.20π B. C.25π D.22π參考答案：B由三視圖得，幾何體是一個(gè)四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形，側(cè)面ABE⊥底面BCDE.如圖所示，矩形ABCD中心為M,球心為O,F為BE中點(diǎn)，OG⊥AF.設(shè)OM=x,由題得在直角△OME中，，又MF=OG=1,AF=,，解（1）（2）得故選B.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于作圖找到關(guān)于R的方程，本題條件復(fù)雜，要通過(guò)兩個(gè)三角形得到關(guān)于R的兩個(gè)方程、（2），再解方程得到R的值.7.如圖，為了測(cè)量某濕地A，B兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C，D，E．從D點(diǎn)測(cè)得，從C點(diǎn)測(cè)得，，從E點(diǎn)測(cè)得.若測(cè)得，（單位:百米），則A，B兩點(diǎn)的距離為(

)A. B. C.3 D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意，在△ADC中，分析角邊關(guān)系可得AC＝DC＝2，在△BCE中，由正弦定理可得BC的值，據(jù)此在△ABC中，利用余弦定理分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，則∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，則AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，則∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，則有，變形可得BC，在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，則AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝9，則AB＝3；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，涉及正弦、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.8.設(shè)定義在R上的函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng).則方程上的根的個(gè)數(shù)為A.2 B.5 C.8 D.4參考答案：D略9.已知集合，則=（

）

A．

B．

C． D．參考答案：答案：B10.設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝x·f′(x)的圖像的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是()A．f(1)與f(－1)

B．f(－1)與f(1)

C．f(2)與f(－2)

D．f(－2)與f(2)

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（2010秋?東臺(tái)市期末）若方程表示橢圓，則k的取值范圍是．參考答案：（1，5）∪（5，9）考點(diǎn)：橢圓的定義．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)方程表示橢圓得到兩個(gè)代數(shù)式的分母都大于0，且要兩個(gè)分母不相等，解不等式組，得到k的取值范圍．解答：解：∵方程表示橢圓，∴9﹣k＞0，k﹣1＞0，9﹣k≠k﹣1∴k∈（1，5）∪（5，9）故答案為：（1，5）∪（5，9）．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，解題的關(guān)鍵是不要忽略調(diào)兩個(gè)分母不相等的情況，即橢圓不是圓，把構(gòu)成圓的情況去掉．12.如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，體積為，則直線與底面所成的角的大小為

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.參考答案：13.若方程+=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（﹣2，2）∪（3，+∞）考點(diǎn)： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專(zhuān)題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 由已知得（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．解答： 解：∵程+=1表示雙曲線，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案為：（﹣2，2）∪（3，+∞）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.在等比數(shù)列中，已知，則_______.參考答案：15.是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是

參考答案：4

16.有這樣一首詩(shī)：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問(wèn)君每日讀多少?”(注：《孟子》全書(shū)共34685字，“一倍多”指一倍)，由此詩(shī)知該君第一日讀的字?jǐn)?shù)為

．

參考答案：495517.已知點(diǎn)O在二面角的棱上，點(diǎn)P在內(nèi)，且。若對(duì)于內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有，則二面角的大小是__________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.函數(shù)f（x）=是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且f（）=．（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；（2）用定義證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．參考答案：【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于t的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由題意得，由此可解得，∴．（2）證明：設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，則有，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，，，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)．（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），∵f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解之得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性問(wèn)題，考查單調(diào)性的定義以及其應(yīng)用，是一道中檔題．19.某大型公益活動(dòng)從一所名牌大學(xué)的四個(gè)學(xué)院中選出了名學(xué)生作為志愿者，參加相關(guān)的活動(dòng)事宜．學(xué)生來(lái)源人數(shù)如下表：學(xué)院外語(yǔ)學(xué)院生命科學(xué)學(xué)院化工學(xué)院藝術(shù)學(xué)院人數(shù)（Ⅰ）若從這名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名，求兩名學(xué)生來(lái)自同一學(xué)院的概率；（Ⅱ）現(xiàn)要從這名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名學(xué)生向觀眾宣講此次公益活動(dòng)的主題．設(shè)其中來(lái)自外語(yǔ)學(xué)院的人數(shù)為，令，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：解:(Ⅰ)設(shè)“兩名學(xué)生來(lái)自同一學(xué)院”為事件，則即兩名學(xué)生來(lái)自同一學(xué)院的概率為．……………………4分(Ⅱ)的可能取值是，對(duì)應(yīng)的可能的取值為，，,

,

,………10分所以的分布列為

…………………11分所以.……………12分

略20.（本小題滿分12分）某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元.如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書(shū)櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤(rùn)最大？參考答案：數(shù)據(jù)分析列表

書(shū)桌書(shū)櫥資源限制木料（m3）0．10．290五合板（m2）21600利潤(rùn)（元/張）80120

計(jì)劃生產(chǎn)（張）xy

設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張，書(shū)櫥y張，利潤(rùn)z元，則約束條件為………………4分目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y作出上可行域：作出一組平行直線2x+3y=t,此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（100，400）時(shí)，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書(shū)桌100張，書(shū)櫥400張，有最大利潤(rùn)為zmax=80×100+400×120=56000(元)---……8分若只生產(chǎn)書(shū)桌，得0<x≤300，即最多生產(chǎn)300張書(shū)桌，利潤(rùn)為z=80×300=24000（元）

10分若只生產(chǎn)書(shū)櫥，得0<y≤450，即最多生產(chǎn)450張書(shū)櫥，利潤(rùn)為z=120×450=54000（元）

答：略------………………12分21.(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程．以O(shè)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．參考答案：（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．N3解析：（1）圓C的普通方程為，又所以圓C的極坐標(biāo)方程為

………5分（2）設(shè)，則由

解得

………7分設(shè)，則由解得………9分所以

………10分【思路點(diǎn)撥】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程．（II）設(shè)為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由，聯(lián)立即可解得．設(shè)的極坐標(biāo)，同理可解得．利用|即可得出．22.（本小題滿分14分）如圖，橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)在圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與圓的另一個(gè)

交點(diǎn)為.（i）當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；（ii）是否存在直線，使得?

若存在，求出直線的斜率；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：見(jiàn)解析【考點(diǎn)】圓錐曲線綜合橢圓【試題解析】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上，所以.

又離心率為，所以，所以,

所以,

所以的方程為.

（Ⅱ）（i）法一：設(shè)點(diǎn)，顯然直線存在斜率，設(shè)直線的方程為， 與橢圓方程聯(lián)立得,化簡(jiǎn)得到，

因?yàn)闉樯厦娣匠痰囊粋€(gè)根，所以，所以由，

代入得到，解得,

所以直線的斜率為.

（ii）因?yàn)閳A心到直線的距離為，

所以.

因?yàn)椋?/p>