第一節(jié)布洛赫定理5.1.1布洛赫定理5.1.3布里淵區(qū)5.1.2波矢的取值和范圍本節(jié)主要內容:§5.1布洛赫定理5.1.1布洛赫定理1.晶格的周期性勢場(3)理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內部的勢場具有周期性；(1)在晶體中每點勢能為各個原子實在該點所產生的勢能之和；(2)每一點勢能主要決定于與核較近的幾個原子實(因為勢能與距離成反比)；(4)電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當于在晶格勢場中附加了一個均勻的勢場，而不影響晶體勢場的周期性。其中為任意格點的位矢。電子在一個具有晶格周期性的勢場中運動2.布洛赫定理當勢場具有晶格周期性時，波動方程的解具有如下性質：其中為電子波矢，是格矢。(1)平移對稱算符(2)晶體中單電子哈密頓量具有晶格周期性。平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易的。在直角坐標系中：由于對易的算符有共同的本征函數，所以如果波函數是的本征函數，那么也一定是算符的本征函數。根據平移特點(3)根據上式可得到同理可得：這樣的本征值取下列形式引入矢量式中為晶格三個倒格基矢，由于,---布洛赫定理再證明布洛赫波函數具有如下形式：可以看出平面波能滿足上式。因此矢量具有波矢的意義。當波矢增加一個倒格矢，平面波也滿足上式。因此電子的波函數一般是這些平面波的線性疊加則上式化為即晶體中電子的波函數是按晶格周期調幅的平面波。（其中l(wèi)j為任意整數)，只能取一些分立的值?？梢宰C明是倒格矢。態(tài)和態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)對應同一故。個能量，為使本征函數和本征值一一對應，即使電子的波矢與本征值一一對應起來，必須把波矢的值限制在一個倒格子原胞區(qū)間內，通常取：在簡約布里淵區(qū)內，電子的波矢數目等于晶體的原胞數目N=N1N2N3。在波矢空間內，由于N的數目很大，波矢點的分布是準連續(xù)的。一個波矢對應的體積為：一個波矢代表點對應的體積為：電子的波矢密度為：例1：一維周期場中電子的波函數應當滿足布洛赫定理，若晶格常量為a，電子波函數為,

f為某一確定函數，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。

解：據布洛赫定理，在周期性勢場中運動的波函數具有以下特點：令m-n=l，據布洛赫定理，即在簡約布里淵區(qū)中，即1.布里淵區(qū)定義在倒格空間中以任意一個倒格點為原點，做原點和其他所有倒格點連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。5.1.3布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)(簡約布里淵區(qū))：圍繞原點的最小閉合區(qū)域；取對于已知的晶體結構，如何畫布里淵區(qū)呢?第n+1布里淵區(qū)：從原點出發(fā)經過n個中垂面(或中垂線)才能到達的區(qū)域(n為正整數)。2.布里淵區(qū)作圖法晶體結構布拉維晶格倒格點排列中垂面(中垂線)區(qū)分布里淵區(qū)倒格基矢正格基矢第一布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)布里淵區(qū)的面積=倒格原胞的面積高序號布里淵區(qū)的各個分散的碎片平移一個或幾個倒格矢進入簡約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。第一區(qū)第二區(qū)第三區(qū)布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖布里淵區(qū)的擴展區(qū)圖第一區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第四區(qū)第五區(qū)第六區(qū)第七區(qū)第八區(qū)第九區(qū)第十區(qū)倒格仍為矩形。例3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設矩形邊長分別為。解:第一區(qū)第二區(qū)例5：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設體心立方晶格常量為a。解：正格基矢：倒格基矢：體心立方倒格是邊長為4/a的面心立方。已知面心立方正格基矢：HPN正方形正格簡約布里淵區(qū)