了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積柱體、錐體、臺體的側面積，就是各側面面積之和，

表面積是各個面的面積的和，即側面積與底面積之和.2.旋轉體的表面積3.幾何體的體積公式[思考探究]如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示：對于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法，轉化成已知體積公式的幾何體進行解決.1.已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半

徑是(

)A.

B.3C.4D.5解析：設球半徑為R，則πR3＝4πR2，∴R＝3.答案：B2.圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方形，那

么這個圓柱的側面積是(

)A.4πSB.2πS

C.πSD.πS解析：底面半徑是，所以正方形的邊長是2π

＝2，故圓柱的側面積是(2)2＝4πS.答案：A3.將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD＝a，

則三棱錐D－ABC的體積為(

)A.B.C.a3D.a3

解析：設正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，沿AC折起后依題意得，當BD＝a時，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱錐D－ABC的高為DE＝

a，所以三棱錐D－ABC的體積V＝答案：D4.若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球

的表面積為

.解析：正方體的體對角線為球的直徑.答案：27π5.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積

是

.解析：此幾何體為一圓錐與圓柱的組合體.圓柱底面半徑為r＝a，高為h1＝2a，圓錐底面半徑為r＝a，高為h2＝a.故組合體體積為V＝πr2h1＋πr2h2＝2πa3＋πa3＝.答案：求解有關棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積的關鍵是利用幾何圖形的性質找到其幾何圖形特征，從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長等幾何元素間的關系，如棱柱中的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺中的直角梯形等.(2009·寧夏、海南高考)一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積(單位：cm2)為(

)A.48＋12

B.48＋24C.36＋12D.36＋24[思路點撥][課堂筆記]

如圖所示三棱錐.AO⊥底面BCD，O點為BD的中點，BC＝CD＝6(cm)，BC⊥CD，AO＝4(cm)，AB＝AD.S△BCD＝6×6×＝18(cm2)，S△ABD＝×6×4＝12(cm2).取BC中點為E.連結AE、OE.可得AO⊥OE，AE＝＝＝5(cm)，∴S△ABC＝S△ACD＝×6×5＝15(cm2)，∴S表＝18＋12＋15＋15＝(48＋12)(cm2).[答案]

A1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有如下關系，用圖

表示如下：2.求錐體的體積，要選擇適當?shù)牡酌婧透撸缓髴霉?/p>

式V＝Sh進行計算即可.常用方法為：割補法和等體

積變換法：

(1)割補法：求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分

割成幾個柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，

從而得出幾何體的體積.(2)等體積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面.①求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；②利用“等積性”可求“點到面的距離”.

(2009·遼寧高考)正六棱錐P－ABCDEF中，G為PB的中點.則三棱錐D－GAC與三棱錐P－GAC體積之比為(

)A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2[思路點撥][課堂筆記]∵G為PB中點，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.又多邊形ABCDEF是正六邊形，∴S△ABC＝S△ACD，∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC，∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.[答案]

C1.圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖的

面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各

線段與原幾何體的關系是掌握它們的面積公式及解決

相關問題的關鍵.2.計算柱體、錐體、臺體的體積關鍵是根據條件找出相應

的底面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉體的軸

截面，將空間問題轉化為平面問題.

如圖所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30°).[思路點撥][課堂筆記]如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1，在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，＝π×R×R＝πR2，＝π×R×R＝πR2，∴S幾何體表＝S球＋＋＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.∴旋轉所得幾何體的表面積為πR2.能否求出該幾何體的體積？＝πR3－πO1C2(AO1＋BO1)＝πR3－π×(R)2·2R＝πR3－πR3＝πR3.解：V幾何體＝V球－＝πR3－πO1C2·AO1－πO1C2·BO1幾何體的折疊與展開問題是立體幾何的重要內容之一，解決折疊與展開問題的關鍵是弄清折疊與展開前后位置關系和數(shù)量關系的變化情況，從而畫出準確的圖形解決問題.2009年全國高考Ⅱ中出現(xiàn)了正方體的折疊與展開問題，很好的考查了學生的空間想象能力以及推理能力，代表了一種考查方向.[考題印證](2009·全國卷Ⅱ)紙制的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側的平面圖形，則標“△”的面的方位是

(

)A.南B.北

C.西

D.下【解析】

如圖所示.規(guī)律：展開圖中間隔一個為相對的面.【答案】

B

[自主體驗]

已知一多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該多面體的體積V＝

.解析：該多面體是一個正方體和正四棱錐的組合體，正四棱錐的底面為邊長為1的正方形，側棱長為1.由圖知，OB＝BD＝，SB＝1，∴SO＝∴V四棱錐＝∴V多面體＝1＋.答案：1＋1.把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來

的(

)A.2倍B.2倍

C.倍

D.倍解析：設球原來半徑為r，則S＝4πr2，V＝πr3，又設擴大后半徑為R，則4πR2＝8πr2，∴R＝r，∴V擴＝πR3＝π(r)3，∴＝2.答案：B2.(2009·陜西高考)若正方體的棱長為，則以該正方體

各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為(

)A.B.C.D.

解析：這個凸多面體由兩個全等的正四棱錐組成，正四棱錐的底面邊長為＝1，高等于，所以體積V＝2××12×＝.答案：B3.一個圓臺的兩底面的面積分別為π、16π，側面積為25π，

則這個圓臺的高為(

)A.3B.4C.5D.解析：由圓臺側面積公式得S＝π(R＋r)l＝π(4＋1)l＝25π.得l＝5，故高為＝4.答案：B4.(2010·廣州模擬)將圓心角為，面積為3π的扇形，作

為圓錐的側面，則圓錐的表面積等于

.解析：設圓錐的母線長為l，則有×