第二章量子力學(xué)初步

關(guān)于經(jīng)典理論的“危機(jī)”和它的維護(hù)者所持的態(tài)度，有一個(gè)事例，被人們作為典型經(jīng)常引證，這就是開爾文的“兩朵烏云”。開爾文在19世紀(jì)后半葉，對(duì)經(jīng)典物理學(xué)作過許多貢獻(xiàn)。1900年，這時(shí)他已76歲了，是一位德高望重的物理學(xué)界老前輩。這一年4月27日，他在英國皇家研究所（RoyalInstitution）發(fā)表了一篇講演①，題為：《在熱和光動(dòng)力理論上空的19世紀(jì)烏云》，開頭的一段話是這樣說的：

“動(dòng)力學(xué)理論斷言熱和光都是運(yùn)動(dòng)的方式，現(xiàn)在這一理論的優(yōu)美性和明晰性被兩朵烏云遮蔽得黯然失色了。第一朵烏云是隨著光的波動(dòng)論而開始出現(xiàn)的。菲涅耳和托馬斯·楊研究過這個(gè)理論，它包括這樣一個(gè)問題：為什么地球能夠穿過本質(zhì)上是光以太這樣的彈性固體而運(yùn)動(dòng)呢？”

開爾文回顧了以太的各種學(xué)說，并闡述了自己的看法。他認(rèn)為菲涅耳和托馬斯·楊的學(xué)說不能完滿解釋與以太有關(guān)的各種現(xiàn)象，物體在以太中，必然跟以太有相互作用。“如果把以太看成是可伸可縮的固體，就不難回答這一問題。我們只要假設(shè)原子對(duì)以太會(huì)產(chǎn)生力，靠這個(gè)力的作用，在原子占據(jù)的空間（以太）被濃縮和稀釋?！彼隙速M(fèi)茲杰惹和洛侖茲的收縮假說，認(rèn)為已經(jīng)擺脫了困境，邁克耳遜莫雷實(shí)驗(yàn)的“結(jié)果不能否定以太通過地球所占空間的自由運(yùn)動(dòng)?！?/p>

不過，開爾文并不因此而表示樂觀，他宣稱：“恐怕我們還必須把第一朵烏云，看成是很稠密的?！钡诙铝孔恿W(xué)初步

接著，開爾文以大量篇幅討論第二朵烏云，這是指的能量均分原理遇到了麻煩。他認(rèn)為這朵烏云應(yīng)該驅(qū)散，二十多年來，麥克斯韋、玻爾茲曼、瑞利等人總希望維護(hù)能量均分原理，“避免破壞普遍結(jié)論的簡單性?！钡菍?shí)際上不可能有這種簡單性。開爾文提到他自己就在十年前向能量均分原理提出過質(zhì)疑。經(jīng)過一番論證之后，開爾文宣稱：“要達(dá)到所需結(jié)果，最簡單的途徑就是否定這一結(jié)論，這樣就可以在20世紀(jì)開始之際，使這朵烏云消失?！?/p>

有人說，開爾文關(guān)于兩朵烏云的演講預(yù)見到物理學(xué)正醞釀著一場偉大的革命。這種說法恐怕不大符合事實(shí)，但是他這篇演講確實(shí)反映了當(dāng)時(shí)物理學(xué)家的普遍情緒，認(rèn)為物理學(xué)正處于危機(jī)之中。

其實(shí)，物理學(xué)面臨的不是危機(jī)，而是一場偉大的革命。實(shí)驗(yàn)上一系列新發(fā)現(xiàn)，跟經(jīng)典物理學(xué)的理論體系產(chǎn)生了尖銳的矛盾，暴露了經(jīng)典物理理論中的隱患，指出了經(jīng)典物理學(xué)的局限性。物理學(xué)只有從觀念上、從基本假設(shè)上、以及從理論體系上來一番徹底的變革，才能適應(yīng)新的形勢。

由于這些變革，物理學(xué)面臨大發(fā)展的局面，請(qǐng)看：(1)電子的發(fā)現(xiàn)，打破了原子不可分的傳統(tǒng)觀念，開辟了原子物理學(xué)的嶄新領(lǐng)域；(2)放射性的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了放射學(xué)的研究，為原子核物理學(xué)作好必要的準(zhǔn)備；(3)以太漂移的探索，使以太理論處于重重矛盾之中，為從根本上拋開以太存在的假設(shè)、創(chuàng)立狹義相對(duì)論提供了重要依據(jù)；(4)黑體輻射的研究導(dǎo)致了普朗克黑體輻射定律，由此提出了量子假說，為量子理論的建立打響了第一炮。

總之，在世紀(jì)之交的年代里，物理學(xué)處于新舊交替的階段。所謂新舊交替，并不是指舊的經(jīng)典物理學(xué)完全被新的物理學(xué)取代，而是指物理學(xué)在原有的基礎(chǔ)上擴(kuò)展，從低速宏觀的領(lǐng)域擴(kuò)展到高速和微觀的領(lǐng)域。對(duì)于低速宏觀的領(lǐng)域，經(jīng)典物理學(xué)仍然是有效的。第二章量子力學(xué)初步

2.1量子力學(xué)的基本原理(PrinciplesofQuantumMechanics)

能量量子化原理波粒二相性原理不確定原理

2.1量子力學(xué)的基本原理能量量子化(EnergyQuanta)經(jīng)典物理學(xué)只要光的強(qiáng)度足夠大，電子就可以克服材料的功函數(shù)從表面發(fā)射出去，而該過程與照射光的頻率無關(guān)；光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)在恒定光強(qiáng)的照射下，光電子的最大動(dòng)能隨著光頻率呈線性變化；低于某極限頻率將不會(huì)產(chǎn)生光電子。2.1量子力學(xué)的基本原理能量量子化(EnergyQuanta)1900年P(guān)lanck提出了加熱物體表面發(fā)出的熱輻射是不連續(xù)的假設(shè)，即量子；E=hn1905年Einstein提出了光波也是由分立的粒子組成的假設(shè)；這種粒子化的能量叫光子，E=hn光電子的最大動(dòng)能Tmax=1/2*mu2=hn–hn0(n>n0)2.1量子力學(xué)的基本原理波粒二相性(Wave-ParticleDuality)1924年deBroglie提出了存在物質(zhì)波的假設(shè)；光子的動(dòng)量:P=h/l德布羅意波長:l=h/p1927年DavissonandGermer實(shí)驗(yàn)2.1量子力學(xué)的基本原理不確定原理(TheUncertaintyPrinciple)1927年Heisenberg不確定原理;共軛變量:粒子的坐標(biāo)與動(dòng)量、能量與時(shí)間；不確定關(guān)系式：既然不確定原理的一個(gè)結(jié)論是無法確定一個(gè)電子的準(zhǔn)確坐標(biāo)，我們就將其替代為確定某個(gè)坐標(biāo)位置可能發(fā)現(xiàn)電子的概率；概率密度函數(shù)ΔpΔx≥h/2π

ΔEΔt≥h/2π

2.2薛定諤波動(dòng)方程(Schrodinger’sWaveEquation)一維非相對(duì)論的薛定諤波動(dòng)方程為波函數(shù)，V(x)為與時(shí)間無關(guān)的勢函數(shù)，m是粒子的質(zhì)量

＝

2.2薛定諤波動(dòng)方程左邊只是坐標(biāo)x的函數(shù)，右邊只是時(shí)間t的函數(shù)；引入分離變量常數(shù)其中E=hn=h/22.2薛定諤波動(dòng)方程與時(shí)間無關(guān)的項(xiàng)

分離常量是粒子的總能量E，m為粒子的質(zhì)量，V（x）為粒子所在的勢場。2.2薛定諤波動(dòng)方程1926年MaxBorn假設(shè)是某一時(shí)刻在x與x+dx之間發(fā)現(xiàn)粒子的概率；為概率密度函數(shù)；2.2.2波函數(shù)的物理意義

波函數(shù)用來描述晶體中的電子狀態(tài)，整個(gè)波函數(shù)是與坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)和與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)的乘積。與時(shí)間無關(guān)的概率密度函數(shù)2.2薛定諤波動(dòng)方程2.2.3邊界條件

由于代表概率密度函數(shù)，因此，對(duì)單個(gè)粒子來說必須滿足：

如果粒子的能量E和勢函數(shù)V(x)在任何位置均為有限值，則要求波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)符合以下條件：條件1必須有限、單值和連續(xù)；條件2必須有限、單值和連續(xù)；

2.3薛定諤波動(dòng)方程的應(yīng)用如果沒有任何外力作用于粒子，則勢函數(shù)V(x)為常量，且E>V(x)；假定V(x)＝02.3.1自由空間中的電子（ElectroninFreeSpace）微分方程的解：

2.3薛定諤波動(dòng)方程的應(yīng)用2.3.1自由空間中的電子整個(gè)波動(dòng)方程的解是：該解是一個(gè)行波，即自由空間中的粒子運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為行波。其中系數(shù)為A的第一項(xiàng)是方向?yàn)?x的波，而系數(shù)為B的第二項(xiàng)是方向?yàn)?x的波。系數(shù)的值可由邊界條件確定。2.3薛定諤波動(dòng)方程的應(yīng)用2.3.1自由空間中的電子假設(shè)某一時(shí)刻，有一個(gè)沿+x方向運(yùn)動(dòng)的粒子，可以描述為+x方向的行波，而系數(shù)B=0。該行波的表達(dá)式可寫為：其中k為波數(shù)，即：k=2π/λ其中在一定區(qū)域的自由粒子可以用一個(gè)波包表示，波包由若干不同動(dòng)量或不同k值的波函數(shù)疊加而成。2.3.2無限深勢阱（TheInfinitePotentialWell）無限深勢阱中的粒子問題是束縛態(tài)粒子的典型例子.假設(shè)粒子存在于區(qū)域Ⅱ中，則粒子被局限在有限的區(qū)域內(nèi)。如果E有限，則在區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ中波函數(shù)必須為零或

因?yàn)榱Ｗ硬豢赡艽┰綗o限深勢壘，所以在區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅲ中發(fā)現(xiàn)粒子的概率為零。2.3.2無限深勢阱在區(qū)域Ⅱ中，V=0,與時(shí)間無關(guān)的薛定諤波動(dòng)方程為：方程的解可以寫出：2.3.2無限深勢阱由連續(xù)性邊界條件在x=0處，有A1=0。在x=a處該方程式當(dāng)Ka=np時(shí)成立，其中參數(shù)n為正整數(shù)，即n=1，2，3，…。參數(shù)n稱為量子數(shù)。

K=np/a由歸一化邊界條件n=1，2，3，…2.3.3階躍勢函數(shù)假設(shè)有粒子流射入到階躍勢壘上，粒子流的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?x，起始點(diǎn)在x=-∞處。在區(qū)域Ⅰ,V=0,(x≤0)2.3.3階躍勢函數(shù)在區(qū)域Ⅱ中，V=V0。假設(shè)E﹤V0

(x≥0)2.3.3階躍勢函數(shù)邊界條件為波函數(shù)必須保持有限，即系數(shù)B2=0(x≥0)A1+B1=A2波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)2.3.3階躍勢函數(shù)反射的概率密度函數(shù)為定義一個(gè)反射系數(shù)R作為反射流相對(duì)于入射流的比率在區(qū)域Ⅰ,R=1表明E﹤V0的粒子流入射到勢壘上將全部被反射回來，粒子不會(huì)被吸收或穿過勢壘。在區(qū)域Ⅱ中，在E﹤V0的情況下，系數(shù)A2不為零，因此，在區(qū)域Ⅱ中發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度函數(shù)也不等于零。表明入射粒子有一定的概率會(huì)穿過勢壘到達(dá)區(qū)域Ⅱ中。2.3.4矩形勢壘2.3.4矩