13.5.3角平分線（兩課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握角平分線性質(zhì)定理和逆定理，并能運(yùn)用這兩個定理證明線段相等和角相等．2．提高學(xué)生對角平分線性質(zhì)和判定在實(shí)際生活中的應(yīng)用能力．學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：角平分線性質(zhì)定理和逆定理的內(nèi)容。難點(diǎn)：角平分線性質(zhì)定理和逆定理的運(yùn)用。復(fù)習(xí)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理線段的垂直平分線的判定定理它們互為？

逆定理創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課在一個三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？ABC探究角平分線的性質(zhì)

(1)實(shí)驗(yàn)：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？(2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900

在△PDO和△PEO中,

∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE(3)驗(yàn)證猜想符號語言∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）PAOBCED12(4)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。注意：敘述時，條件是3個，缺一不可判斷題∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC

（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）。（×）如圖，在Rt△ABC中，你能總結(jié)一下，證明兩條線段相等，除了證它們所在的三角形全等之外，還有什么方法

思考利用角平分線的性質(zhì)ABCBD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，EDE與DC相等嗎？D答：DE=DC?！連D是∠ABC的平分線

且DE⊥BA，∴DE=DC。為什么？DC⊥BC，已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，PD＝PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt

△PDO與Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900

PD=PE（已知）OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌Rt

△PDO(H.L.)∴∠1=∠2即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。逆定理角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.你能證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)嗎？ACBEDPMHK如圖，在△ABC的頂點(diǎn)B的外角的平分線BD與頂點(diǎn)C的外角的平分線CE相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊AB、BC、AC的距離相等．證明：過點(diǎn)P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分別為M、K、H?！連D平分∠CBMPM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即點(diǎn)P到三邊AB、BC、AC的距離相等若求證點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，又該如何證明呢？證明：過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD

于H，F(xiàn)M⊥BC于M，GHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，

FG⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，∴FG=FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.

如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．課本98頁練習(xí)21．如圖，在直線l上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．提示：作∠AOB的平分線，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求練習(xí)1練習(xí)2：

如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABOP利用結(jié)論，解決問題練一練

1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?想一想在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。P1P2P3P4l1l2l3如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：△DBE的周長等于AB。ABCDE如圖，O是三條角平分線的交點(diǎn)，OD⊥