第6

章定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算定積分的應(yīng)用6.3定積分的應(yīng)用平面圖形的面積1旋轉(zhuǎn)體的體積

2平行截面已知的立體的體積3平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)41.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積如下圖，如果，則曲線(xiàn)與直線(xiàn)及軸所圍成的平面

圖形的面積的為高、微元是

如果在上不是非負(fù)的，那么它的面積的微元應(yīng)是以為

底的矩形面積于是，不論是否為非負(fù)的，即xyo總是6.3.1平面圖形的面積

由上述公式得也可先畫(huà)出與直線(xiàn)及軸所圍成求由曲線(xiàn)與直線(xiàn)及軸所圍成的平面圖形的面積。的平面圖形，則由定積分的幾何意義知

例6.29解求由兩條曲線(xiàn)與兩條直線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積。如果任取一子區(qū)間其上的面積用以為高，為底的矩形面積近似代替，即面積微元，如下圖所示如果在負(fù)的。則在上的面積上不是非近似值應(yīng)是即面積微元因此不論什么情況，總有

由上述公式知

求平面圖形的面積。所圍成的例6.30解根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)圖形的面積。

所圍成的作出它的草圖,如下圖所示,并求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，即解方程組的交點(diǎn)。如果選擇y作積分變量，,任取一個(gè)子區(qū)間，則在上的面積微元

于是例6.31解如果選擇求由曲線(xiàn)及x軸所圍成的平面圖形的面積。作出它的草圖,如下圖所示如選擇

x

為積分變量，，則

作積分變量，則取后一個(gè)表達(dá)式計(jì)算比較簡(jiǎn)單。例6.32解求平面圖形面積的步驟：ABCDE

畫(huà)圖定出圖形所在范圍；

求圍成平面圖形的各條曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；確定關(guān)于x積分還是關(guān)于y積分或需分成幾部分，然后定出積分限；

寫(xiě)出面積的積分表達(dá)式；求出積分值（面積）。

因?yàn)閳D形關(guān)于代入上述積分式軸、求橢圓的面積（下圖所示）其中軸對(duì)稱(chēng)，所以橢圓面積是它在第一象限部分的面積的四倍。即把由定積分的換元公式得中，例6.33解處的極徑用2.極坐標(biāo)系下平面圖形的面積由曲線(xiàn)及兩條半直線(xiàn)成的圖形稱(chēng)為曲邊扇形。所圍任取一個(gè)子區(qū)間為半徑，以為圓心的小扇形的面積作為面積微元，如下圖中斜線(xiàn)部分的面積。即利用對(duì)稱(chēng)性知例6.34解所圍成的曲邊梯形繞軸旋

及具體解法如下：設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由曲線(xiàn)與直線(xiàn)軸轉(zhuǎn)而成.用過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的平面截該旋轉(zhuǎn)體所得的截面是半

徑為的圓，則截面面積為

于是旋轉(zhuǎn)體的體積為6.3.2旋轉(zhuǎn)體的體積類(lèi)似地可以求得，由曲線(xiàn)與直線(xiàn)及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

求由橢圓分別繞軸和而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

軸旋轉(zhuǎn)

繞軸時(shí)，由上述公式并利用對(duì)稱(chēng)性，得

繞軸時(shí)，由上述公式并利用對(duì)稱(chēng)性，得

當(dāng)時(shí)，則得球的體積為例6.35解的高為的正拋物線(xiàn)弓形繞其底邊底長(zhǎng)為旋轉(zhuǎn)，求由此得到的旋轉(zhuǎn)體體積。

以?huà)佄锞€(xiàn)弓形的底邊為軸,且以底邊上的中垂線(xiàn)軸。則拋物線(xiàn)

為弓形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為,

底邊的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為設(shè)在該坐標(biāo)系下拋物線(xiàn)的方程為因此拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A、B、C，由此解得：。即拋物線(xiàn)方程為

AOBy

x2ah

例6.36解于是拋物線(xiàn)弓形繞其底邊旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體體積為求和直線(xiàn)

所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

先求出兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)：解方程組得交點(diǎn)減去由曲邊三角形OPA繞x軸該旋轉(zhuǎn)體的體積是等于由直角三角形OPA繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，即例6.37解所以代入公式得是軸）的截面所截設(shè)一物體，它被垂直于直線(xiàn)（設(shè)為的連續(xù)函數(shù)，的面積與

之間，則此物體的體積為事實(shí)上，由元素法，從而且此物體的位置在6.3.3平形截面已知的立體的體積取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積例6.38解設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在中任取子區(qū)間,其上一段弧

MN的長(zhǎng)度為由下圖知，它可以用曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)上相應(yīng)該子區(qū)間的小段MT的長(zhǎng)度近似。

由微分的幾何意義,可知弧長(zhǎng)的微元所以為6.3.4平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)若曲線(xiàn)是由參數(shù)方程則弧長(zhǎng)的微元為則若曲線(xiàn)由極坐標(biāo)方程弧長(zhǎng)微元為則表示，表示，求懸鏈線(xiàn)從到的一段弧的長(zhǎng)度。

因?yàn)榇牍降美?.39解求擺線(xiàn)第一拱的弧長(zhǎng)

因?yàn)榇牍降美?.40解求阿基米德螺線(xiàn)上從變到的一段弧的長(zhǎng)度。

因?yàn)榇牍降?/p>

例6.41解內(nèi)容小結(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積2平面圖形的面積