主編：費宇中國人民大學出版社2023/2/3主編：費宇1第10章多維標度分析10.1

多維標度法的基本思想10.2

古典多維標度法多維標度法的幾個基本概念；

已知距離矩陣時CMDS解；

已知相似系數(shù)矩陣時CMDS解；10.3

非度量多維標度法10.4案例分析與R實現(xiàn)2023/2/3主編：費宇2第10章多維標度分析2023/2/3主編：費宇310.1

多維標度法的基本思想多維標度法：是用低維空間

Rk(k<p)中的n個點去重新標度和展示高維空間Rp中n個點(的某種距離或某種相似性)，將高維空間中的研究對象(樣本或變量)簡化到低維空間中進行定位、歸類和分析且有效保留研究對象間原始關系的多元數(shù)據分析技術的總稱．是一種維數(shù)縮減方法，主要思想是在降維的同時讓新得到的n個點與原來的n個點保持較高的相似度(如位置關系、距離、類別等)．2023/2/3主編：費宇4多維標度法起源于上世紀40年代的心理測度.1958年Torgerson正式提出了這一方法．目前應用廣泛，內容豐富，方法較多．主要分為兩類：度量分析法，非度量分析法.它與主成分分析有相通之處：

共同點：均先降維，再做簡明有效的分析；

不同點：主成分法按包含信息大小選取主成

分；多維標度法按標度前后距離陣

盡量接近或相似來構造擬合點．10.2

古典多維標度分析2023/2/3主編：費宇5例10.1在地圖上重新標度我國八個城市，使得它們之間的距離盡量接近于表10.1中的距離．

北京天津濟南青島鄭州上海杭州南京北京0

天津1180

濟南4393630

青島6685713620

鄭州7147294437720

上海125911458867769840

杭州132811918728289622030

南京1065936626617710322305010.2.1

多維標度法的幾個基本概念2023/2/3主編：費宇6古典多維標度(CMDS)解的定義對于距離陣，多維標度法的目的是要尋找較小的k和Rk中的n個點,記，表示xi與xj在Rk中的歐氏距離，使得與在某種意義下盡量接近,記稱為的一個古典多維標度(CMDS)解,稱xi為的一個擬合構造點，稱為的擬合構圖，稱為的擬合距離陣．2023/2/3主編：費宇7特別，當時，稱xi為的一個構造點，稱為的構圖，注意的構圖不唯一．2023/2/3主編：費宇8幾個相關矩陣構造：2023/2/3主編：費宇9

距離陣為歐氏距離陣的充要條件：從歐氏距離陣D出發(fā)得到構圖

X的步驟：見下面例10.2．2023/2/3主編：費宇10例10.2

由D求

X的過程示例2023/2/3主編：費宇11例10.2（續(xù)）

由D求

X的過程示例2023/2/3主編：費宇1210.2.2

已知距離矩陣時CMDS解上面求解CMDS解的實現(xiàn)過程，可使用stats包中的cmdscale函數(shù)；也可使用MASS包中isoMDS函數(shù)．

例10.3對表10.1給出的我國八個城市間的距離矩陣D，利用R軟件stats包中的cmdscale函數(shù)求

的CMDS解，給出擬合構圖

及擬合構造點．2023/2/3主編：費宇13例10.3（續(xù)）#打開數(shù)據文件eg10.3.xls,選取C2:K10后復制>eg10.3=read.table("clipboard",header=T)#讀入數(shù)據>D10.3=cmdscale(eg10.3,k=2,eig=T);D10.3#k取為2,并給出B的前兩個特征向量和所有特征值>sum(abs(D10.3$eig[1:2]))/sum(abs(D10.3$eig))#j算a1.2>sum((D10.3$eig[1:2])^2)/sum((D10.3$eig)^2)#算a2.2>x=D10.3$points[,1];y=D10.3$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-700,800),ylim=c(-300,600))#根據兩個特征向量的分量大小繪散點圖>text(x,y,labels=s(eg10.3),adj=c(0,-0.5),cex=0.8)#將擬合點用行名標出2023/2/3主編：費宇14圖10.1我國八城市距離陣的擬合構圖：2023/2/3主編：費宇152023/2/3主編：費宇1610.2.3

已知相似系數(shù)陣陣時CMDS解2023/2/3主編：費宇17例10.4

六門課程之間的相關系數(shù)矩陣C(它也為相似系數(shù)矩陣),求C的CMDS解,并給出擬合構圖

及擬合構造點．2023/2/3主編：費宇18

2023/2/3主編：費宇19例10.4（續(xù)）#打開數(shù)據文件eg10.4.xls，選取A10:G16，然后復制>eg10.4=read.table("clipboard",header=T)#讀入數(shù)據>D10.4=cmdscale(eg10.4,k=2,eig=T);D10.4>sum(abs(D10.4$eig[1:2]))/sum(abs(D10.4$eig))#算a1.2>sum((D10.4$eig[1:2])^2)/sum((D10.4$eig)^2)#算a2.2>x=D10.4$points[,1]>y=D10.4$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-0.6,0.8),ylim=c(-0.6,0.7))#繪擬合圖>text(x,y,labels=s(eg10.4),adj=c(0,-1),cex=0.8)可看出：算術、代數(shù)、幾何較為接近，英語和蓋爾語較為相近，而歷史課程與其他課程的差異較大2023/2/3主編：費宇202023/2/3主編：費宇2110.4案例分析與R實現(xiàn)案例10.1表10.5給出了2010年我國31個省市自治區(qū)農村居民家庭人均生活消費支出的統(tǒng)計數(shù)據．一共選取八個指標：x1為食品消費；x2為衣著消費；x3為居住消費；x4為家庭設備用品及服務；x5為交通通訊；x6為文教娛樂用品及服務；x7為醫(yī)療保?。粁8為其他商品和服務支出．試用多維標度法對其進行統(tǒng)計分析，并對分析結果的實際意義進行解釋．2023/2/3主編：費宇22案例10.1（續(xù)）本案例我們采用MASS包中的isoMDS函數(shù)來實現(xiàn)#打開數(shù)據文件case10.1.xls,選取區(qū)域A2:I33,然后復制>case10.1<-read.table("clipboard",header=T)#讀入數(shù)據>D1=as.matrix(case10.1)#需要將數(shù)據轉換成矩陣形式>D=dist(D1)#求距離陣>library(MASS)#載入MASS包,使用isoMDS函數(shù)>fit=isoMDS(D,k=2);fit>x=fit$points[,1];>y=fit$points[,2]>plot(x,y)#畫散點圖>text(x,y,labels=s(case10.1),adj=c(0.5,1.5),cex=0.7)#設置標簽位置大小>abline(h=0,v=0,lty=3)#采用虛線劃分四個象限2023/2/3主編：費宇232023/2/3主編：費宇24從圖10.3可以比較直觀地看出，在總支出方面，上海、北京、廣東、浙江、江蘇、天津、福建等沿海地區(qū)，是我國傳統(tǒng)的經濟發(fā)達地帶，又是改革開放的