張貴杰Tel-Mail：zhguijie@河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系金屬塑性變形理論

第21講2/4/20231第十章應(yīng)力狀態(tài)分析主要內(nèi)容MainContent應(yīng)力狀態(tài)基本概念斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析求和約定和應(yīng)力張量主應(yīng)力及主切應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力2/4/2023210.2斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析要想了解一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)必須知道過該點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力分布。但是過該點(diǎn)的截面有無窮多個(gè)，我們沒有辦法一一列舉。為此必須采用其他方式進(jìn)行描述。2/4/20233一點(diǎn)的應(yīng)力向量不僅取決于該點(diǎn)的位置，還取決于截面的方位。2/4/20234通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截取三個(gè)相互垂直的截面和與坐標(biāo)軸成任意角度的傾斜截面，這四個(gè)截面構(gòu)成一個(gè)四面體素2/4/20235zxyosxs

ysztxytyztyxtxztzytzxSnnSnxSnySnzsntnBACdsExAoE2009-11-11-32/4/20236該微分斜面面積為ds，外法線方向的方向余弦為：cos(n,x)=l、cos(n,y)=m、cos(n,z)=n

三個(gè)垂直坐標(biāo)面的面積可以表示為：

xzagn方向余弦有：2/4/20237由于變形體處于平衡狀態(tài)，對于任意體素都有三個(gè)方向的受力平衡，即

在x方向：在y方向：在z方向：2/4/20238整理后可得方程用矩陣表示為（※）2/4/20239把微分斜面上的合應(yīng)力Sn，向法線n方向投影，便可求出微分斜面上的正應(yīng)力，或?qū)nx、Sny、Snz分別投影到法線n上，也同樣得到微分斜面上的正應(yīng)力，即將Snx、Sny、Snz帶入上式得微分面上的剪應(yīng)力為2/4/202310若坐標(biāo)軸為主軸，則與坐標(biāo)軸垂直的截面上的切應(yīng)力為零，則由可得而所以2/4/202311綜上可知，變形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過該點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的三個(gè)微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量來表示?；蛘哒f，通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直于坐標(biāo)軸所截取的三個(gè)相互垂直的微分面上各應(yīng)力已知時(shí)，便可確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

2/4/202312應(yīng)力邊界條件方程如果該四面體素的斜面恰好為變形體的外表面上的微面素，并假定此面素單位面積上的作用力在坐標(biāo)軸方向的分力分別為px、py、pz，則2/4/202313應(yīng)力邊界條件方程的物理意義：建立了過外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過該點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。2/4/202314課堂練習(xí)已知變形體某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，當(dāng)斜面法線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸夾角余弦時(shí)，求該斜面上的全應(yīng)力S，全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量Sx、Sy、Sz，，及斜面上的法線應(yīng)力sn和切應(yīng)力tn。2/4/202315解：首先確定各應(yīng)力分量sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、tyz=tzy=0（單位MPa）。由2/4/2023162/4/202317應(yīng)力坐標(biāo)變換公式其中l(wèi)i、mi、ni為新坐標(biāo)軸在原坐標(biāo)系下的方向余弦。xyzx'l1m1n1y'l2m2n2z'l3m3n32/4/202318yx'y'uuxuyux'u