§1坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換§2圖形的裁剪技術(shù)§3圖形的幾何變換§4CAD/CAM中圖形的生成方法§5交互技術(shù)和圖形標(biāo)準(zhǔn)第三章計算機(jī)圖形處理技術(shù)3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識坐標(biāo)系分類3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識模型坐標(biāo)系（造型坐標(biāo)系MCS）：（ModelingCoordinateSystem）右手坐標(biāo)系，是用來描述世界坐標(biāo)系中每個具體物體的形狀，當(dāng)物體的空間位置發(fā)生變化時，由造型坐標(biāo)系定義的物體上的各點的坐標(biāo)值不變，也稱工作坐標(biāo)系。

圖a圖b3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識世界坐標(biāo)系(WC)：世界坐標(biāo)系（也稱用戶坐標(biāo)系）是用戶用于定義所有物體的統(tǒng)一參考坐標(biāo)系，它在計算過程中始終保持唯一性。物體從模型坐標(biāo)下經(jīng)幾何變換到世界坐標(biāo)系稱模型變換。zxynvuWCVRC用于定義整圖或最高層次圖形結(jié)構(gòu)，各子圖、圖元都放在wc的適當(dāng)位置。世界坐標(biāo)系與造型坐標(biāo)系是整體與局部的關(guān)系，造型坐標(biāo)系也稱為局部坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系也稱為整體坐標(biāo)系。3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識觀察坐標(biāo)系（VCS）：符合右手定則的直角坐標(biāo)系作用：（1）用于指定裁剪空間，確定物體要顯示輸出的部分；（2）是通過在觀察坐標(biāo)系中定義觀察平面，把三維物體的世界坐標(biāo)變換為規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)。3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識設(shè)備坐標(biāo)系（DCS）：圖形輸出設(shè)備（如顯示器、繪圖機(jī)）自身都有一個坐標(biāo)系，稱為設(shè)備坐標(biāo)系或物理坐標(biāo)系。設(shè)備坐標(biāo)系是一個二維平面坐標(biāo)系，用于在圖形設(shè)備上定義圖形或窗口的位置，它的度量單位是步長（繪圖機(jī)）或像素（顯示器）。定義域是整數(shù)域且是有界的。3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系（NDCS）：由于不同的圖形設(shè)備具有不同的設(shè)備坐標(biāo)系，且不同設(shè)備間坐標(biāo)范圍也不盡相同，為了避免由于設(shè)備坐標(biāo)系與設(shè)備的相關(guān)性影響應(yīng)用程序的可移植性，引入與設(shè)備無關(guān)的規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系，規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系的取值范圍是左下角（0.0,0.0）用戶的圖形數(shù)據(jù)經(jīng)轉(zhuǎn)換成規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系后，使應(yīng)用程序與圖形設(shè)備隔離開，增強(qiáng)了應(yīng)用程序的可移植性。觀察坐標(biāo)系規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識坐標(biāo)系3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識窗口與視區(qū)1、窗口(Windows)

用戶坐標(biāo)系中的一個矩形區(qū)域，可以用其左下角點和右上角點坐標(biāo)來表示。只有在這個區(qū)域內(nèi)的圖形才能在設(shè)備坐標(biāo)系下顯示輸出，其余的將被裁剪掉。窗口可以嵌套，即在第一層窗口中再定義第二層窗口，在第n層窗口中再定義第n+1層窗口，在各種CAD系統(tǒng)中經(jīng)常用到的框選放大操作就是窗口技術(shù)的典型應(yīng)用。2、視區(qū)(Viewport)

設(shè)備坐標(biāo)系中的一個矩形區(qū)域，在圖形設(shè)備上用來輸出圖形的最大區(qū)域稱之為屏幕域，它是有限的整數(shù)域，任何小于或等于屏幕域的區(qū)域都可定義為視區(qū)。視區(qū)由用戶在屏幕域中用設(shè)備坐標(biāo)定義，一般也由左下角點和右上角點坐標(biāo)來表示，同樣視區(qū)也可以是多層的。而且，在同一屏幕還可以定義多個視區(qū)。3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識通過變換可以把窗口中的圖形和視區(qū)中的圖形一一對應(yīng)起來。輸出圖形：用戶坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系（窗口坐標(biāo)）（視區(qū)坐標(biāo)）輸入圖形：設(shè)備坐標(biāo)系用戶坐標(biāo)系（視區(qū)坐標(biāo)）（窗口坐標(biāo)）3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識窗口與視區(qū)的變換3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識窗口與視區(qū)的變換3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識窗口與視區(qū)的變換3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識二維圖形的輸出過程三維形體的輸出過程3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識注意：1、當(dāng)視區(qū)不變時，窗口尺寸縮小則視區(qū)圖形尺寸變大，窗口尺寸變大則視區(qū)顯示尺寸變小。

窗口視區(qū)窗口

3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識2、當(dāng)窗口尺寸不變時，視區(qū)的尺寸變化與視區(qū)內(nèi)顯示圖形的尺寸變化一致。窗口

視區(qū)視區(qū)3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識3、如果視區(qū)的縱橫比與窗口的縱橫比不一致時，經(jīng)變換后的圖形在視區(qū)中輸出時會產(chǎn)生失真現(xiàn)象，因此在定義窗口和視區(qū)時，要保證它們的縱橫比一致。窗口

視區(qū)視區(qū)3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識窗口和視區(qū)的關(guān)系：①窗口定義在用戶坐標(biāo)系中；視區(qū)定義在設(shè)備坐標(biāo)系中。②窗口能定義一個、數(shù)個、嵌套；視區(qū)的個數(shù)由窗口個數(shù)決定，以保證一一對應(yīng)關(guān)系。③窗口能進(jìn)行移動、放大、縮小、旋轉(zhuǎn)等幾何變換；視區(qū)一般不能進(jìn)行幾何變換。3.1計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)知識結(jié)論：①當(dāng)視區(qū)大小不變時，窗口縮小或放大時，則顯示的圖形會相反地放大或縮小。②當(dāng)窗口大小不變時，視區(qū)縮小或放大時，則顯示的圖形會跟隨縮小或放大。③當(dāng)窗口與視區(qū)大小相同時，則顯示的圖形大小比例不變。 ④若視區(qū)縱橫比不等于窗口的縱橫比時，則顯示的圖形會有伸縮變形。

3.2圖形的裁剪技術(shù)確定圖形中哪些部分落在顯示區(qū)之內(nèi),以便顯示落在顯示區(qū)內(nèi)的那部分圖形，這個選擇過程稱為裁剪。只有窗口內(nèi)的物體才能顯示出來。因此，窗口之外的物體都是不可見的，可以不參加標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換及隨后的顯示操作，節(jié)約處理時間。裁剪（clipping）是裁去窗口之外物體的一種操作。3.2圖形的裁剪技術(shù)點與字符的裁剪

點的裁剪比較簡單，當(dāng)圖形系統(tǒng)的窗口確定之后，設(shè)被裁剪的點的坐標(biāo)為（x，y），則只有當(dāng)該點的坐標(biāo)滿足下式

該點才位于窗口之內(nèi)，并經(jīng)過窗口-視圖變換后送視區(qū)中顯示，否則該點位于窗口之外而被舍去。3.2圖形的裁剪技術(shù)

字符的裁剪，根據(jù)裁剪精度不同，可分為三種情況。（1）字串裁剪用一個限界矩形來包含整個文本字符串，判斷該限界矩形是否全部位于裁剪窗口的內(nèi)部，如果是，則字符串全部保留，如果不是，則字符串全部不可見。這是字符裁剪的最簡單方法，裁剪速度最快，但精度最低。

（2）字裁剪類似于串裁剪，但限界矩形以單個字符為單位。（3）筆劃裁剪通過把一個字符看成一系列短筆劃的集合，使字符的裁剪歸結(jié)為對組成這些字符的筆劃的裁剪，必須逐條直線的進(jìn)行。此種方法可以精確地刪除字符在窗口外的部分，如實地反映了字符的裁剪結(jié)果，優(yōu)點是裁剪精度最高，缺點是裁剪過程比較復(fù)雜。字裁剪筆劃裁剪3.2圖形的裁剪技術(shù)二維直線段裁剪

線段與窗口的位置關(guān)系有如下幾種情況（1）直線段兩個端點在窗口內(nèi)；（2）直線段兩個端點在窗口外，且與窗口不相交；（3）直線段兩個端點在窗口外，且與窗口相交；（4）直線段一個端點在窗口內(nèi)，一個端點在窗口外。從圖中我們可以看出，不同位置的線段被窗口邊界分成一段或幾段，但其中只有一段落在窗口內(nèi)，如何找出落在窗口內(nèi)線段的起點和終點坐標(biāo)是關(guān)鍵。常用的算法有矢量裁剪法、編碼裁剪法、中點分割法。編碼裁剪法：定義編碼狀態(tài)表1、第一位：端點在窗口左邊界代碼為1，否則為02、第二位：端點在窗口右邊界代碼為1，否則為03、第三位：端點在窗口下邊界代碼為1，否則為04、第四位：端點在窗口上邊界代碼為1，否則為03.2圖形的裁剪技術(shù)3.2圖形的裁剪技術(shù)（1）直線段的兩個端點按其所在區(qū)域被賦予相應(yīng)代碼，稱為端點狀態(tài)代碼。

（2）測試直線段的端點狀態(tài)，當(dāng)兩端點狀態(tài)代碼都為零，說明該線段完全位于窗口之內(nèi)；當(dāng)兩端點的狀態(tài)代碼的位邏輯“與”不為零，說明線段位于窗外同一側(cè)。（3）不能通過上述測試的線段，再求它與窗口邊界（或邊界的延長線）的有效交點，它將線段分割成兩個子段，用上述兩個條件對這兩個子段進(jìn)行測試，舍棄位于窗外的一段，而對剩余部分再次賦給交點處的端點狀態(tài)代碼，再次測試，再次求交，直至能判斷出裁剪剩余部分直線段是否位于窗口內(nèi)或在窗外。

3.2圖形的裁剪技術(shù)abdec中點分割法：基本思想：分別尋找直線段兩個端點各自對應(yīng)的最遠(yuǎn)的可見點，兩個可見點之間的連線即為要輸出的可見線段。①

判斷直線段是否全部在窗口外，若是則結(jié)束，否則②；②判斷點是否可見，若是則即為距點最遠(yuǎn)的可見點（b線段）返回，否則③；③將直線段對分，中點為，如果全部在窗口外（d線段），則用代替，否則以代替（e線段），對新的線段從①

開始；重復(fù)上述過程，直到的長度小于給定的誤差，即認(rèn)為已與窗口的一個邊界相交為止。上述過程找到了距點最遠(yuǎn)的可見點，把兩個端點對調(diào)，重復(fù)上述步驟，即可找到距點最遠(yuǎn)的可見點，連接兩點，即為要輸出的可見段。3.2圖形的裁剪技術(shù)多邊形裁剪逐邊裁剪法、雙邊裁剪法、分區(qū)判斷求交法、凸包矩形判別法、邊界分割法等。逐邊裁剪法原理：先用窗口的一條邊界對多邊形進(jìn)行裁剪，保留裁剪后位于該邊界窗口內(nèi)的部分圖形，合并外部區(qū)域的圖形，得到一個或若干個新的封閉圖形，當(dāng)用窗口的第一條邊界處理完后，再用第二條邊界對新生成的多邊形進(jìn)行裁剪，如此下去，直至窗口的四條邊界都裁剪完畢。3.3圖形的幾何變換3.3.1圖形變換的方法構(gòu)成圖形的基本要素及其表示方法3.3圖形的幾何變換

設(shè)有圖形A，經(jīng)過某種變換后得到的新圖形為B，則有：其中，B為變換后圖形矩陣，T稱為變換矩陣，是用來對原圖形施行坐標(biāo)變換的工具。這里[x’,y’]為變換后點的坐標(biāo)，[x,y]為變換前點的坐標(biāo)，變換矩陣中a,b,c,d的不同取值，可以實現(xiàn)各種不同變換，從而達(dá)到對圖形進(jìn)行變換的目的。3.3圖形的幾何變換二維基本變換比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換在變換矩陣中，令b=c=0，則為比例變換矩陣

其中a，d分別為x，y方向上的比例因子比例變換3.3圖形的幾何變換對稱變換3.3圖形的幾何變換對稱變換對原點的對稱變換:3.3圖形的幾何變換對稱變換對x軸對稱:對y軸對稱:對y=-x對稱:對y=x對稱:3.3圖形的幾何變換對稱變換3.3圖形的幾何變換旋轉(zhuǎn)變換

在二維空間里，我們作如下規(guī)定：圖形的旋轉(zhuǎn)是指繞坐標(biāo)系原點旋轉(zhuǎn)θ角，且逆時針為正，順時針為負(fù)，變換矩陣為3.3圖形的幾何變換旋轉(zhuǎn)變換

對字母T進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)60°)3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換平移變換

這里△x，△y是平移量，應(yīng)為常數(shù)，但是應(yīng)用上述變換矩陣對點進(jìn)行變換

而這里的cy，bx均非常量，因此用原來的2×2的變換矩陣是無法實現(xiàn)平移變換。

上述四種變換都可以通過變換矩陣

來實現(xiàn)，但是，若實現(xiàn)平移變換，變換前后的坐標(biāo)必須滿足下面的關(guān)系3.3圖形的幾何變換平移變換將變換矩陣增加一行一列，實施對點進(jìn)行平移變換3.3圖形的幾何變換齊次坐標(biāo)

在平移變換中，我們將[xy]擴(kuò)充為[xy1]實際上是由二維向量變?yōu)槿S向量。這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標(biāo)法。進(jìn)一步推廣，用n+1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標(biāo)法。所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維向量表示n維向量得到的坐標(biāo)。對齊次坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換稱為齊次變換，相應(yīng)的變換矩陣稱為齊次變換矩陣。設(shè)三維空間點P的坐標(biāo)為(x,y,z)，它是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示時，則為(hx,hy,hz,h)，且不唯一。3.3圖形的幾何變換齊次坐標(biāo)的幾何意義

將Oxy坐標(biāo)系增加一與x軸和y軸正交的w軸。在w=1的平面上有點P1(x,y,1),則當(dāng)w由0變化到無窮時，齊次坐標(biāo)Pw(xw,yw,w)將處在由OP1定義的射線OQ上。二維坐標(biāo)則是該射線在w＝1平面上的交點,

有

二維齊次變換表示了在w=1平面上點的坐標(biāo)變換，即P1到P1*的坐標(biāo)變換3.3圖形的幾何變換齊次坐標(biāo)的特點當(dāng)w=0時，齊次坐標(biāo)可用來表示無窮遠(yuǎn)的點將圖形處理中的各種變換用統(tǒng)一的方式來處理如二維圖形變換矩陣的一般表達(dá)式：齊次變換矩陣通常是非奇異矩陣。當(dāng)該矩陣奇異時，detA=0，坐標(biāo)經(jīng)變換后維數(shù)將降低，如三維坐標(biāo)在二維平面上的投影變換等。3.3圖形的幾何變換二維齊次變換矩陣

其中2×2階矩陣可以實現(xiàn)圖形的比例、對稱、錯切、旋轉(zhuǎn)等基本變換；1×2階矩陣可以實現(xiàn)圖形的平移變換；2×1階矩陣可以實現(xiàn)圖形的透視變換，而[s]可以實現(xiàn)圖形的全比例變換。3.3圖形的幾何變換小結(jié)3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換

上述的幾種變換可用統(tǒng)一的變換矩陣形式來實現(xiàn)，稱之基本變換。但有些變換僅用一次基本變換是不夠的，必須由兩次或多次基本變換組合才能實現(xiàn)。這種由多種基本變換組合而成的變換稱之為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。設(shè)坐標(biāo)P經(jīng)過n次變換T1,T2,…,Tn到P*，則變換結(jié)果為：P*=PT1T2…Tn=PT式中，T=T1T2…Tn為總的變換矩陣，組合變換的目的是將一個變換序列表示為一個變換矩陣。

3.3圖形的幾何變換二維組合變換平面圖形繞任意點P(x,y)旋轉(zhuǎn)θ角，需要通過以下幾個步驟來實現(xiàn)：(1)將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點;(2)將圖形繞坐標(biāo)系原點旋轉(zhuǎn)θ角;(3)將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來位置。3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換二維組合變換3.3圖形的幾何變換組合變換順序?qū)D形的影響復(fù)雜變換是通過基本變換的組合而成的，由于矩陣的乘法不適用于交換律，即：[A][B]≠[B][A]因此，組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結(jié)果亦不同，如圖所示。3.3圖形的幾何變換3.3.2三維圖形變換三維圖形的變換是二維圖形變換的簡單擴(kuò)展，變換的原理還是把齊次坐標(biāo)點(x,y,z,1)通過變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(x’,y’,z’,1)，即其中T為三維基本(齊次)變換矩陣：T＝3.3圖形的幾何變換齊次變換矩陣：平移縮放旋轉(zhuǎn)錯切透視變換整體縮放3.3圖形的幾何變換比例和對稱變換一般情況，sx,sy,sz＞0，圖形沿三個坐標(biāo)軸方向作放縮變換；當(dāng)sx=1,sy=sz=-1時，圖形相對于x軸中心對稱，其余類推;當(dāng)sx＝-1,sy=sz=1時，圖形相對于yOz平面對稱，其余類推;當(dāng)sx=sy=sz=-1時，圖形相對于原點中心對稱。3.3圖形的幾何變換整體縮放得到：左邊同乘s3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換平移變換3.3圖形的幾何變換旋轉(zhuǎn)變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換3.3圖形的幾何變換錯切變換若d、h不為零，則沿著x軸方向有錯切若b、i不為零，則沿著y軸方向有錯切若c、f不為零，則沿著z軸方向有錯切b、c是關(guān)于變量x的錯切d、f是關(guān)于變量y的錯切h、i是關(guān)于變量z的錯切3.3圖形的幾何變換三維組合變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換3.3圖形的幾何變換例：簡單幾何體的圖形變換式中：T為所要進(jìn)行的圖形變換矩陣

假定一六面體ABCDEFGH各點的坐標(biāo)分別為（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，則經(jīng)過圖形變換后的坐標(biāo)為：3.3圖形的幾何變換3.3.3投影變換將三維圖形向二維平面上投影生成二維圖形表示的過程稱為投影變換。根據(jù)視點的遠(yuǎn)近，投影分為平行投影和透視投影。當(dāng)投影中心(觀察點)與投影平面之間的距離為無窮遠(yuǎn)時，為平行投影，否則為透視投影。透視投影的圖形與眼睛觀察景物的原理及效果是一致的，因而常用于圖形的真實效果顯示。由于平行投影后直線間的平行關(guān)系不變，因而它常用于三維圖形交互和生成工程圖的視圖。3.3