6-算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)習(xí)題精選精講_第1頁(yè)
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例1已知，求證證明：∵，，

，三式相加，得，即說(shuō)明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握．例2已知是互不相等的正數(shù)，求證：證明：∵，∴同理可得：．三個(gè)同向不等式相加，得①說(shuō)明：此題中互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)不成立．特別地，，時(shí)，所得不等式①仍不取等號(hào)．例3求證．分析：此問(wèn)題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式，并能由這一特征，思索如何將進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造”．證明：∵，兩邊同加得．即．∴．同理可得：，．三式相加即得．例4若正數(shù)、滿(mǎn)足，則的取值范圍是

．解：∵，∴，令，得，∴，或（舍去）．∴，∴的取值范圍是說(shuō)明：本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤有二．一是沒(méi)有舍去；二是忘了還原，得出．前者和后者的問(wèn)題根源都是對(duì)的理解，前者忽視了后者錯(cuò)誤地將視為．因此，解題過(guò)程中若用換元法，一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之．例5（1）求的最大值．（2）求函數(shù)的最小值，并求出取得最小值時(shí)的值．（3）若，且，求的最小值．解：（1）即的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得此最大值．（2）∴的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取得此最小值．（3）∴∴即∵∴即的最小值為2．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值．說(shuō)明：解這類(lèi)最值，要選好常用不等式，特別注意等號(hào)成立的條件．例6求函數(shù)的最值．分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿(mǎn)足相應(yīng)條件．如：，應(yīng)分別對(duì)兩種情況討論，如果忽視的條件，就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤：∵，解：當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值∴當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)最小值∴例7求函數(shù)的最值．分析：．例8求函數(shù)的最小值．分析：用換元法，設(shè)，原函數(shù)變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果．或用函數(shù)方程思想求解．解：解法一：設(shè)，故．由，得：，故：．∴函

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