量子力學

Quantummechanism量子力學

Quantummechanism寶雞文理學院物理與信息技術系1《量子力學》教材與參考書

1.《量子力學教程》曾謹言著，（科學出版社,2003年第一版，普通高等教育十五國家級規(guī)劃教材）

2.《量子力學導論》曾謹言著，（北京大學出版社，1998年第二版）

3.《量子力學導論》熊鈺慶主編，（廣東高等教育出版社，2000年第一版）《量子力學教程》周世勛編，高等教育出版社教材參考書及學習網站《量子力學》教材與參考書2

4.《量子力學基礎》關洪，（高等教育出版社，1999年第一版）5.《量子力學》汪德新，（湖北科學技術出版社出版，2000年第一版）

6.《量子力學教程習題剖析》孫婷雅編，（科學出版社出版，2004年第一版）

7.寶雞文理學院陜西省精品課程《量子力學》，5/jpkc/liangzi/kc_web/3目錄

(Content)目錄

(Content)第一章緒論Ch1.Thebasicconceptsofquantummechanism第二章波函數和薛定諤方程Ch2.ThewavefunctionandSchr?dinger’sequation第三章量子力學中的力學量Ch3.TheDynamicalvariableinQuantumMechanism第四章態(tài)和力學量的表象Ch4.Therepresentationofthestatesandoperators第五章微擾理論Ch5.Perturbationtheory

第六章散射Ch6.Thegeneraltheoryofscattering第七章自旋與全同粒子Ch7.Spinandidentityofparticles4第一章

緒論Thebirthofquantummechanism5基本內容

1.1

經典物理學的困難

Thedifficultinclassicalphysics

1.2

光的波粒二象性

Thedualityoflightbetweenwaveandparticle

1.3微粒的波粒二象性

Thedualityofsmallparticlesbetweenwaveandparticle基本內容6

近幾十年來，在不同領域相繼發(fā)現了宏觀量子效應（如超導現象，超流現象，乃至一些天體現象），表明宏觀世界的物質運動也遵循量子力學規(guī)律，人們所熟知的經典力學規(guī)律只是量子力學規(guī)律在特定條件下的一個近似。

量子力學是將物質的波動性與粒子性統(tǒng)一起來的動力學理論，是20世紀初研究微觀世界中粒子的運動規(guī)律建立起來的。引言引言7

量子力學這門學科的性質決定了它在近代物理學與科學技術乃至國民經濟發(fā)展中的地位。目前，它已廣泛地應用到基本粒子、原子核、原子、分子、凝聚態(tài)物理直到中子星、黑洞各個層次的研究，并且現代技術―從集成電路、電子計算機到量子計算機，從原子彈、氫彈到核電站，從激光技術、超導技術到固體材料、納米技術，無不以量子力學為其理論基礎?？梢院敛豢鋸埖卣f，沒有量子力學就沒有現代的科學技術。

量子力學與相對論被稱為當今物理學與現代科學技術的兩大支柱。

量子力學的學術地位8量子力學的發(fā)展概況舊量子理論階段（1900-1913）玻爾為解決氫原子光譜問題而提出的氫原子的定態(tài)假設以及輻射躍遷定則（從普朗克提出能量子到玻爾舊量子理論階段）二.量子力學建立階段（1924-1927）從1924年德布羅意提出實物粒子同樣具有波粒二象性（德布羅意因此于1946年獲諾貝爾物理學獎）9量子力學的幾種表示形式薛定諤的波動力學：用偏微分方程來表示，來源于德布羅意物質波的思想。2.海森堡的矩陣力學：在批判舊量子論的基礎之上建立起來3.狄拉克表述：更為普遍的形式10十九世紀末期，物理學理論在當時看來己發(fā)展到相當完善的階段，其各個分支已經建立起系統(tǒng)的理論：

在經典物理學的輝煌成就面前，有的科學家認為物理學已大功告成。絕對溫標的創(chuàng)始人開爾文在1889年新年賀詞中說：“19世紀已將物理大廈全部建成，今后物理學家的任務就是修飾、完美這所大廈了”。經典力學從牛頓三大定律發(fā)展為分析力學

電磁學與光學發(fā)展成為麥克斯韋理論

熱學在建立了以熱力學定律為基礎的宏觀理論的同時，玻爾茲曼和吉布斯建立了稱之為統(tǒng)計物理學的微觀理論?！?.1經典物理學的困難一.經典物理學的成功11

下面介紹經典物理學遇到的困難，以及如何解決這些困難并導致量子力學的誕生。二.經典物理學遇到的困難

但是這些信念，在進入20世紀以后，受到了沖擊。經典理論在解釋一些新的實驗結果上遇到了嚴重的困難。

（1）黑體輻射問題（2）光電效應（3）原子光譜的線狀結構§1.1經典物理學的困難(續(xù)1)12黑體:物體對于外來的輻射有反射和吸收作用。如果一個物體能全部吸收投射在它上面的輻射而無反射，這種物體稱為黑體。

黑體輻射問題所研究的是輻射（電磁波）與周圍物體處于平衡狀態(tài)時能量按波長（頻率）的分布。1．黑體輻射

一個開有小孔的封閉空腔可看作是黑體?！?.1經典物理學的困難(續(xù)2)13黑體輻射實驗事實：§1.1經典物理學的困難(續(xù)3)

輻射熱平衡狀態(tài):

處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達到熱平衡狀態(tài)。實驗曲線熱平衡時，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度

T

有關,而與黑體的形狀和材料無關。14

結論:

在短波（高頻）部分與實驗符合得很好，但長波（低頻）部分與實驗則明顯不一致。

1896年,維恩根據經典熱力學得出：短波吻合好,長波段不一致實驗瑞利-瓊斯維恩T=1646k（1）維恩（Wein—德國物理學家）的解釋獲得1911年諾貝爾物理學獎§1.1經典物理學的困難(續(xù)4)15（2）瑞利—金斯（Raileigh-Jeans英國物理學家）的解釋

結論:在長波（低頻）部分與實驗符合，短波部分不符合。1900年,瑞利和瓊斯用能量均分定理和電磁理論(駐波法)得出：T=1646k實驗瑞利-金斯維恩§1.1經典物理學的困難(續(xù)5)此外存在“紫外光的災難”16

光照射到金屬上，使金屬中的電子逸出的現象，這種現象稱為光電效應,逸出的電子稱為“光電子”。光電效應的實驗規(guī)律赫茲：1886—1887勒納德：1889UGAK實驗裝置G：測量光電流U：測量AK電壓*

I隨著UAK增加而增加直至某一飽和電流Is。Is與光照強度成正比。**截至電壓Ua

<0.UAKIs2Is1Ua§1.1經典物理學的困難(續(xù)6)2．光電效應17§1.1經典物理學的困難(續(xù)7)試驗發(fā)現光電效應有兩個突出的特點：1.臨界頻率

只有當光的頻率大于某一定值時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，都沒有電子產生。光的這一頻率稱為臨界頻率。2.光電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只決定電子數目的多少。光電效應的這些規(guī)律是經典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率無關。

此外，光電效應具有瞬時性，其響應速度很快10-9

秒。經典認為光能量分布在波面上，吸收能量需要時間。183.原子光譜與原子結構§1.1經典物理學的困難(續(xù)8)

氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現了的。1885年瑞士巴爾末(Balmer)發(fā)現紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經驗公式,即著名的巴爾末公式：后來又發(fā)現了一系列線系，它們可用下面公式表示：19人們自然會提出如下三個問題：1.原子線狀光譜產生的機制是什么？2.怎樣的發(fā)光機制才能認為原子的狀態(tài)可以用包含整數值的量來描寫?3.光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？§1.1經典物理學的困難(續(xù)9)20這些問題，經典物理學不能給于解釋。首先，經典物理學不能建立一個穩(wěn)定的原子模型。根據經典電動力學，電子環(huán)繞原子核運動是加速運動，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運動的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現實世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。除上述黑體輻射、光電效應、原子光譜與原子結構三種情況之外，還有一些其它實驗現象在經典理論看來是難以解釋的，這里不再累述。總之，新的實驗現象的發(fā)現，暴露了經典理論的局限性，迫使人們去尋找新的物理概念，建立新的理論，于是量子力學就在這場物理學的危機中誕生?！?.1經典物理學的困難(續(xù)10)21Planckassumption:

黑體可看作一組連續(xù)振動的帶電諧振子，這些諧振子的能量應取分立值，這些分立值都是最小能量的整數倍，這些分立的能量稱為諧振子的能級。

Planck-德國物理學家，§1.2.光的波粒二象性1.普朗克（1900年）對黑體輻射的解釋可見：黑體與輻射場交換能量只能以為單位進行，亦即黑體吸收或發(fā)射電磁輻射能量的方式是不連續(xù)的，只能量子地進行，每個“能量子”的能量為22

基于能量子假設，Planck利用統(tǒng)計物理推導出與實驗符合得很好的黑體輻射公式——Planck公式：其中（稱為Planck常數）§1.2光的波粒二象性(續(xù)1)23注：Planck的“能量子”假說與經典物理中振子的能量是連續(xù)的相抵觸?？梢姡琍lanck理論突破了經典物理學在微觀領域的束縛，打開了認識光的粒子性的大門。Planck公式討論維恩公式瑞利-瓊斯公式1918年Planck由此獲得諾貝爾物理學獎§1.2光的波粒二象性(續(xù)2)24光子的能量

光子的動量

Planck-Einstein公式Einsteinassumption：

在Planck能量子假設的啟發(fā)下，愛因斯坦提出了“光量子”的概念，他認為，不僅黑體與輻射場的能量交換是量子化的，而且輻射（光）是由一顆顆具有一定能量的粒子組成的粒子流，這些粒子稱為光子（光量子）（

——波矢量）§1.2光的波粒二象性(續(xù)3)2.愛因斯坦（1905年）對光電效應的解釋25光電效應的解釋

（光電效應方程）

當or無電子逸出當or有電子逸出§1.2光的波粒二象性(續(xù)4)電子的逸出功（

——臨界頻率）

在的條件下,當越大，即光強越強，光子密度大，產生電子數越多26

1916年，密立根實驗證實了光子論的正確性，并測得

h=6.5710-34

焦耳?秒。

光的波動性和粒子性是通過普朗克常數聯系在一起的。Einstein因發(fā)現光電效應定律獲得了1923年的諾貝爾物理學獎。§1.2光的波粒二象性(續(xù)5)注：利用光子的概念可解釋光電效應，可見光電效應體現了光的粒子性。27

1923年，美國物理學家Compten用X射線入射到碳、石墨等原子質量很輕的靶上，進行光散射實驗。準直系統(tǒng)入射光0散射光探測器石墨散射體§1.2光的波粒二象性(續(xù)6)3．康普頓散射(1922—1923)Compton散射是對光的粒子性的進一步證實。28康普頓散射實驗§1.2光的波粒二象性(續(xù)7)29散射實驗結果

1散射的射線中有與入射波長相同的射線,也有波長的射線.

2散射線中波長的改變量隨散射角的增大而增大，即散射后的光其波長隨散射角的增加而增大.稱為電子的康普頓波長

3同一散射角下相同,與散射物質無關；原子量較小的物質，康普頓散射效應強?！?.2光的波粒二象性(續(xù)8)30（2）康普頓的解釋：

X射線光子與“靜止”的“自由電子”彈性碰撞:碰撞過程中能量與動量守恒（1）經典電磁理論的困難：碰撞前X射線光子的能量（104～105eV）電子的能量反沖電子§1.2光的波粒二象性(續(xù)9)31能量守恒：動量守恒：

消除與

散射波的波長隨散射角的增加而增大，與實驗結果完全符合。§1.2光的波粒二象性(續(xù)10)32

1923年威爾遜云室實驗觀測到了反沖電子軌跡；驗證了康普頓解釋康普頓和威爾遜合得1927年諾貝爾物理學獎康普頓散射實驗的意義:

康普頓散射進一步證實了光子論(光的量子性），證明了光子能量、動量表示式的正確性，光確實具有波粒二象性。另外證明在光電相互作用的過程中嚴格遵守能量、動量守恒定律?！?.2光的波粒二象性(續(xù)11)33

小結：以上三個問題，都屬于經典物理（實際上是經典電磁波理論）所遇到的困難，解決困難的共同點就是電磁波的能量不再看作是連續(xù)的，而必須看成是能量量子化的。從這點上來說，上述三個問題都體現了光的粒子性，但不能否定光的波動性，因波動早被光的干涉，衍射等現象證實，因此，概括起來，光具有波動和粒子二重性質，稱為光的波粒二象性。Planck-Einstein方程

作為粒子的能量E和動量與波動的頻率和波矢

由Planck-Einstein方程聯系起來?！?.2光的波粒二象性(續(xù)12)34Planck常數：§1.2光的波粒二象性(續(xù)13)

另一方面我們也看到，在新的理論中，Planck常數

起著關鍵作用，當h的作用可以略去時，經典理論是適用的，當h的作用不可忽略時，經典理論不再適用。因此，凡是h起重要作用的現象都稱為量子現象。

35§

1.3.

微粒的波粒二象性一.原子結構的玻爾理論

前面己經看到，經典物理的另一類困難來自原子結構和原子譜線。由經典的力學和電磁理論得不到穩(wěn)定結構的原子和離散的原子譜線

1912年，時年27歲的丹麥物理學家玻爾（Bohr）來到盧瑟福（Rutherford）實驗室對原子結構的譜線進行研究，為解釋氫原子的輻射光譜，1913年提出原子結構的半經典理論，其假設有兩點：

獲得1922年諾貝爾物理學獎36（1）特定的定態(tài)軌道軌道量子化條件:（2）定態(tài)躍遷頻率

原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En

躍遷到另一個較低（高）的能級

Em

，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)1)+vre1.玻爾假設37

氫原子中的電子繞核作圓周運動角動量

能量

向心力庫侖力2.玻爾理論對氫原子光譜的解釋里德伯方程：§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)2)38里德伯常數與實驗完全一致3.量子化條件的推廣由理論力學知，若將角動量L

選為廣義動量，則θ為廣義坐標?？紤]積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr

量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)3)39這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。對玻爾理論的評價

成功地解釋了原子的穩(wěn)定性、大小及氫原子光譜的規(guī)律性。定態(tài)假設（定態(tài)具有穩(wěn)定性和確定的能量值）依然保留在近代量子論中。為人們認識微觀世界和建立量子理論打下了基礎?！?/p>

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)4)40玻爾理論無法克服的困難

(1)只能解釋氫原子及堿金屬原子的光譜，而不能解釋含有兩個電子或兩個電子以上價電子的原子的光譜。(2)只能給出氫原子光譜線的頻率，而不能計算譜線的強度及這種躍遷的幾率，更不能指出哪些躍遷能觀察到以及哪些躍遷觀察不到。(3)只能討論束縛態(tài)而不能討論散射態(tài)。

§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)5)

玻爾理論是經典與量子的混合物，它保留了經典的確定性軌道，另一方面又假定量子化條件來限制電子的運動。它不能解釋稍微復雜的原子問題，并沒有成為一個完整的量子理論體系,是半經典量子理論。正是這些困難，迎來了物理學的大革命。41二.德布羅意假設——微粒的波粒二象性

1924年，時為研究生的青年物理學家德布羅意在Einstein光量子理論的啟發(fā)下，注意到經典理論在處理電子，原子等實物粒子方面所遇到的困難，是否會是經典理論走了另一個極端，即僅注意到粒子性一方面，而忽視了其波動性一方面。德布羅意假設（de-Broglieassumption）§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)6)42于當年向巴黎大學理學院提交的博士論文中提出：在光學上，比起波動的研究來，過于忽略了粒子的一面；在物質理論上，是否發(fā)生了相反的錯誤，是不是我們把粒子的圖象想得太多，而過于忽略了波的圖象。指出一切物質粒子（原子、電子、質子等）都具有粒子性和波動性，在一定條件下，表現出粒子性，在另一些條件下體現出波動性。

德布羅意關系§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)7)自由粒子具有

質量

m

速度

V能量E

動量波長

頻率

43稱為德布羅意波討論：能量為E的自由粒子的德布羅意波的波長

例如:自由粒子的能量和動量為常量，與它相聯系的波是和都不變的平面單色波：

§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)8)微觀粒子的狀態(tài)用波函數描述44

Ex.1

求經電勢差為V伏特的電場加速后的電子的波長。庫侖千克若V=150伏，

納米

若V=100000伏，納米

（1納米=10-9m）

能量§

1.3

微粒的波粒二象性(續(xù)9)45

電子波長比可見光的波長（λ?0-7m）小5個數量級，比原子的半徑（0.1-0.2納米）還小得多。波長太小,在宏觀上測不到！Ex.2