第二節(jié)點的坐標與向量的坐標一、空間直角坐標系二、向量的坐標及向量線性運算的坐標的表示三、向量的模、方向角和投影一、空間直角坐標系

1、空間直角坐標系的基本概念ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

O

.

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點

O,

坐標面

卦限(八個)zox面Ⅰ向徑坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點

A,B,C.點M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點

O(0,0,0);在直角坐標系下坐標面:坐標軸:

八個卦限上點M(x,y,z)的特點:第I卦限上：第II卦限上：第III卦限上：第IV卦限上：

第V、VI、VII、VIII卦限上的點依次把第I、II、III、IV卦限中z改為：2、空間兩點間的距離設M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)為空間上的兩點,

空間兩點間距離公式解到y(tǒng)軸；到z軸；到原點；例1

求點M(2,3,2)到x軸的距離.例求點M(x,y,z)到各坐標軸、各坐標面的距離.思考

求點M(x,y,z)關于坐標原點、各坐標軸、各坐標面的對稱點.例求點M(x,y,z)到各坐標軸、各坐標面的距離.到x

軸的距離：到y(tǒng)

軸的距離：到z

軸的距離：到xoy

平面的距離：到y(tǒng)oz

平面的距離：到zox

平面的距離：思考

求點M(x,y,z)關于坐標原點、各坐標軸、各坐標面的對稱點.x0zyM點的對稱點關于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)關于x軸:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0關于原點:(x,y,z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)解設所求點為M(0,y,0),故所求點為M解得例2

在y軸上求與點A(1,2,3)和點B(2,3,2)等距離的點坐標.∵|MA|=|MB|,

(1)在

xoy

面上求與點A(1,2,3)和點B(2,3,2)等距離的點的軌跡方程?(2)在空間中求與點A(1,2,3)和點B(2,3,2)等距離的點的軌跡方程

?思考題:(1)

設動點為M(x,y,0),利用|MA|=|MB|,得提示:(2)

設動點為M(x,y,z),利用|MA|=|MB|,得證明原結論成立.例3

求證以A(2,1,9)、B(8,1,6)、C(0,4,3)三點為頂點的三角形是一個等腰直角三角形.二、向量的坐標及向量線性運算的坐標的表示在空間直角坐標系下,則設點

M的坐標為

M(ax,ay,az),任意向量

可用向徑

OM

表示.此式稱為向量

的標準分解式,稱為向量沿三個坐標軸方向的分向量.1.向量的坐標表示坐標.(coordinates)坐標表示式.若點M的坐標為(x,y,z),則向徑：

向量的分解表達式說明：任何向量可以表示為的線性組合，組合系數(shù)就是該向量的坐標.2.向量線性運算的坐標的表示平行向量對應坐標成比例:解例1

設M1

(1,3,4),

M2(2,1,3),求

例例2

已知兩點A(x1,y1,z1),

B(x2,y2,z2)及實數(shù)1,在直線AB上求一點M,使解

設

M

的坐標為(x,y,z),

如圖所示得即說明

由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:三、向量的模、方向角和投影

1.向量的模向量模長的坐標表示式例1設求以向量的平行四邊形的對角線的長度.

為邊故對角線的長度分別為

對角線的長為解2.方向角與方向余弦與三坐標軸正向所成的夾角

,,稱為的方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

方向余弦的坐標表達式方向余弦通常用來表示向量的方向.方向余弦的性質特殊地：與同向的單位向量

當已知的模與方向角時,由可求出其坐標.非零向量的方向角

,,和的模、方向余弦和方向角.計算向量例1

已知兩點解解注意：與已知向量平行的單位向量有兩個,一個與同向,一個反向．或解設點P2的坐標為(x,y,z),故點P2的坐標為

例4依次為求點A

的坐標.設點A

位于第一卦限,向徑OA

與x

、y軸的夾角解因點A

在第一卦限,故點A

的坐標為3.向量的投影1)空間一點在軸上的投影

過點

A

作軸

u

的垂直平面,交點

A

即為點

A

在軸

u

上的投影.

2)空間一向量在軸上的投影關于向量投影的定理定理1定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)相等向量在同一軸上投影相等；，3)向量在向量上的投影在三個坐標軸上的分