理論力學(xué)第一篇剛體靜力學(xué)

剛體靜力學(xué)(Staticsofrigidbodies)研究剛體(Rigidbodies)在力系作用下相對于慣性系靜止的力學(xué)規(guī)律。引論剛體：在力的作用下不變形的物體，剛體是實際物體和構(gòu)件的抽象和簡化。吊車梁的變形δ吊車梁在起吊重物時所產(chǎn)生的最大撓度δ一般不超過梁的跨度的1/500

這種小變形對于兩端支承力的影響是微不足道的，因此在計算兩端的支承力時，吊車梁可簡化為剛體。在研究吊車梁的強(qiáng)度問題時，就不能將其簡化為剛體，而必須應(yīng)用變形體力學(xué)的知識。即使在變形體力學(xué)中，在許多情況下，也要忽略變形對物體形狀改變的影響，如小變形假設(shè)。物體簡化為剛體的條件變形的絕對大小并不是簡化為剛體的條件，重要的是變形對所研究問題的結(jié)果產(chǎn)生的影響要足夠小。力系(Forcessystem)：作用于同一剛體的一組力平衡狀態(tài)(Equilibriumstate)：物體若處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，則稱物體處于平衡狀態(tài)。平衡力系(Equilibriumforcesystem)：使剛體的原有運(yùn)動狀態(tài)不發(fā)生改變的力系。平衡條件(Equilibriumconditions)：平衡力系所滿足的數(shù)學(xué)條件。剛體靜力學(xué)三類基本問題：1)剛體的受力分析；2)力系的等效替換及簡化；3)力系的平衡條件及其應(yīng)用。靜力學(xué)基礎(chǔ)知識要點1—1力和力矩1—1—1力的概念1—1—2力對點的矩1—1—3力對軸的矩1—2力系等效原理1—2—1力系的主矢和主矩1—2—2力系等效原理及靜力學(xué)公理1—2—3剛化原理及圣維南原理1—3力偶與力偶矩1—4物體的受力分析1—4—1約束與約束反力1—4—2物體的受力分析第一章

靜力學(xué)基礎(chǔ)1—1力和力矩1—1—1力的概念力(Force)：力是物體間的相互機(jī)械作用，這種作用使物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變(外效應(yīng))和形狀發(fā)生改變(內(nèi)效應(yīng))。對剛體而言，力的作用只改變其運(yùn)動狀態(tài)。力的三要素：大小、方向和作用點。力是定位矢量。在國際單位制中，力的單位是牛頓(N)和千牛頓(KN)。力矢量的表示：FA力矢量大小表示：FA作用力和反作用力牛頓第三定律描述了力的重要性質(zhì)之一，即作用的相互性。任何兩個物體間相互作用的一對力總是大小相等，作用線相同，而指向相反，同時并分別作用在這兩個物體上。這兩個力互為作用力和反作用力。在理論力學(xué)體系中，該普適原理也稱為靜力學(xué)第四公理。力的作用形式分布力(Distributedforce)

集中力(Concentratedforce)分布力表面力(Surfaceforces)連續(xù)作用于物體的某一面積上的力體積力(Bodyforces)連續(xù)作用于物體的某一體積上的力集中力—集中作用于物體上一點的力分布力集中力

集中力是作用面積(或作用體積)極小的分布力在一定條件下的簡化形式。

分布力可通過某種等效原理轉(zhuǎn)化為集中力

作用在梁AB中部C附近小范圍上的壓力可以用一個集中力P來代替。

力在坐標(biāo)軸上的投影投影的定義線段ab的長度并冠以適當(dāng)符號，稱為力在軸上的投影，記為Fx。投影為正：從a到b的指向與投影軸x正向一致。投影為負(fù)：從a到b的指向與投影軸x正向相反。投影的計算式是軸x的方向矢量直接投影法二次投影法力的投影與力的分量(分力)之間的區(qū)別力的投影力的分量力的投影是標(biāo)量力的分量是力矢量力在某給定方向的投影是確定的力在某給定方向的分量不確定，它還取決于力在其它方向的分量由力的所有投影只能確定出力的大小和方向，不能完全確定出力矢量由力的所有分量可完全確定出力矢量F在x軸上的投影若F1和F2構(gòu)成F的一組分量若F3和F4構(gòu)成F的一組分量力沿坐標(biāo)軸的分解例1–1：力F=80KN，計算它在坐標(biāo)軸上的投影。[解]：1—1—2力對點的矩力矩(Momentofaforce)度量力對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。力對點之矩作用于物體上的力F對空間任意一點O的力矩定義為O點—力矩之矩心MO(F)通常被看作是一個定位矢量，習(xí)慣上總是將它的起點畫在矩心O處，但并不意味著O就是MO(F)的作用點。力矩三要素力矩三要素是大小、方向和矩心。力矩大小

為r和F正方向之間的夾角，h為矩心到力作用線的距離，即力臂(Momentarm)。力矩方向

MO(F)垂直于r和F所確定的平面，指向由右手定則確定。力矩解析式及在坐標(biāo)軸上的投影例1–2：長方體的上、下底為正方形，邊長為30.5a，高為a。求圖中力F對頂點O之矩。[解]：依據(jù)題意，力F作用點A的位置矢量r為力F在坐標(biāo)軸上的投影1—1—3力對軸的矩力對軸的矩(Momentofaforceaboutanaxis)用來量度力對所作用的剛體繞某固定軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。該固定軸也稱為矩軸(Axisofmoment)，通常標(biāo)識為z軸。xy平面垂直于坐標(biāo)軸z，垂足為O，F(xiàn)′為力F在平面xy上的投影。定義F′對xy平面內(nèi)O點之矩為力F對軸z之矩Mz(F)力對軸的矩Mz(F)是代數(shù)量，當(dāng)F使物體繞z軸逆時針轉(zhuǎn)動，Mz(F)為正；反之為負(fù)。即Mz(F)的正負(fù)號由右手定則確定。當(dāng)力F與軸z平行(F′=0)或相交(d=0)時，即力F與軸z共面時候，力對軸Mz(F)的矩為零。若力F位于與軸z垂直的平面內(nèi)(即力F與軸z垂直)，O點為軸z與平面交點，則力對軸Mz(F)的矩也被定義為平面上力F對點O之矩MO(F)。力矩關(guān)系定理MO(F)垂直于三角形OABa、b分別是A、B在xy平面上的投影，由幾何學(xué)知識因為所以力矩關(guān)系定理：力對軸之矩，等于力對軸上任一點的矩在該軸上的投影。力對坐標(biāo)軸之矩計算表達(dá)式例1–2：園柱的底半徑為r，高為2r，求圖中作用于B點的力F對x、y和z軸以及OE軸之矩。

解：力F的作用點B的坐標(biāo)為力F在坐標(biāo)軸上的投影為由此即有

設(shè)沿OE軸的單位矢為e因此力F對OE軸之矩為1—2力系等效原理1—2—1力系的主矢和主矩力系的主矢作用在剛體上的若干力F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n構(gòu)成空間一般力系，可計算出這些力的矢量和矢量和FR稱為該力系的主矢(Principalvector)。力系的主矢僅涉及力系中各力的大小和方向，而與其作用點位置無關(guān)，力系的主矢是一個自由矢量而不是一個力。主矢在坐標(biāo)軸上的投影力系的主矢在坐標(biāo)軸上的投影等于力系中各力在相應(yīng)軸上投影的代數(shù)和。力系的主矩

空間一般力系中各力對某點O的矩的矢量和稱為該力系對矩心的主矩MO。力系的主矩MO是位于矩O的定位矢量，主矩與矩心的位置有關(guān)。主矩的投影主矩MO在以矩心O為原點的任意直角坐標(biāo)系Oxyz上的投影表達(dá)式。力系的主矩在通過矩心的任意軸上的投影等于該力系中各力對同一軸的矩的代數(shù)和。例1–4：懸臂梁上的載荷如圖所示，試求該載荷對A點之矩。

直接計算力系對點的主矩，由于涉及矢量運(yùn)算，因此通常利用力矩關(guān)系定理計算主矩在三個坐標(biāo)軸上的投影。

若力系位于xoy平面內(nèi)，其對A點主矩在x軸和y軸上的投影為零，只需計算力系對A點之主矩在z軸上的投影。

若我們只在xoy平面內(nèi)考慮問題，則力系對A點之主矩在z軸上的投影也稱為xoy平面內(nèi)力系對A點之矩。取微元dx，其上作用微力dF，dF對A點產(chǎn)生微力矩dMAz例1–5：半徑為r的半圓環(huán)表面上分布著均勻剪力，方向沿著圓環(huán)。單位長度上的剪力大小是q，試求該力系的主矢及對O的主矩。F在坐標(biāo)軸上的投影主矢大小為2qr，沿y軸負(fù)向；主矩大小為qr2，沿z軸負(fù)向。1—2—2力系等效原理在剛體力學(xué)中，如果兩個不同的力系對同一剛體產(chǎn)生同樣的作用，則稱此二力系互為等效力系(Equivalentforcesystem)。等效力系的相互替換并不影響它們對剛體的作用；與一個力系等效的力稱為該力系的合力(Resultforce)，但并非所有的力系都有合力。平衡力系：與零力系(Nullforcesystem)等效的力系。力系等效原理力系等效原理(Principleofequivalentforcesystem)：兩個力系等效的充分必要條件是主矢量相等，以及對同一點的主矩相等。如果將動量定理和動量矩定理看成是基本原理，則力系等效原理就只是它們的一個推論。在剛體靜力學(xué)里將其視作基于經(jīng)驗的基本假設(shè)。

力系等效原理是剛體靜力學(xué)理論體系的基礎(chǔ)，無論在理論上還是在實際應(yīng)用中都具有重要意義。力系等效原理表明，力系對剛體的作用完全取決于它的主矢和主矩，因此主矢和主矩是力系最重要的基本特征量。力系等效原理的推論1.平衡定理：作用在同一剛體上的力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢及對于任一點的主矩同時為零。

一個剛體的平衡條件，提供獨立的六個方程，可以求解不超過六個未知量的問題。2.二力平衡公理：作用在同一剛體上的兩力使剛體保持平衡的充分必要條件是此二力大小相等、方向相反且作用線重合。二力桿：只受兩個力作用而平衡的剛體。這兩力必定沿作用點的連線。BEC是二力桿細(xì)長桿兩端受壓可能產(chǎn)生失穩(wěn)二力平衡公理對變形體和剛體系統(tǒng)不適用3.加減平衡力系公理：在作用于剛體的任何一個力系中上添加或除去任何平衡力系，并不改變原來力系對剛體的作用。力的可傳性原理：作用于剛體上的力可以沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一點而不改變它對剛體的效應(yīng)。F1和F2平衡，且F=F1。力在作用線上滑動的時候，應(yīng)始終作用在原來的剛體上。對剛體來講，力的三要素是大小、方向和作用線位置，即力是滑動矢量(Slidingvector)。加減平衡力系公理及力的可傳性原理并不適用于剛體系統(tǒng)及變形體。處于平衡時的細(xì)長柔桿細(xì)長柔桿兩端受壓會產(chǎn)生失穩(wěn)4.力平行四邊形定律：作用在物體上同一點的兩個力可以合成一個力，合力作用在該點，合力的大小和方向由原兩個力的力矢為鄰邊組成的平行四邊形的對角線矢量來表示。即，合力矢等于原兩力的矢量和。適用條件：適用于剛體、變形體和剛體系統(tǒng)。推論，同平面不平行三力平衡時的匯交定理：當(dāng)剛體受到同平面內(nèi)作用線不平行的三個力作用而平衡時，這三個力的作用點必定匯交于同一點。簡稱三力匯交定理。5.合力矩定理：若力系有合力，則力系對任一點(或軸)之矩等于力系中各力對同一點(或軸)之矩的矢量和(或代數(shù)和)。1—2—3力系等效原理應(yīng)用于變形體剛化原理(Principleofrigidization)：當(dāng)變形體在已知力系作用下處于平衡時，如果把變形后的變形體換成剛體(剛化)，則平衡狀態(tài)保持不變。剛體剛化原理是一個基于經(jīng)驗的基本假設(shè)；剛化原理建立了剛體靜力學(xué)和變形體靜力學(xué)之間的聯(lián)系；剛化原理表明，剛體平衡的充要條件對于變形體而言只是必要而非充分條件。力系等效原理應(yīng)用于變形體時的限制適用于剛體的力系等效原理及其推論應(yīng)用于變形體時要受到一定限制，因為靜力等效可能破壞變形體的平衡狀態(tài)，或使變形體的變形和內(nèi)力發(fā)生變化。

靜力等效破壞柔繩的平衡視梁為剛體可進(jìn)行靜力等效此受力狀態(tài)下彈性梁的變形此受力狀態(tài)下彈性梁的變形靜力等效改變了彈性梁的變形

一般地講，在研究整個變形體的平衡時，或當(dāng)我們用截面法假想將彈性體截取出一部分來研究它的平衡時候，力系等效原理的應(yīng)用都是合法的。但當(dāng)我們的研究涉及到彈性體的變形和內(nèi)力時，在應(yīng)用截面法以前，原則上不允許靜力等效替換。

這里所提到的靜力等效替換，是指任何形式的等效力系之間的相互替換，當(dāng)然也包括后面要講到的力偶等效替換、力線平移定理等，今后我們將不在重復(fù)地陳述上面這些結(jié)論。1—3力偶及其性質(zhì)1—3—1力偶及力偶矩一.力偶的概念力偶(Couple)：在同一剛體上等值、反向而不共線的兩個力。力偶只改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)Planeofthecouple力偶作用面(Actingplaneofacouple)：力偶兩力的作用線所確定的平面。力偶臂(Couplearm)：力偶中兩力作用線之間的距離d。二.力偶的主矩和主矢力偶的主矢力偶的主矢恒等于零力偶的主矩

力偶對任意點主矩恒等于rF，而與矩心位置無關(guān)。

r矢量從F′作用線上任一點指向F作用線任一點。三.

力偶矩矢量力偶三要素：力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位。力偶矩矢(Couple–Vector)：力偶主矩是力偶矩矢m(F,F′)=rF，它完整地表達(dá)了力偶三要素。m垂直于力偶的作用面，表示力偶作用面的方位；m的模為Fd，表示力偶矩大小；m的指向則表示力偶的轉(zhuǎn)向，按右手定則，從矢量m的末端回頭看，力偶應(yīng)使剛體作逆時針轉(zhuǎn)動；力偶矩矢量是一個自由矢量。力偶既沒有合力，本身也不能平衡，是最簡單的力系之一。四.平面力偶平面力偶系：若同一剛體上作用的力偶均位于同一平面上，或其力偶作用面平行，則稱為平面力偶系。由于力偶作用面始終與力系所在的平面重合，力偶矩矢量變成代數(shù)量正負(fù)號規(guī)定：逆時針為正；順時針為負(fù)；+–

如此規(guī)定的平面力偶系的正負(fù)號，隱含了z坐標(biāo)軸垂直于力偶作用面。即，此處定義的平面力偶，實際上是力偶矩矢量在z軸上的投影。1—3—2力偶的性質(zhì)一.同平面力偶等效定理同平面力偶等效定理：作用在剛體上同一平面的兩個力偶相互等效的條件是兩者的力偶矩代數(shù)值相等。與等效將F1分解成F2與P，對F′1也作類似處理，P與P′組成平衡力系。即：兩個同平面等效力偶的力偶矩的代數(shù)值相等。這表明：力偶對剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無關(guān)；只要保持力偶矩大小不變，可同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的作用二.空間力偶等效定理空間力偶等效定理：作用面平行的兩個力偶，若其力偶矩的大小相同，轉(zhuǎn)向相同，則兩個力偶等效?；蛘哒f，可以將力偶從一個平面平移到另一個平面而不改變它對剛體的作用效果。力偶m(F1,F2)作用在平面I內(nèi)平面II與平面I平行，且位于同一剛體上可以將力偶m(F1,F2)平移到平面II而不改變它對剛體的作用效果。證明如下：在平面II內(nèi)任取一線段CD，平行且等于力偶臂AB，則ABCD為平行四邊形，AD、BC交于點O。P與Q必構(gòu)成平衡力系力偶由一個平面移至剛體內(nèi)另一平行平面，但未改變它對剛體的作用。

作用于剛體上的力偶等效替換的條件是其力偶矩矢量保持不變。三.力偶矩矢量的平行四邊形定律作用在平面I內(nèi)作用在平面II內(nèi)AB是兩個平面的交線，p是兩個力偶的公共力偶臂分別求出此二力偶中F1與F2、F1′與F2′的合力R與R’R與R′構(gòu)成的新力偶，就是原兩個力偶的合力偶m將平行四邊形Aced繞AB旋轉(zhuǎn)90度，并使各邊放大p倍，得到新的平行四邊形ACED矢量AC是力偶m1的力偶矩矢矢量AD是力偶m2的力偶矩矢矢量AE是合力偶m的力偶矩矢例1–6：長方體由兩個邊長為a的正方體組成，如圖所示，試求力偶(F，F(xiàn)')的力偶矩矢量M。解：力F在坐標(biāo)軸上的投影為設(shè)由F'的作用點至F的作用點的矢徑為r，則有

例1–7：正方體的邊長為a，大小均為P的6個力作用于正方體的棱邊上，如圖所示。試求該力系的主矢及對O點的主矩。解：原力系由同向平行力系(F1～F4)和力偶(F5，F(xiàn)6)組成，力系(F1～F4)的主矢為F1～F4的作用點相對于O點的矢徑分別為:故力偶(F5，F(xiàn)6)的主矢為零，力偶矩矢為:原力系的主矢及對O點的主矩為:1—4物體的受力分析1—4—1約束與約束反力一.基本概念自由體(Freebody)：能自由運(yùn)動而獲得任意位移的物體。非自由體(Constrainedbody)：因受周圍物體的阻礙、限制而不能任意運(yùn)動的物體。約束(Constraint)：對非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體稱約束(體)。約束反力，約束力，反力(Constrainedforce)：由約束產(chǎn)生的阻礙非自由體運(yùn)動的力。約束反力是廣義力。主動力(Appliedforce,Load)：系統(tǒng)所受的約束力以外的所有力統(tǒng)稱主動力。火車的位移受到了軌道的限制

約束施于被約束物體的力稱為約束力(constraintforce)。約束力是一種接觸力。二.常見約束類型及特點1.柔索(Flexiblecable)工程中的繩索、鏈條、皮帶等物體可簡化成柔索。理想化的柔索不可伸長，不計自重，且不能抵抗彎曲。特點：是單面約束，約束反力只能是拉力。作用點：在接觸點處或假想截面處方向：總是沿著繩子的方向而背離所系的物體。對不計質(zhì)量的光滑繩索而言，各處的拉力都是同樣大小。2.光滑支撐面(Smoothsurface)若兩物體接觸面上的摩擦力很小而可忽略不計時，就可簡化成光滑支撐面約束。特點：是單面約束，反力是壓力。作用點：在接觸處。在面—面接觸的形式中，作用點具體位置與平衡形式有關(guān)。方向：沿著接觸處的公法線方向而指向被支持物體。3.光滑圓柱鉸鏈約束(Smoothcylindricalpin)用圓柱銷釘將兩個零件連接在一起，并假設(shè)接觸面光滑，由此構(gòu)成的約束稱為光滑圓柱鉸鏈約束。連接件連接件銷釘特點：被連接的構(gòu)件可繞銷釘軸作相對轉(zhuǎn)動，但相對移動被限制。是雙面約束，反力是壓力。作用點：銷釘與連接件的接觸處，在垂直于圓柱銷軸線的平面內(nèi)。方向：方向不定，通常表示為兩個互相垂直的分力形式。鉸鉸恐龍骨骼的鉸鏈連接固定鉸鏈支座(Fixedsupportofpinjoint)當(dāng)光滑圓柱鉸鏈連接的兩個構(gòu)件之一與地面或機(jī)架固接則構(gòu)成固定鉸鏈支座，也稱為固定鉸鏈約束反力的特點、作用點和方向與光滑圓柱鉸鏈相同。常用表達(dá)形式反力表達(dá)形式表示為一個大小和方向均未知的力表示為兩個方向已知但大小未知的力活動鉸鏈支座(Rollersupportofpinjoint)

在鉸鏈支座與支承面之間裝上棍軸，就構(gòu)成了活動鉸鏈支座或棍軸鉸鏈支座光滑支撐面連接件銷釘常用表達(dá)形式特點：是雙面約束，反力是壓力。方向：垂直于支撐面，具體指向取決于平衡狀態(tài)。4.光滑球形鉸鏈(Smoothballandsocketjoint)固連于構(gòu)件上的小球嵌入另一構(gòu)件上的球窩內(nèi)，若接觸面的摩擦可忽略不計，即構(gòu)成光滑球形鉸鏈。球窩小球球窩小球與鉸鏈相似，球鉸提供的約束力是一個過球心、大小和方向都未知的三維空間矢量FN，常用三個大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz來表示。球鉸的表示形式盆骨與股骨之間的球鉸聯(lián)結(jié)5.鏈桿(Bar)鏈桿：兩端用光滑鉸鏈與其它構(gòu)件連接且不考慮自重的剛桿。特點：是二力桿，提供雙面約束。反力方向：沿桿方向，通常假定受拉。同一點處的兩根不平行鏈桿等同于一固定鉸支座?；顒鱼q支座可用與支撐面垂直的一根鏈桿來代替。用鉸鏈連接的桿6.固定端(Fixedendsupport)固定端約束：物體的一部分固嵌于另一物體的約束，其特點是限制物體的移動又限制物體的轉(zhuǎn)動。y為變形后的梁軸線形狀固定端約束保證作用在物體固嵌部分上的約束反力是一個任意分布力系，通常將其簡化為一個主矢和主矩。FAzFAxFAyMAzMAxMAy槽鋼懸臂梁焊縫平面固定端約束如果只在xy平面內(nèi)研究運(yùn)動，則固定端約束只限制物體x和y方向的移動及繞z軸的轉(zhuǎn)動，即平面固定端約束。平面固定端的約束反力，可用兩個正交分力和一個力偶矩來表示。一個固定端約束能否簡化為平面固定端約束，完全取決于結(jié)構(gòu)在實際外載荷下可能的運(yùn)動形式。7.其它類型的約束向心軸承(柱向軸承)FzFx向心推力軸承(止推軸承)1—4—2受力分析與受力圖解除約束原理：當(dāng)受約束的物體在某些主動力的作用下處于平衡