混沌與分岔

第六章Content混沌與分岔的起源與發(fā)展混沌的概念混沌的特點混沌現(xiàn)象舉例分岔的概念分岔現(xiàn)象舉例混沌的研究方法分岔的研究方法混沌在現(xiàn)代科技領(lǐng)域的應(yīng)用混沌與分岔的起源與發(fā)展公認(rèn)的最早發(fā)現(xiàn)混沌的是偉大的法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家—龐加萊，他是在研究天體力學(xué)，特別是在研究三體問題時發(fā)現(xiàn)混沌的。他發(fā)現(xiàn)三體引力相互作用能產(chǎn)生驚人的復(fù)雜行為，確定性動力學(xué)方程的某些解有不可預(yù)見性。直到20世紀(jì)六十年代后，混沌現(xiàn)象才引起學(xué)術(shù)界的廣泛注意，到七十年代才誕生了還不大成熟的“混沌學(xué)”。其后，“混沌學(xué)”得到了迅速發(fā)展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌現(xiàn)象研究的熱潮?；煦缗c分岔的起源與發(fā)展分岔現(xiàn)象最早來源于1729年Musschenbrock對壓桿失穩(wěn)實驗的觀察，這種分岔現(xiàn)象在固體力學(xué)中稱屈曲。1834年雅可比首次提出分岔這個術(shù)語。1885年，龐卡萊提出旋轉(zhuǎn)液體星平衡圖形的演化過程的分岔理論。固體力學(xué)的屈曲和流體力學(xué)的轉(zhuǎn)捩一直是分岔研究的重要動力。20世紀(jì)30年代，范德波、安德羅諾夫等在非線性振動研究中發(fā)現(xiàn)大量的分岔現(xiàn)象。以后在很長時間內(nèi)，分岔的研究主要集中在應(yīng)用領(lǐng)域，直到20世紀(jì)60年代，微分動力系統(tǒng)、突變、奇異性、非線性分析等方面逐漸形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論?；煦缗c分岔的起源與發(fā)展混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)以后，關(guān)于分岔與混沌之間聯(lián)系的研究得到迅速發(fā)展，如Rulle和Takens發(fā)現(xiàn)環(huán)面分岔通向混沌；Feigenbaum發(fā)現(xiàn)倍周期分岔通向混沌；Pomeou等發(fā)現(xiàn)伴隨鞍結(jié)分岔的陣發(fā)性通向混沌?；煦绲母拍罨煦?，英文為chaos，意思是混亂，紊亂。混沌是指發(fā)生在確定系統(tǒng)中貌似隨機的無規(guī)則或不規(guī)則運動。然而混沌作為一門科學(xué)發(fā)展至今，仍沒有一個準(zhǔn)確、完整、科學(xué)的定義，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對其有不同的理解?；煦缫辉~由李天巖（Tian-yanLi）和約克（Yorke）于1975年首先提出?；煦绲亩ㄐ悦枋觯盎煦缡谴_定性非線性系統(tǒng)的有界的敏感初始條件的非周期行為”?；煦绲母拍頽周期點的定義：如果對于某x0，有f(n)(x0)=x0，但對于小于n的自然數(shù)k，有f(k)(x0)≠x0，則稱x0為f的一個n周期點。n周期軌道的定義：當(dāng)x0為f的一個n周期點時，稱{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}為f的n周期軌道。Li-Yorke定理：設(shè)連續(xù)自映射，I是R的一個閉區(qū)間，如果：①存在一切周期的周期點；②存在不可數(shù)子集S，S不含周期點，使得則稱f在S上是混沌的?；煦绲母拍頛i-Yorke定理給出了混沌數(shù)學(xué)上的定義，它說明混沌系統(tǒng)應(yīng)該具有三種性質(zhì)：存在所有周期的周期軌道；存在一個不可數(shù)集，此集只含有混沌軌道，任意兩個軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)；任一混沌軌道不趨于任一周期軌道?；煦绲奶攸c對初值的敏感性

混沌對初值具有敏感依賴性，初值的微小差別會導(dǎo)致未來的混沌軌道的巨大差別,正是所謂“失之毫厘，謬以千里”。1963年，荷蘭科學(xué)家洛倫茲(Hendrik

AntoonLorenz)在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”的著名論文。該論文以一個底部加熱、頂部冷卻的兩維運動流體塊中的對流為模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用數(shù)值方法揭示了該模型中存在混沌運動，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)初值的微小變化會導(dǎo)致軌道在長時間以后完全不同，即解對初值的極端敏感性，就是著名的蝴蝶效應(yīng)?；煦绲奶攸c內(nèi)在隨機性

確定性行為一定產(chǎn)生于確定性方程，而隨機行為卻產(chǎn)生于兩類方程：一類是隨機微分方程，一類是確定性方程。隨機微分方程表現(xiàn)出來的隨機性是由隨機參數(shù)、隨機初始條件或隨機外界強迫所產(chǎn)生，常稱為外在隨機性。確定性方程本身不包含任何隨機因素，但在一定的參數(shù)范圍卻能產(chǎn)生出看起來很混亂的結(jié)果，把這種由確定性方程產(chǎn)生的隨機性稱之為內(nèi)在隨機性?；煦缡谴_定性非線性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，這是混沌的重要特征之一?；煦绲奶攸c長期不可預(yù)測性由于初始條件僅限于某個有限精度，而初始條件的微小差異可能對以后的時間演化產(chǎn)生巨大的影響，因此不可能長期預(yù)測將來某一時刻之外的動力學(xué)特性，即混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測的。

混沌的特點分形性分形(Fractal)這個詞是由曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在70年代創(chuàng)立分形幾何學(xué)時所使用的一個新詞。所謂分形是指n維空間一個點集的一種幾何性質(zhì)，它們具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)的非整數(shù)維數(shù)，這種點集叫分形體。分維就是用非整數(shù)維-分?jǐn)?shù)維來定量地描述分形的基本特性?；煦绲奶攸c普適性普適性包括兩種，即結(jié)構(gòu)的普適性和測度的普適性。當(dāng)系統(tǒng)趨于混沌時，所表現(xiàn)出的特征具有普適意義，其特征不因具體系統(tǒng)的不同和系統(tǒng)運動方程的差異而變化。

混沌的特點遍歷性

遍歷性也稱為混雜性，混沌運動在有限時間內(nèi)能夠到達(dá)混沌區(qū)域內(nèi)任何一點。

混沌的特點奇怪吸引子相對于簡單吸引子（不動點、極限環(huán)、環(huán)面）又稱混沌吸引子。由無限層的條帶經(jīng)過伸長和折疊的幾何圖像。它表示系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間呈無規(guī)則的非周期變化;具有混沌的一切特征，對初始條件的敏感性，具有非整數(shù)的維數(shù)，即使原來的微分方程連續(xù)的依賴于參數(shù)，奇怪吸引子的結(jié)構(gòu)也不是連續(xù)隨參數(shù)變化，而往往是在參數(shù)變化的過程中其整體結(jié)構(gòu)會發(fā)生突變，奇怪吸引子具有無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)?；煦绲奶攸c幾種典型的混沌吸引子Chen’s吸引子

Lorenz吸引子

Rossler吸引子

混沌現(xiàn)象舉例

機床切削金屬時或打印機機頭因沖擊而引起的混沌振動正常的腦電波則近乎隨機訊號，其腦電圖曲線代表的就是典型的混沌現(xiàn)象單擺是我們熟知的確定性運動的典型，但當(dāng)角度大到一定程度并有驅(qū)動力和阻力時也居然能夠進(jìn)入混沌狀態(tài)湍流、三體問題、蝴蝶效應(yīng)、昆蟲繁衍混沌現(xiàn)象舉例--蝴蝶效應(yīng)

1961年美國氣象學(xué)家洛倫茲利用他的一臺老爺計算機，根據(jù)他導(dǎo)出的描述氣象演變的非線性動力學(xué)方程進(jìn)行長期氣象預(yù)報的模擬數(shù)值計算，探討準(zhǔn)確進(jìn)行長期天氣預(yù)報的可能性。有一次，洛倫茲為了檢驗上一次的計算結(jié)果，決定再算一遍。但他不是從上一次計算時的最初輸入的數(shù)據(jù)開始驗算，而是以一個中間結(jié)果作為驗算的輸入數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過一段重復(fù)過程后，計算開始偏離上次的結(jié)果，甚至大相徑庭。就好比一個計算結(jié)果預(yù)報幾個月后的某天是晴空萬里，另一個計算結(jié)果則告訴你這一天將電閃雷鳴！后來洛倫茲發(fā)現(xiàn)兩次計算的差別只是第二次輸入中間數(shù)據(jù)時將原來的0.506127省略為0.506。洛倫茲意識到，因為他的方程是非線性的，非線性方程不同于線性方程，線性方程對初值的依賴不敏感，而非線性方程對初值的依賴極其敏感。正是初始條件的微小誤差導(dǎo)致了計算結(jié)果的巨大偏離。由此洛倫茲斷言：準(zhǔn)確地作出長期天氣預(yù)報是不可能的。對此，洛倫茲作了個形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)，這就是蝴蝶效應(yīng)?；煦绗F(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定有某種昆蟲，在不存在世代交疊的情況下，即每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化為蟲。很顯然，若產(chǎn)卵數(shù)大于1，則蟲口就會迅速增加，“蟲滿為患”。但在蟲口數(shù)目增大的同時又由于爭奪有限的食物和生存空間而不斷發(fā)生咬斗事件，也可能因接觸感染而導(dǎo)致疾病蔓延，這些又會使蟲口減少。綜合考慮正增長和負(fù)增長，即鼓勵和抑制這兩種因素的作用，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)抽象和變換后，在1976年生物學(xué)家羅伯特.梅最終得到蟲口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)式中各量的取值范圍為n：1，2，3，···∞；Xn：[0，1]；λ：[0，4]混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍

假定蟲口環(huán)境所能支撐和供應(yīng)的最大蟲口限額為N0，且N0>>1。第n代蟲口數(shù)為Nn，則Xn=Nn/N0，是為第n代的相對蟲口數(shù)。顯然，1就是最大蟲口數(shù)目，故Xn的值不能超過1。λ是控制參量，蟲口模型要求λ取值[0，4]，這是因為在λ>4時會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，方程就將失去意義。如對Xn+1=5Xn(1—Xn)，當(dāng)代入Xn=0.5后會得到Xn+1=1.25，而最大相對蟲口數(shù)只能為1，Xn+1=1.25顯然沒有意義。混沌現(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍下面取λ為不同值對蟲口方程進(jìn)行迭代求解：取λ：0—1迭代容易驗證，λ在0—1之間時，無認(rèn)初始值取多少，對方程Xn+1=λXn(1—Xn)迭代歸宿均為確定值零。這是一個最平凡的1周期解，對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定態(tài)。取λ：1—3迭代迭代也是收斂的，迭代結(jié)果總是趨向于一個穩(wěn)定的不動點，這是一個非零的1周期解，同樣對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。對方程Xn+1=2Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1則有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999······可見很快收斂于X*=0.5。又對方程Xn+1=2.5Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1也只須十幾次迭代就收斂于X*=0.6了。不過與上一迭代趨近方式有所不同，幾次迭代后結(jié)果就在X*值上下產(chǎn)生小幅振蕩，并最終收斂于X*=0.6?；煦绗F(xiàn)象舉例--昆蟲繁衍取λ：3—3.569迭代迭代結(jié)果開始出現(xiàn)跳躍情況，倍周期分岔開始。其中在3—3.449之間為2周期，在3.449—3.544間為4周期······隨著λ的增加，分岔越來越密，混沌程度越來越高，直至λ=3.569時分岔周期變?yōu)椤?，最后“歸宿”可取無窮多的不同值，表現(xiàn)出極大的隨機性。而周期無窮大就等于沒有周期，此時系統(tǒng)開始進(jìn)入完全的混沌狀態(tài)?；煦鐓^(qū)對應(yīng)λ取值3.569—4。分岔的概念

分岔(bifurcation)是非線性領(lǐng)域的重要理論。分岔是指動力學(xué)系統(tǒng)中，控制參量改變時，其各自的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突然變化。分岔現(xiàn)象是非線性問題中所特有現(xiàn)象，失穩(wěn)是其發(fā)生的前提。分岔之后，系統(tǒng)不同狀態(tài)間便發(fā)生不連續(xù)的過渡，這就是突變。然后經(jīng)過不斷地分岔，最后達(dá)到的終態(tài)即混沌。由此可見分岔在許多非線性現(xiàn)象中起著橋梁作用。分岔問題可以分成靜態(tài)分岔和動態(tài)分岔。靜態(tài)分岔指系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性在分岔值附近發(fā)生變化，如鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔等；動態(tài)分岔是相軌跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，如Hopf分岔、環(huán)面分岔、同宿或異宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍結(jié)分岔為三種分岔原型。分岔的概念叉形分岔其典型方程為：方程的平衡點有三個：x=0和平衡態(tài)的穩(wěn)定性由雅可比矩陣的特征值決定：對于平衡點x=0，雅可比矩陣的特征值為μ。當(dāng)μ<0時，平衡點x=0是穩(wěn)定的；當(dāng)μ>0時，它是不穩(wěn)定的。對于平衡點，雅可比矩陣的特征值為-2μ。此時μ取正值，這兩個平衡點都是穩(wěn)定的。這就是叉形分岔，又稱為倍周期分岔。

分岔的概念Hopf分岔在動態(tài)分岔中，比較重要的是由于平衡點穩(wěn)定性突然變化而出現(xiàn)極限環(huán)的霍普分岔。Hopf分岔是指從平衡點的失穩(wěn)分岔出極限環(huán)，即產(chǎn)生周期性振蕩的現(xiàn)象。其典型的方程為引入極坐標(biāo)(r,θ)，其中分岔的概念代入典型方程并化簡得方程組的第二式，說明了軌線以一常角速度旋轉(zhuǎn)，而第一式，則說明了極坐標(biāo)系在μ>0時還存在另一平衡點由此看到，與叉形分岔非常相似。由分析得知，當(dāng)μ<0時，r=0為穩(wěn)定的，而當(dāng)μ>0時，r=0就變的不穩(wěn)定了，從而分岔出半徑為的極限環(huán)，這種由于失穩(wěn)后出現(xiàn)極限環(huán)的分岔通常稱為Hopf分岔，此時的分岔點為x=0，y=0，μ=0。分岔的概念鞍結(jié)分岔又稱折疊分岔。試考察單變量非線性方程很明顯，當(dāng)μ>0時則存在兩平衡點：根據(jù)雅可比矩陣計算得知，x1是穩(wěn)定的平衡點，x2是不穩(wěn)定的平衡點。μ=0是分岔點，此分岔稱為鞍結(jié)分岔。

分岔現(xiàn)象舉例

Euler桿在軸向壓力作用下的彎曲問題這是Euler在1744年研究的一個問題，它是一個最簡單的分岔現(xiàn)象。考慮一端固定，另一端為自由的均勻直桿。Euler桿受到軸向壓力μ（即問題的控制參數(shù)）。例子中，采用θ表示桿的切線與實軸之間的夾角。Euler直桿彎曲滿足下列非線性微分方程及邊值當(dāng)θ<<1時，其對應(yīng)的線性方程是

分岔現(xiàn)象舉例其解的一般表示是當(dāng)時，θ≡0，表示Euler桿不彎曲狀態(tài)當(dāng)時，這時μ=π2，原來的平衡狀態(tài)即失去了穩(wěn)定性，于是桿發(fā)生了彎曲。這時，θ≠0?；煦绲难芯糠椒?/p>

針對混沌現(xiàn)象目前主要采用的方法有：定性分析法和定量分析法。定性分析法有龐加萊截面法，功率譜法等；定量分析法有飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法和李亞普諾夫指數(shù)法等。龐加萊截面法：在多維相空間中適當(dāng)（要有利于觀察系統(tǒng)的運動特征和變化，如截面不能與軌線相切，更不能包含軌線面）選取一個截面，這個截面可以是平面也可以是曲面，然后考慮連續(xù)的動力學(xué)軌道與此截面相交的一系列點的變化規(guī)律，這樣就可以拋開相空間的軌道，借助計算機畫出龐加萊截面上的截點，由此得到關(guān)于運動特征的信息。不同的運動形式通過截面時，與截面的交點有不同的分布特征：①周期運動在此截面上留下有限個離散的點；②準(zhǔn)周期運動在截面上留下一條閉合曲線；③混沌運動在龐加萊截面上是沿一條線段或一曲線弧分布的點集，而且具有自相似的分形結(jié)構(gòu)?；煦绲难芯糠椒üβ首V法：譜分析是識別混沌的一個重要手段。根據(jù)傅立葉變換分析得到周期運動的頻譜是離散的譜線，而對非周期運動，其不能展開成傅立葉級數(shù)只能展開成傅立葉積分，故非周期運動的頻譜是連續(xù)的。也就是說，若譜圖具有單峰或幾個峰，則對應(yīng)于周期序列，若無明顯的峰值且頻譜是連續(xù)的，則可確定該系統(tǒng)可能存在混沌解。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法：根據(jù)傳統(tǒng)的定義，維數(shù)是整數(shù)的，而混沌軌道在相空間內(nèi)由于無限次的拉伸、壓縮和折疊，構(gòu)成了無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)，形成混沌奇怪吸引子。這奇怪吸引子的形狀極為復(fù)雜，既像線又像面，在維數(shù)上表現(xiàn)為非整數(shù)維數(shù)，即分?jǐn)?shù)維。混沌的研究方法李亞普諾夫指數(shù)法：李亞譜諾夫指數(shù)是用來刻畫混沌行為對初始條件的高度敏感性，是用來度量從兩個相鄰初始點出發(fā)的兩條軌道，經(jīng)過一段時間演化后，他們之間的距離隨時間按指數(shù)形式吸引或分離的程度?？梢詤^(qū)分奇怪吸引子和其他的吸引子。1983年，格里波基證明只要最大李指大于0，就可以肯定混沌性的存在。混沌的研究方法相空間重構(gòu)相空間重構(gòu)是分?jǐn)?shù)維計算，李雅普諾夫指數(shù)計算關(guān)鍵。一般來說，非線性系統(tǒng)的相空間可能維數(shù)很高，甚至無窮，但在大多數(shù)情況下維數(shù)并不知道。在實際問題中，對于給定的時間序列x1,x2,…,xn，我們通常是將其擴展到三維甚至更高維的空間中去，以便把時間序列中蘊藏的信息充分地顯露出來，這就是延遲坐標(biāo)狀態(tài)空間重構(gòu)法。Takens嵌入定理：只要嵌入維數(shù)足夠大，也就是延遲坐標(biāo)的維數(shù)M≥2D+1（D是動力系統(tǒng)的維數(shù)），在該嵌入維空間里可把有規(guī)律的軌道（吸引子）恢復(fù)出來，即在重構(gòu)的空間中的軌道上與原動力系統(tǒng)保持微分同胚，與原吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同。

混沌的研究方法對于混沌時間序列x1,x2,…,xn，若嵌入維數(shù)為m，延遲時間為τ，則相空間重構(gòu)為：上式中任一相點都包含有m個分量（或狀態(tài)點），對N個相點在m維的相空間中構(gòu)成一個相型，相點間的連線是描述系統(tǒng)在維相空間中的演化軌跡。重構(gòu)后的樣本個數(shù)為N。在重構(gòu)相空間中，時間延遲和嵌入維數(shù)的選取具有十分重要的意義，同時這種選取也是很困難的。兩者的恰當(dāng)選取直接影響到相空間重構(gòu)的質(zhì)量，進(jìn)而影響到預(yù)測的精度。嵌入維數(shù)太低，會出現(xiàn)吸引子的自交性；太高使點與點之間距離太遠(yuǎn)。時間延遲太低，重構(gòu)空間中各點坐標(biāo)的相關(guān)性太強，相空間軌跡沿同一方向擠壓，信息不容易泄漏；太大，本來較近的向量也會拉遠(yuǎn)，而導(dǎo)致不確定的系統(tǒng)性態(tài)。兩者的選取可以獨立也可以不獨立。

混沌的研究方法時間延遲的選取方法：時間序列相關(guān)法：讓相空間中各元素的相關(guān)性減弱，同時各元素所包含的原動力學(xué)系統(tǒng)的信息不丟失。自相關(guān)函數(shù)法：適用于低維；延遲時間τ取為自相關(guān)函數(shù)下降到初始值的1-1/e時的值?；煦绲难芯糠椒ɑバ畔⒘糠ǎ夯バ畔⒃酱?，表明相關(guān)性越強。此時間延遲取為互信息函數(shù)第一次達(dá)到極小值時刻的點。其中Q，S分別為兩個離散變量，I(Q,S)表示互信息，H(*)表示信息熵，信息熵越大，不確定性越強，H(Q,S)是聯(lián)合信息熵，H(Q|S)是條件熵，表示已知S的情況下Q的不確定性，P(qi)為Q在qi狀態(tài)出現(xiàn)的概率，P(sj)為S在sj狀態(tài)出現(xiàn)的概率，P(qi,sj)為Q在qi狀態(tài)出現(xiàn)同時S在sj狀態(tài)出現(xiàn)的聯(lián)合概率。此公式能夠說明：S和Q的相關(guān)程度越大，已知S確定Q的不確定性越小，即H(Q|S)越小，則互信息I(Q,S)越大，反之，S和Q的相關(guān)程度越小，互信息I(Q,S)越小?；煦绲难芯糠椒〞r間延遲的選取方法：相空間擴展法：重構(gòu)相空間軌跡應(yīng)從相空間的主對角線盡可能的擴展，但又不出現(xiàn)折疊——平均位移法，擺動量法，填充引子法；復(fù)自相關(guān)法和去偏復(fù)自相關(guān)法是時間序列相關(guān)法和相空間擴展法的綜合。具有很強的理論依據(jù)，計算復(fù)雜度不大，對數(shù)據(jù)長度依賴性不強，具有很強的抗噪能力。混沌的研究方法嵌入維數(shù)的選取方法：關(guān)聯(lián)維數(shù)飽和法，虛假最小臨近法，奇異值分解法——與延遲時間的選取不相關(guān)的方法；Cao方法——與時間延遲有關(guān)的方法。對于時間序列x1,x2,…,xn，若嵌入維數(shù)為m，延遲時間為τ，則相空間重構(gòu)為：定義：混沌的研究方法其中Ym+1(n(i,m))是Ym+1(i)的最鄰近的點，Ym(n(i,m))是Ym(i)的最鄰近的點。如果嵌入維數(shù)滿足嵌入式定理，那么在m維空間中離得近的兩個點在m+1維空間中也離得最近。當(dāng)m大于某個值的時候，E1(m)不再變化，這時的m就是飽和嵌入維數(shù)。

混沌的研究方法關(guān)聯(lián)維數(shù)的求?。合冉o一個較小的嵌入維數(shù)值m0，對應(yīng)一個重構(gòu)的相空間；計算累積分布函數(shù)其中：|Y(i)-Y(j)|表示重構(gòu)的相空間中兩個相點之間的距離；θ是Heaviside函數(shù)：C(r)是一個累積分布函數(shù)，表示相空間中吸引子上兩點之間的距離小于r的概率?；煦绲难芯糠椒P(guān)聯(lián)維數(shù)的求取：對于r的某個適當(dāng)范圍，吸引子的維數(shù)D與累積分布函數(shù)C(r)應(yīng)滿足對數(shù)線性關(guān)系，即lnr-lnC(r)在r的適當(dāng)范圍內(nèi)是一條直線，直線的斜率即為吸引子的維數(shù)即關(guān)聯(lián)維數(shù)。從而由擬合求出對應(yīng)于m0的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計值D(m0)。增加嵌入維數(shù)的值，重復(fù)計算步驟2和3，直到相應(yīng)的維數(shù)估計值不隨m的增長在一定誤差范圍內(nèi)不變?yōu)橹?。此時得到的D即為吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。如果D隨著m的增長而增長，并不收斂于一個穩(wěn)定的值，則表明所考慮的系統(tǒng)是一個隨機時間序列。混沌的研究方法Wolf法計算最大李亞普諾夫指數(shù)：先求取延遲時間和嵌入維數(shù)，進(jìn)行相空間重構(gòu)；選取相空間中相距比較近的兩個點，在一個固定的時間間隔之后，此兩點演化成新的兩點。計算新得到的兩點之間的距離，用此距離與新開始時兩點之間的距離的比值代表軌道的發(fā)散程度；混沌的研究方法Wolf法計算最大李亞普諾夫指數(shù)：要保證每次演化之后要找到新的替代點，使得替代點與另外一點的連線和原來的點與另外一點的連線的夾角盡可能的小。再求出經(jīng)過下一步時間的演化得到的兩點之間的距離與剛才兩點之間距離的比值，又得到了發(fā)散程度的一個新的描述值；如此繼續(xù)下去，直至到達(dá)時間序列的終點，把每一個求出的值取對數(shù)再平均就得到了時間序列的最大李亞普諾夫指數(shù)。最大李亞普諾夫指數(shù)為：

分岔的研究方法

目前在研究分岔時主要用到的方法有：狀態(tài)空間平均法、頻閃映射法和采樣數(shù)據(jù)法。狀態(tài)空間平均法：狀態(tài)空間平均法就是先分別寫出各系統(tǒng)工作在各模態(tài)的狀態(tài)空間模型，然后進(jìn)行平均。頻閃映射法：頻閃映射的主要思路是確定一個初值，以此初值為變量求解下一周期的解，如此不斷的反復(fù)，最終得到所需精度解Xn+1。只要求得Xn+1和Xn之間的關(guān)系，就能采用連續(xù)代入的方法求出Xn+1。分岔的研究方法采樣數(shù)據(jù)法：通過列寫出系統(tǒng)在不同工作階段的微分方程得出系統(tǒng)的動力學(xué)迭代方程，這就是采樣數(shù)據(jù)法。以上3種建模方法各有特點：狀態(tài)空間平均法計算簡便，但只能分析低頻性能；頻閃映射法適用于數(shù)值求解；采樣數(shù)據(jù)法能夠得到解析解，是一種系統(tǒng)