PAGEPAGE18直線與平面平行的性質(zhì)平面與平面平行的性質(zhì)●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用，掌握兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用．(2)運(yùn)用兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)“線線”、“線面”平行的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和邏輯思維能力．2．過程與方法學(xué)生通過觀察與類比，借助實(shí)物模型理解性質(zhì)及應(yīng)用．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)在推理和證明過程中，提高探究能力，逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度．(2)增強(qiáng)“數(shù)學(xué)來源于生活、應(yīng)用于實(shí)踐”的意識(shí)，培養(yǎng)審美情趣．(3)進(jìn)一步滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：兩個(gè)性質(zhì)定理及其應(yīng)用．難點(diǎn)：兩個(gè)性質(zhì)定理的探索過程及應(yīng)用．重難點(diǎn)突破：以教材中的“思考”為切入點(diǎn)，引出直線和平面平行的性質(zhì)定理及平面和平面平行的性質(zhì)定理．接著以長(zhǎng)方體為載體，對(duì)這兩個(gè)問題進(jìn)行探究，通過操作確認(rèn)，先得出兩個(gè)性質(zhì)定理的猜想，然后通過邏輯論證，證明猜想的正確性，從而得到性質(zhì)定理．最后可通過題組訓(xùn)練，采用師生互動(dòng)、講練結(jié)合的方式，幫助學(xué)生突出重點(diǎn)、化解難點(diǎn)．●教學(xué)建議本節(jié)知識(shí)是上節(jié)知識(shí)的拓展和延伸，由于性質(zhì)與判定是相輔相成相互統(tǒng)一的，故教學(xué)時(shí)，可采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，采用以思導(dǎo)學(xué)的方式，從回顧兩個(gè)判定定理出發(fā)，把探索兩個(gè)性質(zhì)定理的問題轉(zhuǎn)移到線與線及線與面位置關(guān)系的問題上，然后教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)的生活空間中抽象出空間圖形的過程，注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、有條理的思考和推理等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理來探索直線、平面平行的性質(zhì)及其證明，最后通過典例訓(xùn)練使學(xué)生體會(huì)線與面之間的互化關(guān)系，提高學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力．●教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問題情境，引出問題：如何判斷線面平行與面面平行有哪些性質(zhì)？?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)物體，通過觀察、想象、思考，得出線面平行與面面平行的性質(zhì)定理.)?eq\x(通過引導(dǎo)學(xué)生回答所提問題理解線面平行與面面平行的性質(zhì)定理.)?eq\x(通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握直線與平面的平行的性質(zhì)定理.)?eq\x(通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.)?課標(biāo)解讀1.理解直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理的含義．(重點(diǎn))2.能用三種語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理．(重點(diǎn))3.能用直線與平面、平面與平面的性質(zhì)定理證明一些空間平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．(難點(diǎn))直線與平面平行的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】1．若直線l∥平面α，則l平行于平面α內(nèi)的所有直線嗎？【提示】不是．2．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個(gè)？這些平面與α的交線與直線a有什么關(guān)系？【提示】若a∥α，則過a且與α相交的平面有無(wú)數(shù)個(gè)．這些平面與α的交線與直線a之間相互平行．直線與平面平行的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．(2)符號(hào)語(yǔ)言：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)圖形語(yǔ)言：如圖所示．圖2－2－13(4)作用：證明兩直線平行．平面與平面平行的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】觀察長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.1．平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？【提示】是的．2．若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，則m∥n嗎？【提示】不一定．3．過BC的平面交面A1B1C1D1于EF，EF與BC什么關(guān)系？【提示】平行．平面與平面平行的性質(zhì)定理(1)文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．(2)符號(hào)語(yǔ)言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.(3)圖形語(yǔ)言：如圖所示．(4)作用：證明兩直線平行.圖2－2－14線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．【思路探究】先寫出已知求證，再借助線面平行的性質(zhì)定理求解．【自主解答】已知直線a，l，平面α，β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求證：a∥l.證明：如圖所示，過a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.線∥面eq\o(,\s\up15(線面平行的性質(zhì)),\s\do20(線面平行的判定))線∥線．在空間平行關(guān)系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類問題的關(guān)鍵．若兩個(gè)相交平面分別過兩條平行直線，則它們的交線和這兩條平行直線平行．【解】已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求證：a∥b∥l.證明：如圖所示，∵a∥b，b?β，a?β，∴a∥β，又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖2－2－15，平面四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D均在平行四邊形A′B′C′D′所確定一個(gè)平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．圖2－2－15【思路探究】先證平面AA′B′B∥平面DD′C′C，再證AB∥CD，同理證明BC∥AD，進(jìn)而證明ABCD為平行四邊形．【自主解答】在?A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，∵A′B′?平面C′D′DC，C′D′?平面C′D′DC，∴A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.同理AD∥BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形．1．利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，往往需要有三個(gè)平面，即有兩平面平行，再構(gòu)造第三個(gè)面與兩平行平面都相交．2．面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理的交替使用，可實(shí)現(xiàn)線線、線面及面面平行的相互轉(zhuǎn)化．如圖2－2－16，已知α∥β，點(diǎn)P是平面α、β外的一點(diǎn)(不在α與β之間)，直線PB、PD分別與α、β相交于點(diǎn)A、B和C、D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長(zhǎng)．圖2－2－16【解】(1)∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個(gè)平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD)，∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(15,4)(cm)，∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm).平行關(guān)系的綜合應(yīng)用圖2－2－17如圖2－2－17，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分別是BC、C1D1、AD1、BD的中點(diǎn)．(1)求證：PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的長(zhǎng)．(3)求證：EF∥平面BB1D1D.【思路探究】(1)eq\x(證明PQ∥CD1)→eq\x(PQ∥平面DCC1D1)或eq\x(取AD的中點(diǎn)G)→eq\x(證平面PGQ∥平面DCC1D1)→eq\x(PQ∥平面DCC1D1)(2)利用PQ＝eq\f(1,2)D1C求解．(3)eq\x(取B1D1的中點(diǎn)O1)→eq\x(證明BEFO1為平行四邊形)→eq\x(EF∥平面BB1D1D)或eq\x(取B1C1的中點(diǎn)E1)→eq\x(證明平面EE1F∥平面BB1D1D)→eq\x(EF∥平面BB1D1D)【自主解答】(1)證明：法一如圖，連接AC、CD1.∵P、Q分別是AD1、AC的中點(diǎn)，∴PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.法二取AD的中點(diǎn)G，連接PG、GQ，則有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ?平面PGQ，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a.(3)證明：法一取B1D1的中點(diǎn)O1，連接FO1，BO1，則有FO1綊eq\f(1,2)B1C1.又BE綊eq\f(1,2)B1C1，∴BE綊FO1.∴四邊形BEFO1為平行四邊形，∴EF∥BO1，又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.法二取B1C1的中點(diǎn)E1，連接EE1、FE1，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF?平面EE1F，∴EF∥平面BB1D1D.1．證明線面平行的三種常用方法：(1)定義法．(2)線面平行的判定．(3)面面平行的性質(zhì)．2．線線平行、線面平行、面面平行之間可以相互轉(zhuǎn)化，其示意圖為：直線與直線平行eq\o(,\s\up7(直線與平面平行的判定),\s\do5(直線與平面平行的性質(zhì)))直線與平面平行eq\o(,\s\up7(平面與平面平行的判定),\s\do5(平面與平面平行的性質(zhì)))平面與平平面與平面平行的判定平面與平面平行的性質(zhì)面平行如圖2－2－18所示，已知E、F分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BED1F是平行四邊形．圖2－2－18【證明】取D1D的中點(diǎn)G，連接EG，GC，∵E是A1A的中點(diǎn)，G是D1D的中點(diǎn)，∴EG綊AD.由正方體性質(zhì)知AD綊BC，∴EG綊BC，∴四邊形EGCB是平行四邊形，∴EB∥GC.①又∵G，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，∴D1G綊FC，∴四邊形D1GCF為平行四邊形，∴D1F∥GC.②由①②得EB∥D1F，③∴E、B、F、D1四點(diǎn)共面，四邊形BED1F是平面四邊形．又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，∴ED1∥BF，④由③④得，四邊形BED1F是平行四邊形．因?qū)⑵矫鎺缀沃械慕Y(jié)論直接應(yīng)用到立體幾何中致誤如圖2－2－19所示，已知異面直線AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的兩側(cè)，若AC，BD分別與α相交于M，N兩點(diǎn)，求證eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND).圖2－2－19【錯(cuò)解】連接MN.因?yàn)锳B∥CD∥MN，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND).【錯(cuò)因分析】錯(cuò)誤的原因是在立體幾何的證明中盲目地套用平面幾何中的定理．【防范措施】立體幾何問題只有在化歸為平面幾何問題后才能使用平面幾何知識(shí)解題．【正解】如圖所示，連接AD，交平面α于點(diǎn)P，連接PM，PN.因?yàn)镃D∥α，平面ACD∩α＝PM，所以CD∥PM，所以在△ACD中，有eq\f(AM,MC)＝eq\f(AP,PD).同理，在△DAB中，有eq\f(AP,PD)＝eq\f(BN,ND)，所以eq\f(AM,MC)＝eq\f(BN,ND).1．三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示：2．證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是：“見了已知想性質(zhì)，見了求證想判定”，也就是說“發(fā)現(xiàn)已知，轉(zhuǎn)化結(jié)論，溝通已知與未知的關(guān)系”．這是分析和解決問題的一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段．1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．唯一一條直線不相交B．僅兩條相交直線不相交C．僅一組平行直線不相交D．任意一條直線都不相交【解析】根據(jù)直線和平面平行定義，易排除A、B.對(duì)于C，僅有一組平行線不相交，不正確，應(yīng)排除C.與平面α內(nèi)任意一條直線都不相交，才能保證直線a與平面α平行，∴D正確．【答案】D2．若平面α∥平面β，a?α，下列說法正確的是()①a與β內(nèi)任一直線平行；②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)任一直線不垂直；④a與β無(wú)公共點(diǎn)．A．①③B．②④C．②③D．①③④【解析】∵a?α，α∥β，∴a∥β，∴a與β無(wú)公共點(diǎn)，④正確；如圖，在正方體中，令線段B1C1所在的直線為a，顯然a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，故②正確；又AB⊥B1C1，故在β內(nèi)存在直線與a垂直，故①③錯(cuò)誤．【答案】B3．已知平面α∥平面β，過平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a、b的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，A選項(xiàng)正確．【答案】A4．過正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求證：BB1∥EE1.【證明】如圖所示，∵CC1∥BB1，∴CC1∥平面BEE1B1(直線和平面平行的判定定理)．又∵平面CEE1C1過CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1(直線和平面平行的性質(zhì)定理)．由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1(平行公理)．一、選擇題1．a(chǎn)∥α，b∥β，α∥β，則a與b位置關(guān)系是()A．平行B．異面C．相交D．平行或異面或相交【解析】如圖(1)，(2)，(3)所示，a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．【答案】D2．(2013·鄭州高一檢測(cè))已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，在平面α內(nèi)C．有兩條，不一定都在平面α內(nèi)D．有無(wú)數(shù)條，不一定都在平面α內(nèi)【解析】如圖所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直線l與點(diǎn)P確定一個(gè)平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l(xiāng)∥m且m是惟一的．【答案】B圖2－2－203．(2013·呼和浩特高一檢測(cè))如圖2－2－20，四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵M(jìn)N∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.【答案】B4．(2013·德州高一檢測(cè))設(shè)平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、B分別在平面α，β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有的動(dòng)點(diǎn)C()A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．無(wú)論點(diǎn)A，B如何移動(dòng)都共面【解析】無(wú)論點(diǎn)A、B如何移動(dòng)，其中點(diǎn)C到α、β的距離始終相等，故點(diǎn)C在到α、β距離相等且與兩平面都平行的平面上．【答案】D5．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)【解析】∵l?α，∴l(xiāng)∥α或l與α相交．(1)若l∥α，則由線面平行的性質(zhì)可知l∥a，l∥b，l∥c，…∴a，b，c，…這些交線都平行．(2)若l與α相交，不妨設(shè)l∩α＝A，則A∈l，又由題意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴這些交線交于同一點(diǎn)A.綜上可知D正確．【答案】D二、填空題6．過正方體ABCD－A1B1C1D1的三個(gè)頂點(diǎn)A1，C1，B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)檫^A1，C1，B三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為A1C1，與底面ABCD的交線為l，由于正方體的兩底面互相平行，則由面面平行的性質(zhì)定理知l∥A1C1.【答案】l∥A1C1圖2－2－217．如圖2－2－21，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中點(diǎn)，BD與平面α交于點(diǎn)N，AB＝4，CD＝6，則MN＝________.【解析】因?yàn)锳B∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中點(diǎn)，所以MN是梯形ABDC的中位線，MN＝5.【答案】58．如圖2－2－22，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝________.圖2－2－22【解析】由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，從而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝(eq\f(A′B′,AB))2＝(eq\f(PA′,PA))2＝eq\f(4,25).【答案】eq\f(4,25)三、解答題圖2－2－239．如圖2－2－23所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由．【解】如圖，連接DB交AC于點(diǎn)O，取D1D的中點(diǎn)M，連接MA，MC，MO，則截面MAC即為所求作的截面．∵M(jìn)O為△D1DB的中位線，∴D1B∥MO.∵D1B?平面MAC，MO?平面MAC，∴D1B∥平面MAC，則截面MAC為過AC且與直線D1B平行的截面．10．(2013·嘉峪關(guān)高一檢測(cè))如圖2－2－24，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB與CD上，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FD)，求證：EF∥平面β.圖2－2－24【證明】(1)若直線AB和CD共面，∵α∥β，平面ABDC與α，β分別交于AC，BD兩直線，∴AC∥BD.又∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FD)，∴EF∥AC∥BD，∴EF∥平面β.(2)若AB與CD異面，連接BC并在BC上取一點(diǎn)G，使得eq\f(AE,EB)＝eq\f(CG,GB)，則在△BAC中，EG∥AC，AC?平面α，∴EG∥α，又∵α∥β，∴EG∥β.同理可得：GF∥BD，而BD?β.∴GF∥β，∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又∵EF?平面EGF，∴EF∥β.綜合(1)(2)得EF∥β.11．(思維拓展題)如圖2－2－25所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.圖2－2－25(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．【解】法一(1)證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知四邊形AMNE為平行四邊形．所以MN∥AE，又因?yàn)镸N?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)證明：由AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)設(shè)Q是CD的中點(diǎn)，連接NQ，MQ，則MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAD.如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E在AB′上(靠近B′處)，點(diǎn)F在BD上(靠近B處)，且B′E＝BF.求證：EF∥平面BB′C′C.【思路探究】可根據(jù)線面平行的判