第四章軸對稱問題的有限單元法

主要內(nèi)容：

4-1軸對稱問題有限單元法

4-2空間問題常應(yīng)變四面體單元軸對稱結(jié)構(gòu)體可以看成由任意一個縱向剖面繞著縱軸旋轉(zhuǎn)一周而形成。此旋轉(zhuǎn)軸即為對稱軸，縱向剖面稱為子午面，如圖4-1表示一圓柱體的子午面abcd被分割為若干個三角形單元，再經(jīng)過繞對稱軸旋轉(zhuǎn)，圓柱體被離散成若干個三棱圓環(huán)單元，各單元之間用圓環(huán)形的鉸鏈相連接。對于軸對稱問題，采用圓柱坐標較為方便。以彈性體的對稱軸為z軸，其約束及外載荷也都對稱于z軸，因此彈性體內(nèi)各點的各項應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都與環(huán)向坐標θ無關(guān)，圖4-1軸對稱結(jié)構(gòu)軸對稱問題返回軸對稱問題只是徑向坐標r和軸向坐標z的函數(shù)。也就是說，在任何一個過z軸的子午面上的位移、應(yīng)變和應(yīng)力的分布規(guī)律都相同。因此軸對稱問題可把三維問題簡化為以（z，r）為自變量的二維問題。由于軸對稱性，彈性體內(nèi)各點只可能存在徑向位移u和軸向位移w。此時，位移u、w只是r、z的函數(shù)，而環(huán)向位移v=0。即：（4-1）返回由于軸對稱性，我們只需分析任意一個子午面上的位移、應(yīng)力和應(yīng)變情況。其有限元分析計算步驟和平面問題相似。首先進行結(jié)構(gòu)區(qū)域的有限元剖分。采用的單元是三角形、矩形或任意四邊形環(huán)繞對稱軸z旋轉(zhuǎn)一周而得到的整圓環(huán)，通常采用的單元是三角形截面的整圓環(huán)。在單元類型確定之后，單元剖分可以在子午面內(nèi)進行，如圖4-1表示的abcd子午面被分割為若干個三角形，繞對稱軸z旋轉(zhuǎn)后即形成若干個三棱圓環(huán)單元。軸對稱問題一、單元位移模式圖4-1軸對稱結(jié)構(gòu)這樣，各單元在子午面rz平面上形成三角形網(wǎng)格，就如同平面問題中在xy平面上的網(wǎng)格一樣。采用位移法有限元分析，其基本未知量為結(jié)點位移。單元的結(jié)點位移列陣如下：rrii圖4-2mjrjrmvuz軸對稱問題相鄰的單元由圓環(huán)形的鉸鏈相連接。單元的棱邊都是圓，故稱為結(jié)圓。每個結(jié)圓與rz平面的交點稱為結(jié)點。如圖4-2中的i,j,m點。軸對稱問題（4-3）對于每一個環(huán)形單元，需要假定其位移模式。仿照平面三角形單元，取線性位移模式類似于平面三角形單元的推導(dǎo)，即將單元的結(jié)點坐標及結(jié)點位移代入式（4-4）中,可以解出六個待定系數(shù)。再將這些待定系數(shù)回代到式（4-4）中，就可以得到由結(jié)點位移和形函數(shù)所表示的單元內(nèi)任一點的位移表達式（4-5）（4-4）軸對稱問題其中形函數(shù)（4-6）而（4-7）（4-8）（4-9）（4-10）軸對稱問題（4-5）式也可以寫成矩陣形式(4-11)返回軸對稱問題二、單元應(yīng)變與應(yīng)力為了將單元任意點的應(yīng)變和應(yīng)力用結(jié)點位移表示，可按以下步驟推導(dǎo)。將式（4-5）代入軸對稱問題的幾何方程，便得到單元體內(nèi)的應(yīng)變，即（4-12）返回軸對稱問題式中（i，j，m）上式可簡寫成（4-13）其中[B]為三角形斷面環(huán)元的應(yīng)變矩陣，它可寫成分塊矩陣形式[B]=[BiBjBm]（i，j，m）返回軸對稱問題于是作了這樣的近似后，各單元的應(yīng)變分量就是定值。這樣就可以把軸對稱問題的各單元看成是常應(yīng)變矩陣，所求得的應(yīng)變是形心處的應(yīng)變值。當(dāng)軸對稱結(jié)構(gòu)的單元劃分比較小時，這種近似所引起的誤差是很小的。特別當(dāng)結(jié)構(gòu)上各單元的形心離Z軸較遠時，產(chǎn)生的誤差就更小了。返回可以看出，單元中的應(yīng)變分量，都是常量，但是環(huán)向應(yīng)變不是常量，而是坐標r和z的函數(shù)。為了簡化計算，通常采用單元的形心坐標值來近似代替（4-12）中的r，z值，即令軸對稱問題單元的各應(yīng)力分量可通過將式（5-12）代入軸對稱問題的物理方程得到（4-14）式中：[S]是三角形截面環(huán)形單元的應(yīng)力矩陣。它的子矩陣為返回軸對稱問題其中從（4-14）式可知，只有剪應(yīng)力在單元中是常數(shù)，而其他三個正應(yīng)力在單元中都不是常數(shù)，與坐標r和z有關(guān)。同樣采用形心坐標和來代替，每個單元近似地被當(dāng)作常應(yīng)力單元，所求得的應(yīng)力是單元形心處的應(yīng)力近似值。返回軸對稱問題三、單元剛度矩陣運用虛功原理來求解軸對稱問題結(jié)構(gòu)上任何單元的剛度矩陣。單元在結(jié)點力的作用下處于平衡狀態(tài)，結(jié)點力列陣為：假設(shè)單元e的三個結(jié)點的虛位移為單元任一點的虛位移為單元的虛應(yīng)變?yōu)椋?-15）（4-16）軸對稱問題根據(jù)虛功原理，三角形斷面形狀的單元體所吸收的虛應(yīng)變能等于單元結(jié)點力所做的虛功（4-17）上式等號左邊為單元結(jié)點力所作的虛功，與平面問題不同的是這里所說的結(jié)點力是指作用在整個結(jié)圓上的力，等式右邊是指整個三角形環(huán)狀單元中應(yīng)力的虛功。將（4-14）式和（4-16）式代入（4-17）式，則得（4-18）返回軸對稱問題由于虛位移列陣是任意給定的，所以有式中，就是單元剛度矩陣寫成分塊形式，則為（4-19）（4-20）（4-21）返回軸對稱問題其中每個子矩陣為在軸對稱問題中，矩陣[B]不是常數(shù)而是坐標r,z的函數(shù)，所以（5-22）式的積分運算比平面問題要復(fù)雜得多。為了簡化計算仍取單元形心的坐標代替矩陣[B]中的坐標r,z，得到一個近似的單元剛度矩陣。此時，（5-22）式可以寫成（4-22）（4-23）上式也可以寫成P53(4-16)（5-24）返回軸對稱問題求得單元剛度矩陣后，就可以采用與平面問題相同的剛度集成法，進行整體剛度矩陣的組集。如果將結(jié)構(gòu)劃分成個單元和n個結(jié)點，就可得到個類似（5-19）式的方程組。把各單元的等都擴大成整個結(jié)構(gòu)的自由度的維數(shù)，然后疊加得到：這就是求解結(jié)點位移的方程組，寫成標準形式（4-25）返回軸對稱問題整體剛度矩陣整體結(jié)點載荷列陣與平面問題一樣，軸對稱問題的整體剛度矩陣[K]也是對稱的帶狀稀疏矩陣，在消除剛體位移后，它是正定的。整體剛度矩陣[K]也可以寫成分塊形式(4-26)(4-27)返回軸對稱問題（4-28）其中子矩陣（4-29）返回第三節(jié)等效結(jié)點載荷計算軸對稱問題與平面問題類似，當(dāng)結(jié)構(gòu)外載荷不作用在結(jié)點上時，也需要將這些作用在環(huán)形單元上的集中力、表面力和體積力分別等效移置到結(jié)點上。移置的原則也是要求這些外力和等效結(jié)點載荷在任意虛位移上所作的虛功相等，即式中，為集中載荷作用點的徑向坐標值。將式（4-15）代入上式可得（4-30）（4-31）返回軸對稱問題集中力的等效結(jié)點載荷表面力的等效結(jié)點載荷體積力的等效結(jié)點載荷對各單元等效結(jié)點載荷進行組集，得到等效載荷列陣（4-32）返回下面具體計算幾種常見集中力、表面力和體積力的等效結(jié)點載荷：軸對稱問題返回1)

自重如果軸對稱問題的體力為單元自重，則其體力分量，，其中為重度。單元自重移置到i,j,m結(jié)點上的等效結(jié)點載荷為:軸對稱問題其中返回整理后得：同理可求得、，故可計算出。P54（4-23）軸對稱問題2)

離心力如果結(jié)構(gòu)體繞對稱軸旋轉(zhuǎn)的角速度為ω，則，則等效結(jié)點載荷為：利用積分公式(4-36)返回所以用同樣的方法可求出、，從而得到。P55（4-26）圖5-3表面力等效節(jié)點載荷zr0qrqimjil軸對稱問題3表面力設(shè)軸對稱問題三角形環(huán)狀單元的ij邊上作用有線性分布的r向面力如圖5-3所示。面力在結(jié)點i的集度為qi，在結(jié)點j的集度為qj集，邊長為l。返回軸對稱問題利用形函數(shù)進行插值可得邊任意點p的r向面力集度qr由于z向無面力，所以結(jié)點i的等效結(jié)點載荷（4-34）返回所以軸對稱問題返回同理，可求得結(jié)點j和m上的等效結(jié)點載荷P55（4-30）軸對稱問題