引言

牛頓——柯特斯公式龍貝格算法

第四章數(shù)值積分第一節(jié)引言對于積分但是在工程技術和科學研究中,常會見到以下現(xiàn)象:以上這些現(xiàn)象,Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計算方法這類方法很多,但為方便起見,最常用的一種方法是利用插值多項式來構造數(shù)值求積公式,具體步驟如下:不同的插值方法有不同的基函數(shù)這就是數(shù)值求積公式為了使一個求積公式能對更多的積分具有較好的實際計算意義,就要求它對盡可能多的被積函數(shù)都準確地成立因此定義代數(shù)精度的概念:定義1.

若求積公式則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度例1.試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高.解:因此所以該積分公式具有3次代數(shù)精確度Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數(shù)值求積公式:各節(jié)點為:第二節(jié)Newton-Cotes數(shù)值求積公式其中因此對于定積分:有而令n階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(誤差)即有注意是等距節(jié)點所以Newton-Cotes公式化為思考使用n次Lagrange插值多項式的Newton-Cotes公式至少具有n次代數(shù)精度,并且n為偶數(shù)時至少具有n+1次代數(shù)精度,試以n=1,2,4為例說明該結果一、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式1.梯形(trapezia)公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為梯形公式的余項為第二積分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代數(shù)精度故2.Simpson公式及其余項Cotes系數(shù)為求積公式為上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為Simpson公式的余項為Simpson公式具有3次代數(shù)精度3.Cotes公式及其余項Cotes系數(shù)為：求積公式為:上式稱為Cotes求積公式，也稱五點公式.記為Cotes公式的余項為:Cotes公式具有5次代數(shù)精度.4、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)考察Cotes系數(shù)因此用Newton-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由其值可以精確給定記而理論值為即Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的參見教材此時,公式的穩(wěn)定性將無法保證因此,在實際應用中一般不使用高階Newton-Cotes公式而是采用低階復合求積法(下節(jié))思考1.n=0時的Newton-Cotes公式稱為矩形公式，試求出該公式2.試編寫trapezia公式、Simpson公式、Cotes公式的模塊程序程序1：Tixing程序2：Simpson程序3：Cotes

二、復合求積法直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大公式的舍入誤差又很難得到控制,為提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復合方法.然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加1、復合求積公式各節(jié)點為記為由積分的區(qū)間可加性,可得復合求積公式復合梯形公式復合Simpson公式復合拋物線公式復合Cotes公式復合梯形公式分解復合Simpson公式分解例1.解:為簡單起見,依次使用8階復合梯形公式、4階復合Simpson公式和2階復合Cotes公式可得各節(jié)點的值如右表

010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098復合求積公式的程序newtoncotes.m函數(shù)程序func.m分別由復合Trapz、Simpson、Cotes公式有原積分的精確值為：精度最高精度次高精度最低比較三個公式的結果那么哪個復合求積公式的收斂最快呢？2、復合求積公式的余項和收斂的階我們知道,三個求積公式的余項分別為單純的求積公式復合求積公式的每個小區(qū)間則復合梯形公式的余項為由于即有又由比較三種復合公式的的余項為此介紹收斂階的概念定義1：不難知道,復合梯形、Simpson、Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階通常情況下,定積分的結果只要滿足所要求的精度即可三、復合求積公式步長的自動選取復合梯形公式的余項為因此有即依此類推步長自動選取的步驟:依此類推以上這種方法稱為自適應求積法有時也去掉精度會更高以復合Simpson求積公式的特點為例具有以下特點:舊節(jié)點新節(jié)點步長折半綜合前幾節(jié)的內(nèi)容,我們知道梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代數(shù)精度分別為1次,3次和5次復合梯形、復合Simpson、復合Cotes公式的收斂階分別為2階、4階和6階無論從代數(shù)精度還是收斂速度,復合梯形公式都是較差的有沒有辦法改善梯形公式呢?第三節(jié)Romberg算法1、復合梯形公式的遞推化各節(jié)點為復合梯形(Trapz)公式為--------(1)--------(2)--------(3)則由(1)(2)(3)式,有因此(1)(2)(3)式可化為如下遞推公式上式稱為遞推的梯形公式：遞推梯形公式加上一個控制精度,即可成為自動選取步長的復合梯形公式具體的方法請同學們完成思考--(4)2、外推加速公式由復合梯形公式的余項公式可得由(3)式復合Simpson公式--------(5)--------(6)因此由復合Simpson公式的余項可得即當然令自己證明--------(6)--------(7)--------(8)即當然同樣由復合Cotes公式的余項得令--------(9)外推加速公式以上