人教版數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)——三角形綜合解答訓(xùn)練（二）1．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜120°）得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)G，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF＝2CF．（1）當(dāng)∠EAB＝30°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；（2）當(dāng)線段BF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求線段AG的長(zhǎng)；（3）求△ADE的周長(zhǎng)的最大值．2．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，點(diǎn)D在AC上．（1）如圖1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求證：∠ECB＝∠A；（2）如圖2，設(shè)BC與DE交于點(diǎn)F．當(dāng)∠ABC＝∠DBE＝45°時(shí)，求證：CE∥AB；（3）在（2）的條件下，若tan∠DEC＝時(shí)，求的值．3．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AB+AC＞2AD．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線∴BD＝CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（依據(jù)一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依據(jù)二）∴AB+AC＞2AD．任務(wù)一：上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．歸納總結(jié)：上述方法是通過(guò)延長(zhǎng)中線AD，使DE＝AD，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，AD是BC邊上的中線，AB＝3，AC＝4，則AD的取值范圍是；任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以AB和AC為邊作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．連接EF．試探究EF與AD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）若DG＝2，求AC的長(zhǎng)；（3）求證：AB＝AE+AF．5．（1）①如圖1，△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，點(diǎn)E在線段AB上，∠ACB＝∠ECF＝90°．求證：△ACF≌△BCE；②如圖2，當(dāng)AE＝，BE＝3AE時(shí)，求線段CG的長(zhǎng)；（2）如圖3，∠BDC＝∠CAD＝30°，∠BCD＝90°，AB＝2，AD＝4，求AC的長(zhǎng)．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交AC或BC于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q與點(diǎn)A、B、C不重合），以PQ為斜邊作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且點(diǎn)R與點(diǎn)C始終在直線PQ的同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）AC的長(zhǎng)是．（2）用含t的代數(shù)式表示線段PR的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)R落在∠ABC的平分線上時(shí)，求t的值．（4）M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)R關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，當(dāng)直線MN與△ABC的邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)t的值．7．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，D，E兩點(diǎn)在△ABC邊上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，D在邊BC上，E在邊AC上，BD＝CE＝2，求△ADE的面積．（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，D在邊BC上，E在AC延長(zhǎng)線上，BD＝CE，連接AD、BE，取BE中點(diǎn)F，連接CF，H為CF上一點(diǎn)，G為AD上一點(diǎn)，連接BG、HG，且滿(mǎn)足CH＝AG，求證：∠BGH＝60°．（3）如圖3，當(dāng)∠A＝90°時(shí)，D在邊AC上，E在邊AB上，連接DE，求CD+DE的最小值．8．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，CE＝3，連接AE．（1）求證：△ABE是直角三角形；（2）求△ACE的面積．9．如圖，在△ABC中．（1）如圖①，分別以AB、AC為邊作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD；①猜想BE與CD的數(shù)量關(guān)系是；②若點(diǎn)M，N分別是BE和CD的中點(diǎn)，求∠AMN的度數(shù)；（2）如圖②，若分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，DC、BE交于點(diǎn)P，連接AP，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與α的數(shù)量關(guān)系10．如圖所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CD的垂線，垂足為E，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交CE于點(diǎn)F．（1）如圖1，求∠AEC的度數(shù)；（2）如圖2，連接BF，且∠ABF﹣∠EAB＝15°，求證：BF＝2CF；（3）如圖3，在（2）的條件下，G為DF上一點(diǎn)，連接AG，若∠AGD＝∠EBF，AG＝2，求CF的長(zhǎng)．11．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖1，M是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），分別以AM和BM為斜邊在AB同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，連接CD．取AB中點(diǎn)E，CD中點(diǎn)F，連接EF．猜想驗(yàn)證：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，試判斷EF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；延伸探究：（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E不重合時(shí)，問(wèn)題（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若AB＝2cm，線段EF是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，過(guò)點(diǎn)A作直線MN，使MN∥BC，點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），作射線BD，將射線BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后交直線AC于點(diǎn)E．（1）如圖1，點(diǎn)D在射線AN上，α＝60°，求證：AB+AD＝AE；（2）如圖2，點(diǎn)D在射線AN上，α＝45°，線段AB，AD，AE之間又有何數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的結(jié)論，并證明．（3）若α＝30°，∠ABE＝15°，BC＝4，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD的長(zhǎng)13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是射線CA，射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD＝CE．連接DE，過(guò)點(diǎn)C作DE的垂線，垂足為F，CF交射線AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為線段AC，BC中點(diǎn)時(shí)，求證：DE＝CG；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在線段AC與BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段AG與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知AC＝2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在線段CA與BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若DF＝4EF，直接寫(xiě)出此時(shí)線段CG的長(zhǎng)．14．如圖，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝20，cos∠ABC＝，動(dòng)點(diǎn)F在線段CD上，連接AF交線段BC于點(diǎn)P，在線段CD上取一點(diǎn)Q，使DQ＝BP，連接BQ，使直線BQ交直線AF于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)B到CD的距離；（2）求線段BP的最小值；（3）是否存在點(diǎn)P，使△BPE為直角三角形？若存在，求出BP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（1）如圖①，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，E在一條直線上，連接BD和AE，直線BD，AE相交于點(diǎn)P．則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系為