第四章四

邊

形

綜

合

復

習一、知要點回顧：知識歸納：在線段、角、等腰三角形、等邊三角形平行四邊形、矩形菱形正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圓、正五邊形、正六邊形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是。3.行四邊形的性質(zhì)與邊有關(guān)的_________________________與角有關(guān)_____，對角線________________________。4.形(1)矩形具有平形四邊形的所有性質(zhì)還具有自己的性質(zhì):①矩形的每個角都是;矩形的對角線且.5.形菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)還具有自己的性質(zhì)菱形的四條邊都;菱形的對角線6.方形正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)注意：對角與特殊四邊的關(guān)系對角線互相分四邊形是平行四邊形對角線相等平行四邊是矩形對角線互相直的平行邊形是形對角線互相直且相等平行四邊是正方形12cm12cmABCDAEBCDFABDGGDDGCBDGDHDG四、例解析例1：如圖，ABCD的紙片中，⊥，AC與BD于，將△沿對角線AC翻折得C.求證：以、C、D'為頂點的四邊形是矩形；若，求翻折后紙片重疊部分的面積，.YABCDACE意圖：1平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定定理的綜合應用；2實現(xiàn)一題多解，有選擇的運用矩形的判定定理，評析證明方法的優(yōu)劣。3等積變換，以及對三角形底的選擇直接影響到求面積的難易程度。例2：我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形.解答下列問題：寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；探究：當?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.意圖：如何實現(xiàn)構(gòu)造兩條線段之和及將夾角進行有效轉(zhuǎn)移例3如圖已知中，平分交于，于交于，且。試說明；試問與之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并說明理由。解法1圖1）延長到，使得，連結(jié)，實現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為線段HG

；解法2圖2）延長到，使得，連結(jié)，實現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為線段CFHCFHDG，，，，，BHABHa即AHFDAGDABDFG

；解法3圖3）延長到，使得，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，實現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為線段；圖1圖2圖3解法4圖4）如圖建立平面直角坐標系，設

CF

，則

(0,)B((aCb,0)(,a)AB

2

2

，

可證得，則

，可求得

l

DF

:xl

AH

:y

a

2

a

2

y

b2a

ba2

則

G(

解法5見圖5：如圖建立直角坐標系，解法同解法4圖4圖5將此題還原對比：在中，平分交于點，證明：

還原圖例題圖意圖1解法1、3均強調(diào)如何構(gòu)造兩條段的和，運用了平移、旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造；2解法4、5強調(diào)將幾何問題代數(shù)化，初步滲透高中解析幾何的思想。體會1建立平面直角坐標系的可能。即存在直角?；蛴刑厥獾幕緢D形存在，如等腰直角三角形、正方形；（2坐標原點和軸的選擇直接影響到寫出點的坐標的難易程度。3關(guān)注題目中的重要條件，抓注基本特征，將圖形有效還原。例4如圖①，小明在研究正方BCD有關(guān)問題時，得出：正方A中如果是的中點點F是邊上的一點且∠＝∠EAD，BEFG，，，ABCBEFG，，，ABCBEFDFPGGDCHBFBEFGAEBACBEDABACy那么⊥.將正方形改為矩形、菱形和任意平行四邊(圖②、圖③、圖④)，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)仍然有⊥”的結(jié)論同意小明的觀點嗎？若同意，請結(jié)合圖④加以證明；若不同意，請說明理由.例5請閱讀下列材料：問題：如1，菱形和菱形中，點

在同一條直線上，

是線段的中點，連結(jié)．若

o，探究與的位置關(guān)系及的值．小聰同學的思路是：延長交于點，構(gòu)造全等三角PC形，經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1寫出上面問題中線段PGPC的位置關(guān)系及的值；PC（2將圖1中的菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使菱的對角線恰好與菱形ABCD邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．對于例4例5意圖：1培養(yǎng)良好的審題習慣；注意中點的作用；注意在動中求靜；性質(zhì)的熟練應用例6已知：中，是邊的中點，平分，于點。若，。求

ED2點為函數(shù)

1x

的圖象上的點，、C坐標分別為

B(2)

，1yBAC1yFAABCACFDEDEAFDEAFABC1yBAC1yFAABCACFDEDEAFDEAFABCDEAFBE、EFBFBE(2)

。試用性質(zhì)：函數(shù)的圖象上任一點都滿足xABAC22

，求解下面問題：做的平分線

AE，B作AE垂線交，已知點A

E在函數(shù)的圖象上運動時，點F總在x一條曲線上運動，則此曲線為（）A直線B、拋物線C、圓D、反比例函數(shù)曲線

B

C意圖：比較兩題，2題題從字數(shù)上就多很多，但若認真審題會發(fā)現(xiàn)題干中有相同的條件，蘊涵著相同的基本圖形。例7已知：分別以的各邊為邊，邊的同側(cè)作等邊三角形、等邊三角CBD和等邊三角形，連結(jié)。試說明四邊形為平行四邊形；當滿足什么條件時，四邊形為菱形、矩形、正方形；（3四邊形一定存在嗎？試說明理由。意圖：1關(guān)注旋轉(zhuǎn)全等形；檢驗平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定定理的熟練程度；逆向鞏固練習：

E

Ex1：在正方中為AD中點，D上，且

1DF4

，

F連接

，試問與的位置關(guān)系如何？并說明理由。（此題至少3種做法，其中倍長和建系做法尤佳）

CEx2:方形ABCD長為8,MDC上,且DM=2,NAC上的一動點,則DM+MN最小值為(意正方形的對稱性)

MEx3:們知道兩條邊相等的三角形叫似地，我們定義：至少有一組對邊相等

做等腰三角形.類的四邊形叫做等

對邊四邊形.A、ACBA、ACBABC（3若過分別作EX5：中，，請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；如圖在△ABC中點D分別在AB、AC設CD交于點若

A60

，∠DCB=

，請你寫出圖中一個與∠A

相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；（3在△ABC中，如果∠是不等于60°的銳角，點D、E分別在AB、AC上，且∠DCB=

.究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.(針對例4例5)EX4:圖，，過點作ADAED為垂足。求證//BC;

外角分線的垂線（2

1;(BC)2A、ACB

的平分線的垂線ADAE垂足分別D、。結(jié)論有無變化？請加以說明。（針對例6ABCABACBC、、BFC求四邊形ADFE的面積。

都是等邊三角形。FE（針對例7

五、動問題1.如圖，△ABC中點O為AC邊的一個動點，過點直線MN∥BC，設MN交BCA的角平分CF于點F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于．試說明EO=FO；當點O運到何處時，四邊形AECF是矩并證明你的結(jié)論；若AC邊上在點O，使四邊形AECF是正方形，猜的形狀并證明你的結(jié)論．2.如圖，已知中AB厘，厘，點D為AB的點．（1如果點P在線段BC上以3厘/秒的速度B向點動，同時，點Q在段CA由點點運動．①若點Q運動速度與點P的運速度相等，經(jīng)過1秒后△BPD△CQP

是否全等，請說明理由；②若點Q的運速度與點P的運速度不相等點的動速度為多少時夠使

A△與△全？（2）若Q以中的運動速度從點C出以原來的運動速度從點同時出發(fā)，

D

Q都逆時針沿邊上相遇？

三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點第次在

的哪條

B

P

C3.如圖eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABCACB60BC是AC的中點過的直l從重合的位置開始繞O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交邊于點．過交直lE，設直l的旋轉(zhuǎn)角．

EO

l

C①，四邊形EDBC是等腰梯形，此時的長為；②，四邊形EDBC是直角梯形，此時的長為；，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．參考答案1.分析：根據(jù)平∠ACB，MN∥BC找到相等的角，即OEC=∠ECB再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF可得EO=FO利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．

AA

DCO（備用

BB（3利用已知條件及正方形的質(zhì)解答．解答：解）∵CE平分，∴，∵MN，∴∠ECB，

同理，∠ACF=∠ACG∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+）=∴∠OEC=∠OCE，×180°=90°∴OE=OC，∴邊形AECF是矩形．同理，OC=OF，∴OE=OF．（3△ABC是直角三角形∵四邊形AECF是正方形，（2運到AC中處時形AECF∴AC⊥EN，故AOM=90°，是矩形．如圖AO=CO，EO=FO，∵MN∥BC，∴四邊形AECF為行四邊形，∴∠BCA=∠AOM∵CE平∠ACB，∴∠BCA=90°∴△ABC是直角三角形．∴∠ACE=∠ACB，點評：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對等邊”證明出結(jié)論1利結(jié)論（）和矩的判定證明結(jié)論2對）行判斷．解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運用．2.解）∵t，∴CQ

厘米，∵厘，點為的點，∴BD厘．又∵

BC厘，∴PC厘，∴PCBD．又∵，

，∴BPD≌△

．1AC1AC②∵P

，∴BP

，又∵△△，

，則，BD

，∴點P

，點

運動的時間

433

CQ秒，∴t

厘米/秒．（2）設經(jīng)過

秒后點P

與點Q

15第一次相遇，由題意，得xx4

，解得

x

秒．∴點P

80共