概念一元二次方程根的判別式一元二次方程的解解法一元二次方程

知識網絡學習目標

1、了解一元二次方程的有關概念掌握其知識的應用。

2、會根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況。

3、能靈活運用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

4、經歷運用知識、技能解決問題的過程，發(fā)展學生的獨立思考能力和創(chuàng)新精神。培養(yǎng)學生對數學的好奇心與求知欲，養(yǎng)成質疑和獨立思考的學習習慣。知識回顧一元二次方程的概念只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程稱為一元二次方程.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c為常數，a≠0）常數項二次項一次項a為二次項系數b為一次項系數二次項系數a為什么不等于0呢？判別一個方程是一元二次方程的重要條件！解法一元二次方程的解法直接開平方法配方法公式法因式分解法最常用的方法是因式分解法；最通用的方法是公式法；最具有局限性的方法是直接開平方法；最繁瑣的方法是配方法.比較(X+h)2=k(k≥0)配一次項系數一半的平方(mx+n)(px+q)=0一元二次方程根的判別式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

根的判別式：方程有

實數根;△>0方程有

實數根;

△=0方程

?！?lt;0兩個不相等的兩個相等的沒有實數根△=b2-4ac典型問題類型一：概念類問題分析：根據概念中的三個要素可知方程（2）不是整式方程，方程（3）中含x3項，方程（4）含有x、y兩個未知數。下列關于x的方程：其中是一元二次方程的有（）A.4個B.3個C.2個D.1個例1D點評：解答此類問題的關鍵是把握一元二次方程的三個要素，即一是整式方程；二是方程中只含有一個未知數；三是合并后含有未知數的項的最高次冪是二次。關于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，則m=

.分析：解決此類問題的關鍵是抓住未知數項的最高次冪是2次，同時注意二次項系數不為0的限制。解：由題意得：

|m|-1=2且m+3≠0解得m=33例2典型問題類型一：概念類問題變試題:關于x的方程（a-2)x|a|-x+2=0是一元二次方程，則a=

.-2（1）(x+3)2=25（2）X2-2x-5=0（3）x(x-3)-4(3-x)=0（4）3X2-5x+1=0用適當的方法解下列方程.例3典型問題類型二：解法類問題（1）(x+3)2=25(直接開平方法)

例3典型問題

解：方程兩邊直接開平方，得

x+3=±5

x=-3±5

歸納：1.用直接開平方法的條件是:缺少一次項的一元二次方程，用直接開平方法比較方便;2.當方程經過簡單的變形后化為ax2+c=o或者(X+h)2=k(k≥0)時,一般使用直接開平方法.

（2）X2-2x-5=0（配方法）典型問題解：移項X2-2x=5配常數

X2-2x+1=5+1(x-1)2=6

歸納：1.用配方法的條件是:適用于任何一個一元二次方程，但是在沒有特別要求的情況下，除了二次項系數為1，一次項系數是偶數用配方法外，一般不用;

2.配方的關鍵：

系數化為1，移項后，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方?！镆怀?、二移、三配、四開、五解.例3（3）

x(x-3)-4(3-x)=0（因式分解法）

解：x(x-3)+4(x-3)=0(x-3)(x+4)=0x-3=0或x+4=0∴x1=3,X2=-4歸納：

1.用因式分解法的條件是:方程左邊能夠分解為兩個因式的積,而右邊等于0的方程;

步驟：一移-----方程的右邊=0；二分-----方程的左邊因式分解；三化-----方程化為兩個一元一次方程；四解-----寫出方程兩個解。例3典型問題（4）

3X2-5x+1=0（公式法）例3典型問題解：2.公式法解一元二次方程一般步驟：(1)移——變成一般形式；(2)算——計算Δ的值；(3)代——代入求根公式。歸納：1.用公式法的條件是:適應于任何一個一元二次方程，先將方程化為一般形式，再求出b2-4ac的值，b2-4ac≥0則方程有實數根，b2-4ac<0則方程無實數根;3.一元二次方程求根公式：∵∵典型問題類型三：解法類問題（判別式）分析：應用判別式可不解方程直接判斷方程根的情況.解：由方程知：a=3,b=2,c=-9b2-4ac=22-4×3×（-9）=112＞0∴原方程有兩個不相等的實數根.點評：一元二次方程根的判別式是一元二次方程根的晴雨表。不解方程，判別方程3x2+2x-9=0根的情況.例4分析：一元二次方程ax2+bx+c=0無實數根b2-4ac<0解：根據題意，得

b2-4ac=（-4）2-4×2m<016-8m<0

解得m>2∴m的取值范圍是m>2.關于x的一元二次方程x2-4x+2m=0無實數根，求m的取值范圍.例5典型問題類型三：解法類問題（判別式）反饋練習1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）4.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）5.方程x2+x-1=0的根是（）6.三角形兩邊長分別為3和6，第三邊是方程x2-6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）4.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）5.方程x2+x-1=0的根是（）4.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）4.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）5.方程x2+x-1=0的根是（）4.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）6.三角形兩邊長分別為3和6，第三邊是方程x2-6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（）5.方程x2+x-1=0的根是（）4.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3.方程(2x-1)2-9=0的根是（）我選擇我喜歡反饋練習反饋練習點撥：根據方程的解是使方程兩邊相等的未知數的值，所以把X=-1代入原方程可求K值；再把K值代入原方程則可求求方程的另一個根。1.已知方程x2+kx=-3

的一個根是-1，則k=______,另一根為________。

4X=-3解：把X=-1代入原方程得（-1）2+K×（-1）=-3

解得K=4把K=4代入原方程得x2+4x=-3解得X=-1或X=-3反饋練習點撥：一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，則b2-4ac=0∴(2m+1)2-4×1×(m2-4)=0

∴4m2+4m+1-4m2+16=0

4m=-17

2.m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數解()3、方程(2x-1)2-9=0的根是（

）A．5，-5B．2，-2C．8，2D．-1，2反饋練習點撥：當方程形如(X+h)2=k(k≥0)時,一般使用直接開平方法.

解：D4、用配方法解方程x2-4x-5=0時，原方程應變形為（）A．(x+1)2=6B．(x+2)2=9D．(x-1)2=6C．(x-2)2=9反饋練習點撥：用配方法解一元二次方程，有系數的先把系數化為1，再移項，在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，配成完全平方形式。C5、方程x2+x-1=0的根是（）A．B．C．D．反饋練習點撥：用公式法解一元二次方程一般步驟：(1)移——變成一般形式；(2)算——計算Δ的值；(3)代——代入求根公式。解：D∵a=1,b=1,c=-16、三角形兩邊長分別為3和6，第三邊是方程x2-6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（）A．11B．13C．11或13D．不能確定反饋練習B點撥：先用因式分解法求出方程的兩個根，再根據三角形三邊的關系確定三角形的長，計算出三角形的周長。