拋物線的幾何性質(zhì)

我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)

來(lái)研究它的一些幾何性質(zhì).1．范圍：

因?yàn)閜>0，由方程可知，這條拋物線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸，它的開(kāi)口向右。2．對(duì)稱性：

以－y代替y，方程不變，因此這條拋物線是以x軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形，拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。3．頂點(diǎn)：

拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，在方程中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，因此這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)就是坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0).

4．離心率：

拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示，按照拋物線的定義，e=1.例1．已知拋物線以x軸為軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且開(kāi)口向右，又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：根據(jù)已知條件，設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0).

因此所求的拋物線的方程是y2=3x.

因?yàn)辄c(diǎn)M(4，2)在拋物線上，所以(2)2=2p·4，即2p=3，例2．汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)(即截得拋物線的頂點(diǎn))距離是多少？解：取反射鏡的軸即拋物線的軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy，

因?yàn)闊艨谥睆絴AB|=24，燈深|OP|=10，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10，12)，設(shè)拋物線的方程是y2=2px(p>0).

因?yàn)辄c(diǎn)A(10，12)在拋物線上，得122=2p×10，所以p=7.2，

拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3.6，0)，因此燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)的距離是3.6cm.

在平面直角坐標(biāo)系上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)、軸與坐標(biāo)軸重合的拋物線有四種位置情況，因此拋物線的方程相應(yīng)的有四種形式，它們都叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它們的推導(dǎo)過(guò)程類同。

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p(p>0)，上述拋物線的方程的四種形式列表如下：

例4．正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px(p>0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)。

解：設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)在拋物線上，且坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，

則y12=2px1，y22=2px2，

又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22，即(x1+x2)(x1－x2)=y22－y12=2p(x2－x1)，所以(x1－x2)(x1+x2+2p)=0，由于x1+x2+2p>0，所以x1=x2，由此可知，|y1|=|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱所以x軸垂直于AB，∠AOx=30°，所以因?yàn)閤1=所以y1=2p，|AB|=2y1=4p，所以這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為課堂練習(xí)1．拋物線y=－x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）

（A）(0，)（B）(0，－)

（C）(，0)（D）(－

，0)B2．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－3)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）

（A）x2=－12y

（B）x2=12y

（C）y2=－12x

（D）y2=12xA3．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=－7，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）

（A）x2=－28y

（B）y2=28x

（C）y2=－28x

（D）x2=28yB4．焦點(diǎn)在直線3x－4y－12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）

（A）x2=16y或y2=12x

（B）y2=16x或x2=12y

（C）y2=16x或x2=－12y

（D）x2=16y或y2=－12xC5．拋物線y=ax2（a<0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）B6．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其上有一點(diǎn)A(4，m)，其到準(zhǔn)線的距離為6，則m=

.±47．已知x2+y2－6x－7=0與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線相切，則p=

.2例．過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A,B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線l相切．設(shè)