固體物理第四章能帶論第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日本章的內(nèi)容及要求：（1）熟練掌握自由電子模型和緊束縛近似的方法；（2）基本掌握布洛赫定理，周期性邊界條件；（3）基本掌握一、二、三維的態(tài)密度、能態(tài)密度，費米面的計算；（4）了解一維周期場中電子運動的近自由電子近似方法、能隙的計算；（5）了解束縛近似——原子軌道線性組合法的近似方法、能帶的計算。第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日3、能帶論提供了分析半導體理論問題的基礎，推動了半導體技術(shù)的發(fā)展1、能帶理論的研究是從金屬理論發(fā)展來的，把電子氣當作自由氣體，它能解決歐姆定律問題。2、第一次說明了固體為什么有導體、半導體和絕緣體之分能帶論——用單電子近似來研究晶體中電子能量狀態(tài)的理論，它是研究電子運動的主要理論基礎第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日能帶論只是一個近似理論，它的假設前提是：1、絕熱近似

把離子實與價電子分開討論，離子實的運動相對于電子運動可以忽略或固定不動，離子實給電子提供一個固定的周期性勢場。2、單電子近似

假定每個電子運動都是獨立的，把多電子問題看成單電子問題。第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日共有化電子的運動狀態(tài)

——假定離子實處在其平衡位置，把每個電子的運動看成是獨立的在一個等效勢場中的運動，把離子實偏離平衡位置的影響看成微擾。理想晶體——晶格具有周期性，等效勢場V(r)具有周期性能帶論的出發(fā)點是固體中的電子不再束縛于個別原子，而是在整個固體內(nèi)運動（越過勢壘，任意運動）。

___共有化運動第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日能帶論的核心問題是求解一個在周期勢場中的單電子問題，基本方程：波動方程晶格周期性勢場第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日§4.1布洛赫定理和布洛赫波——方程的解具有以下性質(zhì)——布洛赫定理為一矢量—當平移晶格矢量波函數(shù)只增加了位相因子布洛赫定理——勢場具有晶格周期性時，電子的波函數(shù)滿足薛定諤方程第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日當波函數(shù)具有如下形式：——晶格周期性函數(shù)——布洛赫函數(shù)滿足布洛赫定理：第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日近（準）自由電子模型

若電子的能量超過勢壘，則電子可以相當自由的在整個固體內(nèi)運動，近似于自由電子的運動，該模型稱為準自由電子近似。

我們采用量子力學的微擾理論，即以自由電子的波函數(shù)作為零級近似的波函數(shù)，而把周期場作為微擾?！?.2一維周期場中電子運動的近自由電子近似

第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日1.

模型和微擾計算

近自由電子近似模型—

金屬中電子受到原子實周期性勢場的作用—假定勢場的起伏較小零級近似：周期性勢場的起伏量作為微擾來處理第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日1）零級近似下電子的能量和波函數(shù)

——空格子中電子的能量和波函數(shù)一維N個原子組成的金屬，金屬的線度零級近似下薛定諤方程波函數(shù)和能量本征值第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日波函數(shù)滿足正交歸一化——l為整數(shù)2）微擾下電子的能量本征值

哈密頓量滿足周期邊界條件第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日根據(jù)微擾理論，電子的能量本征值一級能量修正第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日二級能量修正——按原胞劃分寫成——引入積分變量——第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日利用勢場函數(shù)的周期性i)

ii)

第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日將和代入——周期場V(x)的第n個傅里葉系數(shù)第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日二級能量修正式第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日計入微擾后電子的能量

第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日3）微擾下電子的波函數(shù)

電子的波函數(shù)波函數(shù)的一級修正第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日計入微擾電子的波函數(shù)第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日令可以證明電子波函數(shù)——具有布洛赫函數(shù)形式第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日

電子波函數(shù)的意義

電子波函數(shù)和散射波—波矢為k的前進的平面波—平面波受到周期性勢場作用產(chǎn)生的散射波散射波的波矢相關(guān)散射波成份的振幅第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日當相鄰原子的散射波有相同的位相,即分母為0時：散射波散射波成份的振幅第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日波函數(shù)一級修正項——微擾法不再適用了第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

電子能量的意義二級能量修正當——電子的能量是發(fā)散的—k和k’兩個狀態(tài)具有相同的能量，k和k’態(tài)是簡并的第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日4）電子波矢在附近的能量和波函數(shù)

簡并微擾問題中，波函數(shù)由簡并波函數(shù)線性組合構(gòu)成狀態(tài)——是一個小量周期性勢場中，對其有主要影響的狀態(tài)——只考慮影響最大的狀態(tài)，忽略其它狀態(tài)的影響第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日狀態(tài)對狀態(tài)的影響第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日簡并波函數(shù)薛定諤方程考慮到得到第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日分別以或從左邊乘方程，對x積分利用線性代數(shù)方程a,b有非零解波函數(shù)滿足正交歸一化第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日i)波矢k離較遠，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k’差別較大將按泰勒級數(shù)展開能量本征值第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日——k和k’能級相互作用的結(jié)果是原來能級較高的k’提高原來能級較低的k下降了——量子力學中微擾作用下，兩個相互影響的能級，總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了——能級間“排斥作用”

第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日ii)波矢k非常接近

，k狀態(tài)的能量和k’能量差別很小將按泰勒級數(shù)展開第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日結(jié)果分析

i)兩個相互影響的狀態(tài)k和k’微擾后，能量變?yōu)镋+和E-，原來能量高的狀態(tài)，能量提高；原來能量低的狀態(tài)能量降低第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日兩個相互影響的狀態(tài)k和k’微擾后，能量變?yōu)镋+和E-第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日ii)當0時——>0,<0兩種情形下完全對稱的能級圖——A和C、B和D代表同一狀態(tài)，因為它們從>0,<0兩個方向當0的共同極限第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日2.能帶和帶隙（禁帶）

——零級近似下，將電子看作是自由粒子，能量本征值曲線為拋物線

——微擾情形下：電子的k不在n/a附近時，與k狀態(tài)相互作用的其它態(tài)的能量與k狀態(tài)的零級能量相差大即滿足——k狀態(tài)不計二級能量修正——拋物線第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日當電子的——微擾計算中，只考慮以上兩種狀態(tài)之間的相互作用存在一個的態(tài)，和狀態(tài)能量相同由于周期性勢場的微擾，能量本征值在處斷開能量的突變第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日能量本征值在斷開兩個態(tài)的能量間隔——禁帶寬度第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日電子波矢取值——對于一個l，有一個量子態(tài)k能量本征值——當N很大時，Ek視為準連續(xù)——由于晶格周期性勢場的影響，晶體中電子準連續(xù)的能級分裂為一系列的能帶能量本征值在處斷開第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日

結(jié)果分析討論

1)能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日2)禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日3)禁帶的寬度——取決于金屬中勢場的形式第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

能帶及一般性質(zhì)

自由電子的能譜是拋物線型——晶體弱周期性勢場的微擾，電子能譜在布里淵邊界產(chǎn)生了寬度的禁帶—發(fā)生能量躍變——在遠離布里淵區(qū)邊界，近自由電子的能譜和自由電子的能譜相近第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日——每個波矢k有一個量子態(tài)，當晶體中原胞的數(shù)目趨于無限大時，波矢k變得非常密集，這時能級的準連續(xù)分布形成了一系列的能帶——各能帶之間是禁帶,在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能級第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日能帶序號k的范圍布里淵區(qū)的長度布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)——一維布喇菲格子，能帶序號、能帶所涉及波矢k的范圍和布里淵區(qū)的對應關(guān)系第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日一維布喇菲格子，能帶序號、波矢k和布里淵區(qū)對應關(guān)系第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日——每個能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目各個能帶k的取值數(shù)目——原胞的數(shù)目——計入自旋，每個能帶中包含2N個量子態(tài)第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日

電子波矢和簡約波矢的關(guān)系

——第一布里淵區(qū)近自由電子中電子的波矢在一維情形中——m為整數(shù)簡約波矢的取值范圍簡約波矢，計為和電子波矢k之間的關(guān)系

——l為整數(shù)第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日

用簡約波矢來表示能級

——電子的能級——m為整數(shù)，對應于不同的能帶第五十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一能帶位于簡約布里淵區(qū)，其它能帶可以通過倒格矢移到簡約布里淵區(qū)——每一個能帶在簡約布里淵區(qū)都有各自的圖像，得到所有能帶在簡約布里淵區(qū)的圖像——簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū)，要標志一個狀態(tài)需要表明：1)

它屬于哪一個能帶（能帶標號）2)

它的簡約波矢是什么？第五十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日電子波矢k和簡約波矢的關(guān)系

第五十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日——周期性勢場的起伏只使得不同能帶相同簡約波矢的狀態(tài)之間的相互影響——對于一般的（遠離布里淵邊界）這些狀態(tài)間的能量相差較大，在近自由電子近似的微擾計算中，采用非簡并微擾第五十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日簡約波矢