《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案第一章1．寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)：（1）擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).‘出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)’；‘兩次點(diǎn)數(shù)之和為10’，‘第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)（2）將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù).數(shù)大2’；（3）一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號(hào)分別為1,2,3,4,5；從中同時(shí)取出3只球，觀察其結(jié)果，‘球的最小號(hào)碼為1’；（4）將球’；兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，‘甲盒中至少有一（5）記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，臺(tái)’?！ㄟ^汽車不足5臺(tái)’，‘通過的汽車不少于3解（1）其中‘出現(xiàn)點(diǎn)’，。（2）}；；。（3）（4），其中‘’表示空盒；。（5）。2．設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)事件，試用表示下列事件：（1）僅發(fā)生；（2）（3）（4）（5）中至少有兩個(gè)發(fā)生；中不多于兩個(gè)發(fā)生；中恰有兩個(gè)發(fā)生；中至多有一個(gè)發(fā)生。解（1）（2）或；（3）或；（4）（5）；或；3．一個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以表示第件產(chǎn)品是正品，試用表示下列事件：（1）沒有一件產(chǎn)品是次品；（2）至少有一件產(chǎn)品是次品；（3）恰有一件產(chǎn)品是次品；（4）至少有兩件產(chǎn)品不是次品。解（1）；（2）；（3）；（4）。4．在電話號(hào)碼中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。解設(shè)‘任取一電話號(hào)碼后四個(gè)數(shù)字全不相同’，則5．一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有兩只壞的的概率。解（1）設(shè)‘5只全是好的’，則；（2）設(shè)‘5只中有兩只壞的’，則.6．袋中有編號(hào)為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取3個(gè)球，求（1）3個(gè)球的最小號(hào)碼為5的概率；（2）3個(gè)球的最大號(hào)碼為5的概率.解（1）設(shè)‘最小號(hào)碼為5’，則；（2）設(shè)‘最大號(hào)碼為5’，則.7．（1）教室里有個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；（2）房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率.解（1）設(shè)‘他們的生日都不相同’，則；（2）設(shè)‘至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月’，則；或.8．設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星期中的某兩天，但不是都在同一天的概率.解設(shè)‘生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天’，則.9．將等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率是多少？‘恰好排成SCIENCE’解1設(shè)將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法：字母在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母在余下的5個(gè)位置中占兩個(gè)位置，共有種占法，字母剩下的3個(gè)位置上全排列的方法共3！種，故基本事件總數(shù)為，而中的基本事件只有一個(gè)，故；解2七個(gè)字母中有兩個(gè)，兩個(gè)，把七個(gè)字母排成一排，稱為不盡相異元素的全排列。一般地，設(shè)有個(gè)…，第種元素有，將這個(gè)元素排成一排稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為個(gè)元素，其中第一種元素有個(gè)，第二種元素有個(gè)，對(duì)于本題有.10．從等個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：‘三個(gè)數(shù)字中不含0和5’，‘三個(gè)數(shù)字中不含0或5’，‘三個(gè)數(shù)字中含0但不含5’.解.，或，.11．將雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成堆，每堆兩只，求事件‘每堆各成一雙’的概率.‘每堆各成一雙’共有解雙鞋子隨機(jī)地分成堆屬分組問題，不同的分法共種情況，故12．設(shè)事件與互不相容，，求與解因?yàn)椴幌嗳?，所以，于?3．若且，求.解由得14．設(shè)事件及的概率分別為，求及解.15．設(shè)，且僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.5，求都發(fā)生的概率。解1由題意有，所以.解2僅發(fā)生一個(gè)可表示為，故所以.16．設(shè)，求解與.，所以，故；.所以17．設(shè)，試證明，所以[證]因?yàn)楣?證畢.18．對(duì)任意三事件[證]，試證..證畢.19．設(shè)是三個(gè)事件，且，解，求至少有一個(gè)發(fā)生的概率。因?yàn)?，所以，于?0．隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率.解：半圓域如圖設(shè)‘原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于’由幾何概率的定義21．把長(zhǎng)為的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.解1設(shè)‘三段可構(gòu)成三角形’，又三段的長(zhǎng)分別為，不等式構(gòu)成平面域.，則發(fā)生不等式確定的子域，所以解2設(shè)三段長(zhǎng)分別為，則且，不等式確定了三維空間上的有界平面域.發(fā)生不等式確定的子域，所以.22．隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率.解，不等式確定平面域.‘’則發(fā)生的充要條件為不等式確定了的子域，故23．（蒲豐投針問題）在平面上畫出等距離的針，求針與任一平行線相交的概率.的一些平行線，向平面