第八章平面向量第八章平面向量1.平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念

(1)了解向量的實(shí)際背景.(2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運(yùn)算

(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.選擇題：2015·課標(biāo)Ⅰ，7填空題：2015·課標(biāo)Ⅱ，131.平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理1.平面向量的實(shí)際背景2.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

(1)了解平面向量的基本定理及其意義.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.選擇題：2017·課標(biāo)Ⅱ，12選擇題：2016·課標(biāo)Ⅱ，3選擇題：2016·課標(biāo)Ⅲ，3填空題：2017·課標(biāo)Ⅰ，13填空題：2016·課標(biāo)Ⅰ，132.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算3.平面向量的綜合應(yīng)用4.平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用(1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.(2)會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.選擇題：2017·課標(biāo)Ⅲ，123.平面向量的綜合應(yīng)用4.平面向量的數(shù)量積選擇題：2017·22平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理22平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理1．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量①___的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)和1．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的②___a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的③___的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(1)結(jié)合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ

a；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb差積減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的a－b＝a＋關(guān)于向量的模的兩個(gè)關(guān)系式：對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)|a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．當(dāng)a，b不共線時(shí)：①的幾何意義是三角形中任意一邊的長(zhǎng)小于其他兩邊長(zhǎng)的和且大于其他兩邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值；②的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長(zhǎng)與兩對(duì)角線的長(zhǎng)之間的關(guān)系．關(guān)于向量的模的兩個(gè)關(guān)系式：對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)2．向量中的有關(guān)定理(1)向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(i)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b＝④____，則向量b與a共線．(ii)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝⑤

___．λaλa2．向量中的有關(guān)定理λaλa(2)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝⑥___________，其中e1，e2是一組基底．λ1e1＋λ2e2(2)平面向量基本定理λ1e1＋λ2e2(1)零向量不能作為基底向量，基底不是唯一的，只要是同一個(gè)平面內(nèi)不共線的向量均可作為一組基底．(1)零向量不能作為基底向量，基底不是唯一的，只要是同一個(gè)平3．平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示運(yùn)算坐標(biāo)表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝⑦_(dá)______________，a－b＝⑧_______________數(shù)乘已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實(shí)數(shù)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝⑨_______________(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(x2－x1，y2－y1)3．平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)表示和(差)已知a＝(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?⑩__________＝0.x1y2－x2y1(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示x1y2－x2y1考向1平面向量的線性運(yùn)算

平面向量的線性運(yùn)算是高考對(duì)平面向量考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用，通常有兩個(gè)考查角度：(1)向量的線性表示；(2)加(減)法運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用．考題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目，所占分值為5分．考向1平面向量的線性運(yùn)算【解析】如圖，在△ABC中，【解析】如圖，在△ABC中，

平面向量線性運(yùn)算的解題策略(1)用已知向量表示某個(gè)向量問題的基本解題思路①觀察各個(gè)向量的位置，特別注意平行關(guān)系；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③利用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果． 平面向量線性運(yùn)算的解題策略(2)構(gòu)造三角形或平行四邊形分析向量的模之間的關(guān)系根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何意義，涉及比較分析向量的模之間的大小關(guān)系等問題，均可構(gòu)造三角形或平行四邊形，通過三角形中的邊角關(guān)系來確定向量的模之間的關(guān)系．(2)構(gòu)造三角形或平行四邊形分析向量的模之間的關(guān)系變式訓(xùn)練C變式訓(xùn)練C【解析】如圖，在平行四邊形ABCD中，【解析】如圖，在平行四邊形ABCD中，考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件考向2共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用

高考對(duì)共線向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下幾個(gè)方面：(1)利用共線向量定理求參數(shù)的值；(2)利用平面向量基本定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算對(duì)向量進(jìn)行分解；(3)在坐標(biāo)表示的前提下由向量共線求參數(shù)值或?qū)ο蛄窟M(jìn)行分解．一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，分值為5分．例2(1)(2015·課標(biāo)Ⅱ，13)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________．考向2共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用【解析】

(1)因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以存在實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0.【解析】(1)因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件1．求解向量共線問題的注意事項(xiàng)(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1．求解向量共線問題的注意事項(xiàng)2．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時(shí)，合理地選擇基底會(huì)給解題帶來方便．(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．2．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題變式訓(xùn)練

C變式訓(xùn)練C考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件AA考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件考向3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

高考對(duì)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的考查主要有以下兩個(gè)方面：(1)用坐標(biāo)進(jìn)行線性運(yùn)算；(2)用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件．多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度一般，為中低檔題目，分值為5分．例3(1)(2015·四川文，2)設(shè)向量a＝(2，4)與向量b＝(x，6)共線，則實(shí)數(shù)x＝ (

)A．2 B．3C．4 D．6考向3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件【解析】

(1)∵a與b共線，∴a∥b，∴2×6＝4x，∴x＝3.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA方向?yàn)閤軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，【解析】(1)∵a與b共線，∴a∥b，∴2×6＝4x，∴x【答案】

(1)B

(2)3【答案】(1)B(2)3

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用．(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)． 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法技巧變式訓(xùn)練

A．2 B．4C．6 D．8A變式訓(xùn)練A【解析】因?yàn)閍∥b，所以sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ.【解析】因?yàn)閍∥b，所以sin2θ＝cos2θ，第八章平面向量第八章平面向量1.平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念

(1)了解向量的實(shí)際背景.(2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運(yùn)算

(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.選擇題：2015·課標(biāo)Ⅰ，7填空題：2015·課標(biāo)Ⅱ，131.平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理1.平面向量的實(shí)際背景2.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

(1)了解平面向量的基本定理及其意義.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.選擇題：2017·課標(biāo)Ⅱ，12選擇題：2016·課標(biāo)Ⅱ，3選擇題：2016·課標(biāo)Ⅲ，3填空題：2017·課標(biāo)Ⅰ，13填空題：2016·課標(biāo)Ⅰ，132.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算3.平面向量的綜合應(yīng)用4.平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用(1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.(2)會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.選擇題：2017·課標(biāo)Ⅲ，123.平面向量的綜合應(yīng)用4.平面向量的數(shù)量積選擇題：2017·22平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理22平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理1．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量①___的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)和1．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的②___a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的③___的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(1)結(jié)合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ

a；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb差積減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫作a與b的a－b＝a＋關(guān)于向量的模的兩個(gè)關(guān)系式：對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)|a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．當(dāng)a，b不共線時(shí)：①的幾何意義是三角形中任意一邊的長(zhǎng)小于其他兩邊長(zhǎng)的和且大于其他兩邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值；②的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長(zhǎng)與兩對(duì)角線的長(zhǎng)之間的關(guān)系．關(guān)于向量的模的兩個(gè)關(guān)系式：對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)2．向量中的有關(guān)定理(1)向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(i)判定定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得b＝④____，則向量b與a共線．(ii)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝⑤

___．λaλa2．向量中的有關(guān)定理λaλa(2)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝⑥___________，其中e1，e2是一組基底．λ1e1＋λ2e2(2)平面向量基本定理λ1e1＋λ2e2(1)零向量不能作為基底向量，基底不是唯一的，只要是同一個(gè)平面內(nèi)不共線的向量均可作為一組基底．(1)零向量不能作為基底向量，基底不是唯一的，只要是同一個(gè)平3．平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示運(yùn)算坐標(biāo)表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝⑦_(dá)______________，a－b＝⑧_______________數(shù)乘已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實(shí)數(shù)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝⑨_______________(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(x2－x1，y2－y1)3．平面向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)表示和(差)已知a＝(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?⑩__________＝0.x1y2－x2y1(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示x1y2－x2y1考向1平面向量的線性運(yùn)算

平面向量的線性運(yùn)算是高考對(duì)平面向量考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查三角形法則及平行四邊形法則的應(yīng)用，通常有兩個(gè)考查角度：(1)向量的線性表示；(2)加(減)法運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用．考題多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目，所占分值為5分．考向1平面向量的線性運(yùn)算【解析】如圖，在△ABC中，【解析】如圖，在△ABC中，

平面向量線性運(yùn)算的解題策略(1)用已知向量表示某個(gè)向量問題的基本解題思路①觀察各個(gè)向量的位置，特別注意平行關(guān)系；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③利用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果． 平面向量線性運(yùn)算的解題策略(2)構(gòu)造三角形或平行四邊形分析向量的模之間的關(guān)系根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何意義，涉及比較分析向量的模之間的大小關(guān)系等問題，均可構(gòu)造三角形或平行四邊形，通過三角形中的邊角關(guān)系來確定向量的模之間的關(guān)系．(2)構(gòu)造三角形或平行四邊形分析向量的模之間的關(guān)系變式訓(xùn)練C變式訓(xùn)練C【解析】如圖，在平行四邊形ABCD中，【解析】如圖，在平行四邊形ABCD中，考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件考向2共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用

高考對(duì)共線向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下幾個(gè)方面：(1)利用共線向量定理求參數(shù)的值；(2)利用平面向量基本定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算對(duì)向量進(jìn)行分解；(3)在坐標(biāo)表示的前提下由向量共線求參數(shù)值或?qū)ο蛄窟M(jìn)行分解．一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，分值為5分．例2(1)(2015·課標(biāo)Ⅱ，13)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________．考向2共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用【解析】

(1)因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，所以存在實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0.【解析】(1)因?yàn)棣薬＋b與a＋2b平行，考點(diǎn)22-平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理課件1．求解向量共線問題的注意事項(xiàng)(1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1．求解向量共線問題的注意事項(xiàng)2．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時(shí)，合理地