第六章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

IIRDigitalFilterDesign第六章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

IIRDigitalF主要內(nèi)容：§6.1數(shù)字濾波器的基本概念§6.2模擬濾波器的設(shè)計§6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器§6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器主要內(nèi)容：§6.1數(shù)字濾波器的基本概念§6.2模擬濾波器的第一節(jié)數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波器:輸入輸出均為數(shù)字信號，經(jīng)過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點：精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不要求阻抗匹配，能實現(xiàn)模擬濾波器(AF)無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。1.數(shù)字濾波器的分類（回憶）2.數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3.數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述第一節(jié)數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波1、數(shù)字濾波器的分類

經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波器達到目的）

現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機信號內(nèi)部的統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號）1、數(shù)字濾波器的分類經(jīng)典濾波器的幾種類型：經(jīng)典濾波器的幾種類型：數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：IIR濾波器FIR濾波器數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法2、數(shù)字濾波器的設(shè)計過程用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：幅頻特性|H(ej)|：

信號通過濾波器后的各頻率成分衰減情況。相頻特性()：

各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶：阻帶：過渡帶： ：阻帶截止頻率 ：通帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶：阻帶：過渡帶通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：上式中，歸一化為1。通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s平面逼近：模擬濾波器的設(shè)計z平面逼近：數(shù)字濾波器的設(shè)計4、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器即為求濾波器的各系數(shù)：用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s平面逼近第二節(jié)模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如：

1)巴特沃斯(Butterworth)濾波器2)切比雪夫(Chebyshev)濾波器3)橢圓(Ellipse)濾波器4)貝塞爾(Bessel)濾波器

這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。第二節(jié)模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計1、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有p,Ωp,s和Ωs。Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶Ω(0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)s是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)1、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指Ωc稱為3dB截止頻率：Ωc稱為3dB截止頻率：濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，有：濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)H2、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法(1)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2

用下式表示：N越大，越接近理想濾波器，N越大，濾波器的實現(xiàn)也越復(fù)雜。特點：2、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法(1)巴特沃斯低通濾波器的(2)幅度平方函數(shù)極點分布及Ha(s)的構(gòu)成將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：上式表明，極點sk用下式表示：為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為(2)幅度平方函數(shù)極點分布及Ha(s)的構(gòu)成將幅度平方函數(shù)|設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0,(3)頻率歸一化由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ=jΩ/Ωc

，

p=s/Ωc稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(3)頻率歸一化由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)式中，pk為歸一化極點，用下式表示：帶入Ha(p)表達式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示：歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)Ha(p)的系數(shù)以及極點可以查表得到。式中，pk為歸一化極點，用下式表示：帶入Ha(p)表達式，得表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計HD8課件第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計HD8課件(4)階數(shù)N的確定階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)確定。將=p代入幅度平方函數(shù)中:(4)階數(shù)N的確定階數(shù)N的大小主要影響幅度特性將=s代入幅度平方函數(shù)中:將=s代入幅度平方函數(shù)中:用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照下面兩式求出：通常是用一個算出Ωc，然后用另一個(反過來)來檢驗。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,p,Ωs,s，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ω例：已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N：例：已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2d(2)求極點：歸一化傳輸函數(shù)為(2)求極點：歸一化傳輸函數(shù)為上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表簡單，由N=5，直接查表得到：極點：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、-1.0000其中：

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：檢驗：可以看出，滿足s=30dB的真實fs在10.525kHz處，與12kHz比，還有富裕量。(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。將pMatlab的實現(xiàn)調(diào)用的函數(shù)見教材P160：buttap,buttord,butter設(shè)計程序見教材P161

Matlab的實現(xiàn)調(diào)用的函數(shù)見教材P160：第三節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個由S平面映射到Z平面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求。第三節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器來設(shè)計(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。

因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。即S平面的左半平面必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部。兩條基本要求：工程上常用的轉(zhuǎn)換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理核心原理：通過對連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T為采樣間隔。它是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法。轉(zhuǎn)換步驟：一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理核心原理：通過對連續(xù)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔設(shè)ha(t)的采樣信號用表示，二、S平面和Z平面之間的映射關(guān)系拉氏變換：設(shè)ha(t)的采樣信號用表示，二、S平面和Z上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之

jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虛軸)r=1(z平面單位圓)

<0(s左半平面)r<1(z平面單位圓內(nèi)部)

>0(s右半平面)r>1(z平面單位圓外部)①r與的關(guān)系jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平②與的關(guān)系：=T=0(s平面實軸)=0(z平面正實軸)=0=0T

(s平面平行于實軸的直線)(z平面始于原點，輻角為0T的輻射線)

：從-/T～/T

：從-～

(s平面為2/T的一個水平帶)(z平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個z平面)

Z平面jIm[z]Re[z]jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射

②與的關(guān)系：=T=0(s平面實軸)將s=jΩ代入上式，得我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足：存在的問題：混疊失真將s=jΩ代入上式，得我們知道模擬信號ha(t)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。即：|ω|<π數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。

但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的（非理想），變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象優(yōu)點：脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好。模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。

因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。優(yōu)點：脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完模缺點：有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。對于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。缺點：有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變對第四節(jié)用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器一、變換原理了解決上一節(jié)的混疊問題，我們應(yīng)想辦法讓S到Z域的映射為單值映射。方法：先采用線性壓縮的方法，將模擬角頻率壓縮至折疊頻率以內(nèi)。即：若：

：-∞~0~∞,壓縮后得到1

1：-π/T~0~π/T

第四節(jié)用雙線性變換法一、變換原理了解決上一節(jié)非線性壓縮SS1單值映射S1Z非線性壓縮SS1單值映射S1Z找Z與S的關(guān)系：找Z與S的關(guān)系：一般來說，為使AF與DF的某一頻率有對應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)C：變換常數(shù)C的選?。撼?shù)C用來調(diào)節(jié)頻率間的對應(yīng)關(guān)系：若希望AF與DF在低頻處有較為確切的對應(yīng)關(guān)系，可以選擇：一般來說，為使AF與DF的某一頻率有對應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)C：解釋：在低頻處有較為確切的對應(yīng)關(guān)系，即要求低頻處：當(dāng)1較小時，處于低頻處，此時有：而和1的對應(yīng)公式為：解釋：在低頻處有較為確切的對應(yīng)關(guān)系，即要求低頻處：當(dāng)1較二、優(yōu)點、問題及其解決辦法

1、優(yōu)點：解決了混疊問題

2、問題：二、優(yōu)點、問題及其解決辦法1、優(yōu)點：解決了混疊問題2、問

3、解決：通過頻率預(yù)畸來解決S→Z指標(biāo)轉(zhuǎn)換預(yù)畸指標(biāo)轉(zhuǎn)換不預(yù)畸S→Z產(chǎn)生畸變不產(chǎn)生畸變3、解決：通過頻率預(yù)畸來解決S→Z指標(biāo)轉(zhuǎn)換預(yù)畸指標(biāo)轉(zhuǎn)換不預(yù)預(yù)畸變特征雙線性變換時頻率的預(yù)畸變預(yù)畸變特征雙線性變換時頻率的預(yù)畸變

利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：ωp、p、ωs、s將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器Ha(s)。(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。確定數(shù)字低例：設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。解：(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為

ωp=0.2πrad,p=1dB;ωs=0.3πrad,s=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,p=1dB;Ωs=0.3πrad/s,s=15dB例：設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。根據(jù)階數(shù)N=6，查表得到歸一化傳輸函數(shù)為：由式：得到：Ωc=0.7032rad/s最后，去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s)根據(jù)階數(shù)N=6，查表得到歸一化傳輸函數(shù)為：由式：得到：Ωc=用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進行部分分式分解，然后再轉(zhuǎn)換z=esT。用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)(2)用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為

ωp=0.2πrad,

p=1dB;ωs=0.3πrad,

s=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為(2)用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：取N=6。并求得：Ωc=0.7662rad/s③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實際的Ha(s)④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)H習(xí)題19101419習(xí)題1IIR數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)原型變換設(shè)計模擬低通原型濾波器巴特沃斯逼近法切比雪夫逼近法其他逼近法模擬低通原型濾波器技術(shù)指標(biāo)原型變換各經(jīng)典類模擬濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法模擬濾波器第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計HD8課件第六章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

IIRDigitalFilterDesign第六章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

IIRDigitalF主要內(nèi)容：§6.1數(shù)字濾波器的基本概念§6.2模擬濾波器的設(shè)計§6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器§6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器主要內(nèi)容：§6.1數(shù)字濾波器的基本概念§6.2模擬濾波器的第一節(jié)數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波器:輸入輸出均為數(shù)字信號，經(jīng)過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點：精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不要求阻抗匹配，能實現(xiàn)模擬濾波器(AF)無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。1.數(shù)字濾波器的分類（回憶）2.數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3.數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述第一節(jié)數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波1、數(shù)字濾波器的分類

經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波器達到目的）

現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機信號內(nèi)部的統(tǒng)計分布規(guī)律，從干擾中最佳提取信號）1、數(shù)字濾波器的分類經(jīng)典濾波器的幾種類型：經(jīng)典濾波器的幾種類型：數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：IIR濾波器FIR濾波器數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法2、數(shù)字濾波器的設(shè)計過程用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：幅頻特性|H(ej)|：

信號通過濾波器后的各頻率成分衰減情況。相頻特性()：

各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶：阻帶：過渡帶： ：阻帶截止頻率 ：通帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶：阻帶：過渡帶通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：上式中，歸一化為1。通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s平面逼近：模擬濾波器的設(shè)計z平面逼近：數(shù)字濾波器的設(shè)計4、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器即為求濾波器的各系數(shù)：用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s平面逼近第二節(jié)模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如：

1)巴特沃斯(Butterworth)濾波器2)切比雪夫(Chebyshev)濾波器3)橢圓(Ellipse)濾波器4)貝塞爾(Bessel)濾波器

這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。第二節(jié)模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計1、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有p,Ωp,s和Ωs。Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶Ω(0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)s是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)1、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指Ωc稱為3dB截止頻率：Ωc稱為3dB截止頻率：濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，有：濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)H2、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法(1)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2

用下式表示：N越大，越接近理想濾波器，N越大，濾波器的實現(xiàn)也越復(fù)雜。特點：2、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法(1)巴特沃斯低通濾波器的(2)幅度平方函數(shù)極點分布及Ha(s)的構(gòu)成將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：上式表明，極點sk用下式表示：為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為(2)幅度平方函數(shù)極點分布及Ha(s)的構(gòu)成將幅度平方函數(shù)|設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0,(3)頻率歸一化由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ=jΩ/Ωc

，

p=s/Ωc稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(3)頻率歸一化由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)式中，pk為歸一化極點，用下式表示：帶入Ha(p)表達式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示：歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)Ha(p)的系數(shù)以及極點可以查表得到。式中，pk為歸一化極點，用下式表示：帶入Ha(p)表達式，得表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計HD8課件第六章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計HD8課件(4)階數(shù)N的確定階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)確定。將=p代入幅度平方函數(shù)中:(4)階數(shù)N的確定階數(shù)N的大小主要影響幅度特性將=s代入幅度平方函數(shù)中:將=s代入幅度平方函數(shù)中:用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照下面兩式求出：通常是用一個算出Ωc，然后用另一個(反過來)來檢驗。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,p,Ωs,s，求出濾波器的階數(shù)N。(2)求出歸一化極點pk，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ω例：已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N：例：已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2d(2)求極點：歸一化傳輸函數(shù)為(2)求極點：歸一化傳輸函數(shù)為上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表簡單，由N=5，直接查表得到：極點：-0.3090±j0.9511、-0.8090±j0.5878、-1.0000其中：

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：檢驗：可以看出，滿足s=30dB的真實fs在10.525kHz處，與12kHz比，還有富裕量。(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。將pMatlab的實現(xiàn)調(diào)用的函數(shù)見教材P160：buttap,buttord,butter設(shè)計程序見教材P161

Matlab的實現(xiàn)調(diào)用的函數(shù)見教材P160：第三節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個由S平面映射到Z平面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求。第三節(jié)用脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器來設(shè)計(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。

因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。即S平面的左半平面必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部。兩條基本要求：工程上常用的轉(zhuǎn)換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理核心原理：通過對連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T為采樣間隔。它是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法。轉(zhuǎn)換步驟：一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理核心原理：通過對連續(xù)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔設(shè)ha(t)的采樣信號用表示，二、S平面和Z平面之間的映射關(guān)系拉氏變換：設(shè)ha(t)的采樣信號用表示，二、S平面和Z上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之

jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虛軸)r=1(z平面單位圓)

<0(s左半平面)r<1(z平面單位圓內(nèi)部)

>0(s右半平面)r>1(z平面單位圓外部)①r與的關(guān)系jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平②與的關(guān)系：=T=0(s平面實軸)=0(z平面正實軸)=0=0T

(s平面平行于實軸的直線)(z平面始于原點，輻角為0T的輻射線)

：從-/T～/T

：從-～

(s平面為2/T的一個水平帶)(z平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個z平面)

Z平面jIm[z]Re[z]jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射

②與的關(guān)系：=T=0(s平面實軸)將s=jΩ代入上式，得我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足：存在的問題：混疊失真將s=jΩ代入上式，得我們知道模擬信號ha(t)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。即：|ω|<π數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。

但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的（非理想），變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象優(yōu)點：脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好。模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。

因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。優(yōu)點：脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完模缺點：有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。對于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此會產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。缺點：有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變對第四節(jié)用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器一、變換原理了解決上一節(jié)的混疊問題，我們應(yīng)想辦法讓S到Z域的映射為單值映射。方法：先采用線性壓縮的方法，將模擬角頻率壓縮至折疊頻率以內(nèi)。即：若：

：-∞~0~∞,壓縮后得到1

1：-π/T~0~π/T

第四節(jié)用雙線性變換法一、變換原理了解決上一節(jié)非線性壓縮SS1單值映射S1Z非線性壓縮SS1單值映射S1Z找Z與S的關(guān)系：找Z與S的關(guān)系：一般來說，為使AF與DF的某一頻率有對應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)C：變換常數(shù)C的選?。撼?shù)C用來調(diào)節(jié)頻率間的對應(yīng)關(guān)系：若希望AF與DF在低頻處有較為確切的對應(yīng)關(guān)系，可以選擇：一般來說，為使AF與DF的某一頻率有對應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)C：解釋：在低頻處有較為確切的對應(yīng)關(guān)系，即要求低頻處：當(dāng)1較小時，處于低頻處，此時有：而和1的對應(yīng)公式為：解釋：在低頻