2025年南京市初中學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．近期，江蘇省城市足球聯(lián)賽（“蘇超”）火爆出圈，據(jù)統(tǒng)計(jì)，首輪比賽現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)達(dá)35000人，第二輪現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)增長(zhǎng)至42000人，將第二輪現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是A． B． C． D．2．已知，，，則a，b，c之間滿足的等式是A． B． C． D．3．長(zhǎng)跑因?yàn)槠浔憬菪约坝行猿蔀槿藗冏钕矏?ài)的運(yùn)動(dòng)方式之一，普通人長(zhǎng)跑5的平均速度約為，估計(jì)的值在A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間4．如圖，是正五邊形的外接圓，這個(gè)五邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為R，邊行距為r，則下列關(guān)系是錯(cuò)誤的是A． B．C． D．5．已知，下列結(jié)論不正確的是A． B．C．若m，n同號(hào)，則 D．若m，n異號(hào)，則6．記住是兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的一種運(yùn)算.已知，函數(shù)為正比例函數(shù)，則A．12 B．16 C．20 D．24二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．計(jì)算：________.8．分解因式：________.9．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？其最小正整數(shù)解記為a.又知，則a________b（填“”“”或“”）.10．分式方程的解是________.11．將平面鏡，按如圖所示的方式放置，從點(diǎn)M處射出一束光線經(jīng)上的D點(diǎn)反射至上的E點(diǎn)，再經(jīng)E點(diǎn)反射出的光線恰好與平行，若，則的度數(shù)________.12．如圖，四邊形為平行四邊形，以點(diǎn)A圓心，長(zhǎng)半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)E，連接，，，則的長(zhǎng)________.（結(jié)果保留根號(hào)和）.13．如圖，在一個(gè)正方形的網(wǎng)格上有A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)，任意連接其中3個(gè)點(diǎn)，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為_(kāi)_______.14．為了適應(yīng)新的考試評(píng)價(jià)改革，需要對(duì)學(xué)生的原始分進(jìn)行轉(zhuǎn)換．一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，全班最高分是95分，最低分是45分．現(xiàn)將全班學(xué)生成績(jī)作線性轉(zhuǎn)化、原始分記x，轉(zhuǎn)化后的分?jǐn)?shù)記為y.滿足其中.裝換后使得最高分100分、最低分30分，某同學(xué)原始分是80分，則轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)是________.15．在平面直角系中.將拋物線向右平移2個(gè)單位得到拋物線，點(diǎn)在拋物線上.點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)，時(shí)，總有，，則a的取值范圍是________.16．鐵藝花窗是園林設(shè)計(jì)中常見(jiàn)的裝飾元素.如圖是一個(gè)花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)O，弧所在圓的圓心C恰好是的內(nèi)心，若，則陰影部分面積為_(kāi)_______.17．在水平面內(nèi)確定一條直線為基準(zhǔn)線，規(guī)定：對(duì)該平面內(nèi)不重合兩點(diǎn)M，N，若以為斜邊能作出直角三角形，且其中一條直角邊垂直于基準(zhǔn)線，則稱(chēng)兩條直角邊長(zhǎng)度之和為點(diǎn)M，N的直角距離;若M，N兩點(diǎn)所在的直線垂直或平行于基準(zhǔn)線，則線段的長(zhǎng)度為點(diǎn)M，N的直角距離.記點(diǎn)M，N的直角距離.如圖，直線與基準(zhǔn)線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上，垂直于，垂足為Q，且，，.則的值為_(kāi)_______.三、解答題（本大題共11小題，共88分）18．（7分）解方程19．（7分）計(jì)算20．（7分）已知點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，將點(diǎn)M向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P.若N，P在函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)M的坐標(biāo).21．如圖，在銳角中，D，E分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，且，.證明：四邊形為平行四邊形.22．（8分）【綜合與實(shí)踐】南京文化紀(jì)念品的包裝優(yōu)化南京作為歷史文化名城，有眾多特色文化紀(jì)念品.某紀(jì)念品生產(chǎn)廠家在20周年廠慶前，為其經(jīng)典的“南京云錦”主題紀(jì)念品設(shè)計(jì)了長(zhǎng)方體包裝盒.但在實(shí)際生產(chǎn)與使用中發(fā)現(xiàn)，裝入紀(jì)念品后包裝盒邊角空余空間較多，造成了包裝材料的浪費(fèi)，于是決定開(kāi)展節(jié)省材料的探究活動(dòng).任務(wù)1平面圖形的探究南京的傳統(tǒng)建筑中常常能看到矩形的窗戶等元素.對(duì)于面積固定的矩形，我們來(lái)探究其周長(zhǎng)的變化規(guī)律.已知秦淮河畔某古建筑修復(fù)時(shí)用到的一種矩形裝飾磚面積為36平方分米，通過(guò)列舉不同長(zhǎng)和寬的情況，得到以下表格：長(zhǎng)（分米）36181296寬（分米）12345周長(zhǎng)（分米）7440302624根據(jù)表格，可猜測(cè)：矩形的面積一定時(shí)，________時(shí)周長(zhǎng)最小.為了證明上述猜測(cè)，小寧同學(xué)假設(shè)矩形面積為，設(shè)兩鄰邊長(zhǎng)分別為和（s，t均為非負(fù)數(shù)），則，經(jīng)化簡(jiǎn)可得.請(qǐng)表示出周長(zhǎng)并補(bǔ)全后續(xù)的證明過(guò)程.任務(wù)2立體圖形的包裝改進(jìn)廠家之前設(shè)計(jì)的長(zhǎng)方體包裝盒尺寸為：長(zhǎng)10厘米、寬8厘米、高6厘米，該包裝盒用于包裝以南京明城墻為原型的小型紀(jì)念品.現(xiàn)打算在保持底面積不變的前提下，將包裝盒形狀改為底面半徑為4厘米的圓柱體，高保持不變，從節(jié)省材料（即表面積最小）的角度來(lái)看，你覺(jué)得這樣的改進(jìn)合理嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.（取3.14，結(jié)果精確到0.1平方厘米）23．（8分）學(xué)校舉辦數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一款“數(shù)字魔方大挑戰(zhàn)”游戲道具.有兩個(gè)特制的正方體魔方，魔方A的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3,3,3;魔方B的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字,0,0,1,1.（1）若同時(shí)拋擲這兩個(gè)魔方，落地后朝上一面數(shù)字分別記為a和b.將a,b代入一元二次方程中，求該方程有實(shí)數(shù)根的概率.（2）同時(shí)拋擲這兩個(gè)魔方，求魔方A朝上一面數(shù)字大于魔方B朝上一面數(shù)字的概率.24．（8分）為了提升社區(qū)居民的健康水平和生活質(zhì)量，市政府決定對(duì)社區(qū)內(nèi)的健身師施進(jìn)行全面升級(jí)計(jì)劃，采購(gòu)兩種不同類(lèi)型的健身器材共720臺(tái).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)A種器材的價(jià)格y（百元/臺(tái)）與采購(gòu)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，而B(niǎo)種器材的價(jià)格為固定值30百元/臺(tái).（1）當(dāng)時(shí)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍.（2）假設(shè)A種器材采購(gòu)數(shù)量不低于60臺(tái)，且B種器材采購(gòu)數(shù)量不低于A中器材采購(gòu)數(shù)量的3倍.如何分配兩種器材的采購(gòu)數(shù)量才能使采購(gòu)費(fèi)用w（百元）最少最少是多少？25．（8分）如圖，這是小偉同學(xué)為準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)考試組裝的制取氧氣的實(shí)驗(yàn)裝置．已知試管，，試管傾斜角a為，實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊貼水槽，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且垂直，平行（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在同一條直線上）.經(jīng)測(cè)量得，，，，請(qǐng)求出鐵架桿與水槽之間的水平距離．（結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：，，）

26．（8分）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．（1）求證：是的切線;（2）若，，，求的半徑.27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求a，b的值;（2）如圖①，連接，并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)E，若垂直平分，求點(diǎn)E的坐標(biāo);（3）如圖②，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求此時(shí)S的最大值．

28．在中，，D為直線上一點(diǎn)，E為直線上異于點(diǎn)C的一點(diǎn)，連接，，使．（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段上，，求證;（2）如圖2，若點(diǎn)D在線段上，，求的長(zhǎng);（3）如圖3，若點(diǎn)D在線