學(xué)習(xí)管理科學(xué)方法的基本思路一、建立問題的數(shù)學(xué)模型二、求問題的解三、問題的靈敏度分析學(xué)習(xí)管理科學(xué)方法的基本思路一、建立問題的數(shù)學(xué)模型1運(yùn)籌帷幄之中決勝千里之外線性規(guī)劃模型的應(yīng)用LinearProgramming第3章運(yùn)籌帷幄之中決勝千里之2例題

某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要消耗A、B、C三種資源，已知每生產(chǎn)單位產(chǎn)品甲需要A、B、C資源分別是3、2、0，生產(chǎn)單位產(chǎn)品乙需要A、B、C資源分別是2、1、3，資源A、B、C的現(xiàn)有數(shù)量分別是65、40、75，甲、乙兩種產(chǎn)品的單位利潤分別是1500、2500，問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使得既能充分利用現(xiàn)有資源又使總利潤最大？例題某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要消耗A、B3產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙資源的限制資源A3265資源B2140資源C0375單位利潤15002500x2x1產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙資源的限制資源A3265資源B2140資源C034解：1．確定決策變量：設(shè)x1表示生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量；x2表示生產(chǎn)乙產(chǎn)品的數(shù)量2．確定目標(biāo)函數(shù)：工廠的目標(biāo)是總利潤最大

z=1500x1+2500x23．確定約束條件：

3x1+2x265（A資源的限制）

2x1+x240（B資源的限制）

3x275（C資源的限制）4．變量取值限制：一般情況，決策變量只取大于等于0的值（非負(fù)值）

x10,x20解：5用max表示最大值，s.t.（subjectto的簡寫）表示約束條件，

得到該問題的數(shù)學(xué)模型為：

maxZ=1500x1+2500x2

3x1+2x265s.t.2x1+x240

3x275x1,x20目標(biāo)函數(shù)約束條件決策變量用max表示最大值，s.t.（subjectto的簡寫）表6決策變量目標(biāo)函數(shù)約束條件建立數(shù)學(xué)模型的三要素：決策變量建立數(shù)學(xué)模型的三要素：7線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型分類：maxZ=1500x1+2500x2

3x1+2x2

65s.t.2x1+x2

403x2

75x1,x2

0線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型分類：max83.1、市場營銷問題3.2、財(cái)務(wù)管理問題（投資問題）3.3、營運(yùn)管理問題生產(chǎn)計(jì)劃問題、外購自制生產(chǎn)問題、套裁下料問題3.4、產(chǎn)品配方問題3.5、人力資源管理問題線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用3.1、市場營銷問題線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用9【例3.1】某房地產(chǎn)開發(fā)公司正在建造一個(gè)湖邊小區(qū)，公司準(zhǔn)備投入3萬元進(jìn)行廣告媒體宣傳,希望能夠吸引周圍的中高收入家庭前來購房。目前有5種媒體可供選擇，相關(guān)信息如表3.1所示。3.1、市場營銷問題對(duì)于這次活動(dòng)，公司有下列要求：（1）至少進(jìn)行10次電視廣告播放；（2）至少有5萬名潛在顧客被告知；（3）電視廣告投入不超過18000元。如何進(jìn)行媒體組合，才能使廣告質(zhì)量最高?【例3.1】某房地產(chǎn)開發(fā)公司正在建造一個(gè)湖邊小區(qū)，公司準(zhǔn)備投10解：(1)確定決策變量:設(shè)x1，x2，x3，x4，x5，分別表示日間電視、夜間電視、日?qǐng)?bào)、周末新聞雜志、電臺(tái)廣播五種媒體的使用次數(shù)。解：(1)確定決策變量:11（2）確定約束條件預(yù)算資金約束：總共花費(fèi)的廣告費(fèi)用不能超過公司的3萬元資金預(yù)算，即：1500x1+3000x2+400x3+1000x4+100x5≤30000電視廣告播放次數(shù)的限制：至少進(jìn)行10次電視廣告播放，即：

x1+x2≥10潛在顧客被告知度的限制：至少有50000名潛在顧客被告知，即：1000

x1+2000x2+1500x3+2500x4+300x5≥50000電視廣告投入資金的限制：電視廣告投入不超過l8000元，即:1500x1+3000x2≤18000媒體最高使用次數(shù)約束：x1≤15x2≤10x3≤25x4≤4x5≤30非負(fù)約束：x1，x2，x3，x4，x5≥0（2）確定約束條件12(3)確定目標(biāo)函數(shù)。此次活動(dòng)的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)廣告播放中產(chǎn)品的宣傳質(zhì)量最高，即：MaxZ=65x1+90x2+40x3+60x4+20x5(4)變量取值限制：x1,x2,x3,x4,x5≥0(3)確定目標(biāo)函數(shù)。此次活動(dòng)的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)廣告播放中產(chǎn)品的宣13綜上所述，該問題的線性規(guī)劃模型為：MaxZ=65x1+90x2+40x3+60x4+20x51500

x1+3000x2+400x3+1000x4+100x5≤30000x1+x2≥101000x1+2000x2+1500x3+2500x4+300x5≥500001500x1+3000x2≤18000s..tx1≤15x2≤10x3≤25x4≤4x5≤30x1，x2，x3，x4，x5≥0綜上所述，該問題的線性規(guī)劃模型為：143.2、財(cái)務(wù)管理問題（投資問題）例1、某公司在今后四年內(nèi)考慮以下四個(gè)投資項(xiàng)目選擇問題：項(xiàng)目甲：第二年初需投資，到第四年年末收回本利180%；項(xiàng)目乙：從第一年到第三年，每年年初需投資，并于次年年末收回本利120%；項(xiàng)目丙：從第一年開始每年年初可購買公債，于當(dāng)年年末歸還，并加息10%；項(xiàng)目?。旱谝荒瓿跣柰顿Y，到第二年年末收回本利135%；第三年初又投資，到第四年年末收回本利130%此外，為了使每年項(xiàng)目之間保持平衡性，要求每年年末回收的資金全部投資到第二年年初,另外項(xiàng)目甲每年的最大投資額將不超過8萬元，該部門現(xiàn)有投資資金30萬元。應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目在各年的投資額，使該公司在第四年年末擁有資金的本利總額達(dá)到最大？試建立該問題的線性規(guī)劃模型。3.2、財(cái)務(wù)管理問題（投資問題）例1、某公司在今后四年內(nèi)考慮15解：根據(jù)題意，可假設(shè)如下決策變量：第一年第二年第三年第四年項(xiàng)目甲：x12項(xiàng)目乙：x21x22x23

項(xiàng)目丙：x31x32x33x34

項(xiàng)目?。簒41x43解：16maxZ=180%x12+120%x23+110%x34+130%x43.

x21+x31+x41=30x12+x22+x32=110%x31s.t.x23+x33+x43=120%x21+110%x32+135%x41x34=120%x22+110%x33x12≤8x12,x21,x22,x23,x31,x32,x33,x34,x41,x43

≥0maxZ=180%x12+120%x23+110%x34+117

例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過A、B兩道加工工序。設(shè)該廠有兩種規(guī)格的設(shè)備能完成工序A，它們以A1、A2表示；有三種規(guī)格的設(shè)備能完成工序B，它們以B1、B2、B3表示。產(chǎn)品甲可在工序A和B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在工序A的任何一種規(guī)格的設(shè)備上加工，但完成工序B時(shí)，只能在設(shè)備B1上加工；產(chǎn)品丙只能在設(shè)備A2與B2上加工。已知在各種設(shè)備上加工的單件工時(shí)、各種設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)如表所示。另外已知產(chǎn)品甲、乙、丙的原料單價(jià)分別為0.25元/件、0.35元/件和0.5元/件，銷售單價(jià)分別為1.25元/件、2元/件和2.8元/件，要求制定最優(yōu)的產(chǎn)品加工方案，使該廠利潤最大。例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過18設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）甲乙丙AA15106000A2791210000BB1684000B24117000B374000原料費(fèi)(元/件)0.250.350.5單價(jià)(元/件)1.2522.8設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）甲乙丙AA19解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：甲：（A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)六種方案

乙：（A1，B1），（A2，B1）兩種方案丙：（A2，B2）一種方案

令xi表示采用第i種方案進(jìn)行加工的某種產(chǎn)品的數(shù)量(i=1,2,…,9)x1x2x3x4x5x6x7x8

x9Maxz=(1.25-0.25)(x1+x2+x3+x4+x5+x6)+(2-0.35)(x7+x8)+(2.8-0.5)x95(x1+x2+x3)+10x7≤60007(x4+x5+x6)+9x8+12x9≤10000s.t.6(x1+x4)+8x7+8x8≤40004(x2+x5)+11x9≤70007(x3+x6)≤4000xi≥0(i=1,2,…,9)解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：x120整理得：Maxz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+1.35x7+1.65x8+2.3x9

5x1+5x2+5x3+10x7≤60007x4+7x5+7x6+9x8+12x9≤10000s.t.6x1+6x4+8x7+8x8≤40004x2+4x5+11x9≤70007x3+7x6≤4000xi≥0(i=1,2,…,9)整理得：21

例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過A、B兩道加工工序。設(shè)該廠有兩種規(guī)格的設(shè)備能完成工序A，它們以A1、A2表示；有三種規(guī)格的設(shè)備能完成工序B，它們以B1、B2、B3表示。產(chǎn)品甲可在工序A和B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在工序A的任何一種規(guī)格的設(shè)備上加工，但完成工序B時(shí)，只能在設(shè)備B1上加工；產(chǎn)品丙只能在設(shè)備A2與B2上加工。已知在各種設(shè)備上加工的單件工時(shí)、各種設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)以及滿負(fù)荷操作時(shí)的設(shè)備費(fèi)用如表所示。另外已知產(chǎn)品甲、乙、丙的原料單價(jià)分別為0.25元/件、0.35元/件和0.5元/件，銷售單價(jià)分別為1.25元/件、2元/件和2.8元/件，要求制定最優(yōu)的產(chǎn)品加工方案，使該廠利潤最大。3.3、營運(yùn)管理問題之生產(chǎn)計(jì)劃問題例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過22設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）滿負(fù)荷時(shí)的設(shè)備費(fèi)用（元）甲乙丙A2791210000321BB1684000250B24117000783B374000200原料費(fèi)(元/件)0.250.350.5單價(jià)(元/件)1.2522.8設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）滿負(fù)荷時(shí)的23解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：甲：（A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)六種方案

乙：（A1,B1），（A2，B1）兩種方案丙：（A2,B2）一種方案

xi表示采用第i種方案進(jìn)行加工的某種產(chǎn)品的數(shù)量(i=1,2,…,9)x1x2x3x4x5x6x7x8

x9Maxz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+1.35x7+1.65x8+2.3x9

-300/6000(5x1+5x2+5x3+10x7)-321/10000(7x4+7x5+7x6+9x8+12x9)-250/4000(6x1+6x4+8x7)-783/7000(4x2+4x5+11x9)-200/4000(7x3+7x6)約束條件不變解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：x124設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）設(shè)備加工費(fèi)（元/小時(shí)）甲乙丙AA151060000.05A27912100000.03BB16840000.06B241170000.10B3740000.05原料費(fèi)(元/件)0.250.350.5單價(jià)(元/件)1.2522.8思考！設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）設(shè)備加工費(fèi)25決策變量的另一種表示方法：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：甲：（A1，B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)六種方案乙：（A1，B1），（A2，B1）兩種方案丙：（A2，B2）一種方案設(shè)i=1,2,3分別表示甲、乙、丙三種產(chǎn)品；

j=1,2,….分別表示第j個(gè)方案；

xij表示第i種產(chǎn)品采用第j個(gè)方案進(jìn)行加工的產(chǎn)品的數(shù)量x11x12x13x14x15x16x21x22x31決策變量的另一種表示方法：x11x12263.3、營運(yùn)管理問題之外購/自制生產(chǎn)決策問題例、某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司有甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品都要經(jīng)過鑄造、機(jī)械加工和裝配三道工序，甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須由本廠鑄造才能保證質(zhì)量，有關(guān)情況如表所示，公司中可利用的總工時(shí)為：鑄造8000小時(shí)，機(jī)械加工12000小時(shí)和裝配10000小時(shí)。為了獲得最大利潤，甲乙丙三種產(chǎn)品各應(yīng)生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件有多少由本公司鑄造？有多少為外包協(xié)作？3.3、營運(yùn)管理問題之外購/自制生產(chǎn)決策問題例、某公司面臨一27工時(shí)與成本甲乙丙限制工時(shí)每件鑄造工時(shí)（小時(shí)）51078000每件機(jī)械加工工時(shí)（小時(shí)）64812000每件裝配工時(shí)（小時(shí)）32210000自行生產(chǎn)鑄件每件成本（元）354外包協(xié)作鑄件每件成本（元）56-----機(jī)械加工每件成本（元）213裝配每件成本（元）322每件產(chǎn)品售價(jià)（元）231816工時(shí)與成本甲乙丙限制工時(shí)每件鑄造工時(shí)51078000每件機(jī)械28解：設(shè)x1,x2,x3分別表示三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù),x4,x5分別為由外包協(xié)作鑄造再由本公司進(jìn)行機(jī)械加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)，則根據(jù)題意，得到原問題的數(shù)學(xué)模型為:Maxz=23(x1+x4)+18(x2+x5)+16x3-3x1-5x2-4x3-5x4-6x5

-2(x1+x4)-(x2+x5)-3x3-3(x1+x4)-2(x2+x5)-2x35X1+10x2+7x3≤8000s.t.6(x1+x4)+4(x2+x5)+8x3≤120003(x1+x4))+2(x2+X5)+2x3≤10000X1,x2,x3,x4,x5≥0Maxz=15x1+10x2+7x3+13x4+9x55X1+10x2+7x3≤8000s.t.6x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3X4+2x5≤10000X1,x2,x3,x4,x5≥0整理得：解：設(shè)x1,x2,x3分別表示三道工序都由本公司加工的甲、乙29例、某工廠要做100套鋼架，每套鋼架需要長度分別為2.9m，2.1m和1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m，問應(yīng)該如何下料，可使所用原料最?。拷猓鹤龇ㄒ唬航厝》?。

每根原材料中各截取一根組成一套，2.9+2.1+1.5=6.5

每根料頭0.9m,100根90m料頭，浪費(fèi)做法二：套裁法。3.3、營運(yùn)管理問題之合理下料問題例、某工廠要做100套鋼架，每套鋼架需要長度分別為2.9m302.92.11.5合計(jì)(m)料頭(m)

x1x2x3x4x5設(shè)xi(i=1,2,…5)表示按照方案i下料的原材料的根數(shù)，則該問題的數(shù)學(xué)模型如下：方案11037.40方案22017.30.1方案30227.20.2方案41207.10.3方案50136.60.82.92.11.5合計(jì)(m)料頭(m)31Minz=x1+x2+x3+x4+x5x1+2x2+x4≥100s.t.2x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0Minz=x1+x2+x3+x4+x532思考1、約束條件用等于號(hào)如何？2、如果問如何下料，可使料頭最少？思考1、約束條件用等于號(hào)如何？33例、某化工廠根據(jù)一項(xiàng)合同要為用戶生產(chǎn)一種用甲、乙兩種原料混合配制而成的特殊產(chǎn)品.甲、乙兩種原料都含有A、B、C三種化學(xué)成分，其含量（%）和單位成本以及按合同規(guī)定產(chǎn)品中三種化學(xué)成分的最低含量（%）限制如表所示.問廠方應(yīng)如何配制該產(chǎn)品，使得總成本達(dá)到最??？3.4、產(chǎn)品配方問題例、某化工廠根據(jù)一項(xiàng)合同要為用戶生產(chǎn)一種用甲、乙兩種原料混合34

原料化學(xué)成分甲乙產(chǎn)品成分最低含量A1234B232C3155單位成本32原料甲乙產(chǎn)品成分A1234B232C335解：(1)確定決策變量：設(shè)每單位該產(chǎn)品用x1單位甲原料和x2單位乙原料配制而成.

(2)所滿足的約束條件對(duì)化學(xué)成分A的要求：12x1+3x2≥4

對(duì)化學(xué)成分B的要求：2x1+3x2≥2

對(duì)化學(xué)成分C的要求：3x1+15x2≥5

配料平衡條件：x1+x2=1

(3)明確目標(biāo)函數(shù)：成本最小，即求

z=3x1+2x2的最小值

(4)變量取值限制：x1，x2≥0解：(1)確定決策變量：36記為

minz=3x1+2x2s.t.12x1+3x2≥42x1+3x2≥23x1+15x2≥5

x1+x2=1

x1，x2≥0記為minz=3x137例、某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，產(chǎn)品的規(guī)格要求、產(chǎn)品的單價(jià)、每天能供應(yīng)的原材料數(shù)量及原材料單價(jià)如表所示，該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使利潤最大？原料1原料2原料3單價(jià)(元/kg)產(chǎn)品甲≥50%≤25%不限制50產(chǎn)品乙≥25%≤50%不限制35產(chǎn)品丙不限制不限制不限制25每天最多供應(yīng)量(kg)10010060單價(jià)(元/kg)652535例、某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品38解：xij設(shè)表示第i種產(chǎn)品中原材料j的含量(i,j=1,2,3),則三種產(chǎn)品的數(shù)量和原材料的數(shù)量分別是：甲：x11+x12+x13乙：x21+x22+x23丙：x31+x32+x33材料1：x11+x21+x31材料2：x12+x22+x32材料3：x13+x23+x33解：xij設(shè)表示第i種產(chǎn)品中原材料j的含量(i,j=1,2,39根據(jù)題意，得到原問題的數(shù)學(xué)模型:Maxz=50(x11+x12+x13)+35(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)-65(x11+x21+x31)-25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33)

x11≥50%(x11+x12+x13)x12≤25%(x11+x12+x13)x21≥25%(x21+x22+x23)s.t.x22≤50%(x21+x22+x23)x11+x21+x31≤100x12+x22+x32≤100x13+x23+x33≤60

xij≥0(i,j=1,2,3)根據(jù)題意，得到原問題的數(shù)學(xué)模型:403.5、人力資源管理問題例、某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)如表所示，設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段開始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問該公交線路應(yīng)怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又使配備司機(jī)和乘務(wù)人員的人數(shù)最少？3.5、人力資源管理問題例、某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段41班次時(shí)間所需人數(shù)班次時(shí)間所需人數(shù)16:00-10:0060418:00-22:0050210:00-14:0070522:00-2:0020314:00-18:006062:00-6:0030班次時(shí)間所需人數(shù)班次時(shí)間所需人數(shù)16:00-10:0060442.解：設(shè)xi表示在第i個(gè)時(shí)期初開始工作的司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)(i=1,2,…,6)，z表示所需的總?cè)藬?shù)，則根據(jù)題意，得到原問題的數(shù)學(xué)模型為:.解：設(shè)xi表示在第i個(gè)時(shí)期初開始工作的司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)43例、一家中型的百貨商場對(duì)售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如表所示，為了保證售貨員充分休息，要求售貨員每周工作五天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的，問應(yīng)該如何安排售貨員的休息日期，既滿足工作需要，又使配備的售貨員的人數(shù)最少？時(shí)間所需售貨員人數(shù)時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期一15星期五31星期二24星期六28星期三25星期日28星期四19例、一家中型的百貨商場對(duì)售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如表所示，為44解：設(shè)xi表示在星期i開始休息的人數(shù)(i=1,2,…,7)

，z表示所需的總?cè)藬?shù)，則根據(jù)題意，得到原問題的數(shù)學(xué)模型為:X1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+X6≥15x3+x4+x5+X6+x7≥24s.t.x4+x5+X6+x7+x1≥25x5+X6+x7+X1+x2≥19X6+x7+X1+x2+x3≥31x7+X1+x2+x3+x4≥28X1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0解：設(shè)xi表示在星期i開始休息的人數(shù)(i=1,2,…,7)45教科書:P841、2、3、4、5課后作業(yè)教科書:P84課后作業(yè)46謝謝！本章結(jié)束謝謝！本章結(jié)束47學(xué)習(xí)管理科學(xué)方法的基本思路一、建立問題的數(shù)學(xué)模型二、求問題的解三、問題的靈敏度分析學(xué)習(xí)管理科學(xué)方法的基本思路一、建立問題的數(shù)學(xué)模型48運(yùn)籌帷幄之中決勝千里之外線性規(guī)劃模型的應(yīng)用LinearProgramming第3章運(yùn)籌帷幄之中決勝千里之49例題

某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要消耗A、B、C三種資源，已知每生產(chǎn)單位產(chǎn)品甲需要A、B、C資源分別是3、2、0，生產(chǎn)單位產(chǎn)品乙需要A、B、C資源分別是2、1、3，資源A、B、C的現(xiàn)有數(shù)量分別是65、40、75，甲、乙兩種產(chǎn)品的單位利潤分別是1500、2500，問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使得既能充分利用現(xiàn)有資源又使總利潤最大？例題某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要消耗A、B50產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙資源的限制資源A3265資源B2140資源C0375單位利潤15002500x2x1產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙資源的限制資源A3265資源B2140資源C0351解：1．確定決策變量：設(shè)x1表示生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量；x2表示生產(chǎn)乙產(chǎn)品的數(shù)量2．確定目標(biāo)函數(shù)：工廠的目標(biāo)是總利潤最大

z=1500x1+2500x23．確定約束條件：

3x1+2x265（A資源的限制）

2x1+x240（B資源的限制）

3x275（C資源的限制）4．變量取值限制：一般情況，決策變量只取大于等于0的值（非負(fù)值）

x10,x20解：52用max表示最大值，s.t.（subjectto的簡寫）表示約束條件，

得到該問題的數(shù)學(xué)模型為：

maxZ=1500x1+2500x2

3x1+2x265s.t.2x1+x240

3x275x1,x20目標(biāo)函數(shù)約束條件決策變量用max表示最大值，s.t.（subjectto的簡寫）表53決策變量目標(biāo)函數(shù)約束條件建立數(shù)學(xué)模型的三要素：決策變量建立數(shù)學(xué)模型的三要素：54線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型分類：maxZ=1500x1+2500x2

3x1+2x2

65s.t.2x1+x2

403x2

75x1,x2

0線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型分類：max553.1、市場營銷問題3.2、財(cái)務(wù)管理問題（投資問題）3.3、營運(yùn)管理問題生產(chǎn)計(jì)劃問題、外購自制生產(chǎn)問題、套裁下料問題3.4、產(chǎn)品配方問題3.5、人力資源管理問題線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用3.1、市場營銷問題線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用56【例3.1】某房地產(chǎn)開發(fā)公司正在建造一個(gè)湖邊小區(qū)，公司準(zhǔn)備投入3萬元進(jìn)行廣告媒體宣傳,希望能夠吸引周圍的中高收入家庭前來購房。目前有5種媒體可供選擇，相關(guān)信息如表3.1所示。3.1、市場營銷問題對(duì)于這次活動(dòng)，公司有下列要求：（1）至少進(jìn)行10次電視廣告播放；（2）至少有5萬名潛在顧客被告知；（3）電視廣告投入不超過18000元。如何進(jìn)行媒體組合，才能使廣告質(zhì)量最高?【例3.1】某房地產(chǎn)開發(fā)公司正在建造一個(gè)湖邊小區(qū)，公司準(zhǔn)備投57解：(1)確定決策變量:設(shè)x1，x2，x3，x4，x5，分別表示日間電視、夜間電視、日?qǐng)?bào)、周末新聞雜志、電臺(tái)廣播五種媒體的使用次數(shù)。解：(1)確定決策變量:58（2）確定約束條件預(yù)算資金約束：總共花費(fèi)的廣告費(fèi)用不能超過公司的3萬元資金預(yù)算，即：1500x1+3000x2+400x3+1000x4+100x5≤30000電視廣告播放次數(shù)的限制：至少進(jìn)行10次電視廣告播放，即：

x1+x2≥10潛在顧客被告知度的限制：至少有50000名潛在顧客被告知，即：1000

x1+2000x2+1500x3+2500x4+300x5≥50000電視廣告投入資金的限制：電視廣告投入不超過l8000元，即:1500x1+3000x2≤18000媒體最高使用次數(shù)約束：x1≤15x2≤10x3≤25x4≤4x5≤30非負(fù)約束：x1，x2，x3，x4，x5≥0（2）確定約束條件59(3)確定目標(biāo)函數(shù)。此次活動(dòng)的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)廣告播放中產(chǎn)品的宣傳質(zhì)量最高，即：MaxZ=65x1+90x2+40x3+60x4+20x5(4)變量取值限制：x1,x2,x3,x4,x5≥0(3)確定目標(biāo)函數(shù)。此次活動(dòng)的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)廣告播放中產(chǎn)品的宣60綜上所述，該問題的線性規(guī)劃模型為：MaxZ=65x1+90x2+40x3+60x4+20x51500

x1+3000x2+400x3+1000x4+100x5≤30000x1+x2≥101000x1+2000x2+1500x3+2500x4+300x5≥500001500x1+3000x2≤18000s..tx1≤15x2≤10x3≤25x4≤4x5≤30x1，x2，x3，x4，x5≥0綜上所述，該問題的線性規(guī)劃模型為：613.2、財(cái)務(wù)管理問題（投資問題）例1、某公司在今后四年內(nèi)考慮以下四個(gè)投資項(xiàng)目選擇問題：項(xiàng)目甲：第二年初需投資，到第四年年末收回本利180%；項(xiàng)目乙：從第一年到第三年，每年年初需投資，并于次年年末收回本利120%；項(xiàng)目丙：從第一年開始每年年初可購買公債，于當(dāng)年年末歸還，并加息10%；項(xiàng)目?。旱谝荒瓿跣柰顿Y，到第二年年末收回本利135%；第三年初又投資，到第四年年末收回本利130%此外，為了使每年項(xiàng)目之間保持平衡性，要求每年年末回收的資金全部投資到第二年年初,另外項(xiàng)目甲每年的最大投資額將不超過8萬元，該部門現(xiàn)有投資資金30萬元。應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目在各年的投資額，使該公司在第四年年末擁有資金的本利總額達(dá)到最大？試建立該問題的線性規(guī)劃模型。3.2、財(cái)務(wù)管理問題（投資問題）例1、某公司在今后四年內(nèi)考慮62解：根據(jù)題意，可假設(shè)如下決策變量：第一年第二年第三年第四年項(xiàng)目甲：x12項(xiàng)目乙：x21x22x23

項(xiàng)目丙：x31x32x33x34

項(xiàng)目?。簒41x43解：63maxZ=180%x12+120%x23+110%x34+130%x43.

x21+x31+x41=30x12+x22+x32=110%x31s.t.x23+x33+x43=120%x21+110%x32+135%x41x34=120%x22+110%x33x12≤8x12,x21,x22,x23,x31,x32,x33,x34,x41,x43

≥0maxZ=180%x12+120%x23+110%x34+164

例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過A、B兩道加工工序。設(shè)該廠有兩種規(guī)格的設(shè)備能完成工序A，它們以A1、A2表示；有三種規(guī)格的設(shè)備能完成工序B，它們以B1、B2、B3表示。產(chǎn)品甲可在工序A和B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在工序A的任何一種規(guī)格的設(shè)備上加工，但完成工序B時(shí)，只能在設(shè)備B1上加工；產(chǎn)品丙只能在設(shè)備A2與B2上加工。已知在各種設(shè)備上加工的單件工時(shí)、各種設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)如表所示。另外已知產(chǎn)品甲、乙、丙的原料單價(jià)分別為0.25元/件、0.35元/件和0.5元/件，銷售單價(jià)分別為1.25元/件、2元/件和2.8元/件，要求制定最優(yōu)的產(chǎn)品加工方案，使該廠利潤最大。例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過65設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）甲乙丙AA15106000A2791210000BB1684000B24117000B374000原料費(fèi)(元/件)0.250.350.5單價(jià)(元/件)1.2522.8設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）甲乙丙AA66解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：甲：（A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)六種方案

乙：（A1，B1），（A2，B1）兩種方案丙：（A2，B2）一種方案

令xi表示采用第i種方案進(jìn)行加工的某種產(chǎn)品的數(shù)量(i=1,2,…,9)x1x2x3x4x5x6x7x8

x9Maxz=(1.25-0.25)(x1+x2+x3+x4+x5+x6)+(2-0.35)(x7+x8)+(2.8-0.5)x95(x1+x2+x3)+10x7≤60007(x4+x5+x6)+9x8+12x9≤10000s.t.6(x1+x4)+8x7+8x8≤40004(x2+x5)+11x9≤70007(x3+x6)≤4000xi≥0(i=1,2,…,9)解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：x167整理得：Maxz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+1.35x7+1.65x8+2.3x9

5x1+5x2+5x3+10x7≤60007x4+7x5+7x6+9x8+12x9≤10000s.t.6x1+6x4+8x7+8x8≤40004x2+4x5+11x9≤70007x3+7x6≤4000xi≥0(i=1,2,…,9)整理得：68

例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過A、B兩道加工工序。設(shè)該廠有兩種規(guī)格的設(shè)備能完成工序A，它們以A1、A2表示；有三種規(guī)格的設(shè)備能完成工序B，它們以B1、B2、B3表示。產(chǎn)品甲可在工序A和B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在工序A的任何一種規(guī)格的設(shè)備上加工，但完成工序B時(shí)，只能在設(shè)備B1上加工；產(chǎn)品丙只能在設(shè)備A2與B2上加工。已知在各種設(shè)備上加工的單件工時(shí)、各種設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)以及滿負(fù)荷操作時(shí)的設(shè)備費(fèi)用如表所示。另外已知產(chǎn)品甲、乙、丙的原料單價(jià)分別為0.25元/件、0.35元/件和0.5元/件，銷售單價(jià)分別為1.25元/件、2元/件和2.8元/件，要求制定最優(yōu)的產(chǎn)品加工方案，使該廠利潤最大。3.3、營運(yùn)管理問題之生產(chǎn)計(jì)劃問題例、永久機(jī)械廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均要經(jīng)過69設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）滿負(fù)荷時(shí)的設(shè)備費(fèi)用（元）甲乙丙A2791210000321BB1684000250B24117000783B374000200原料費(fèi)(元/件)0.250.350.5單價(jià)(元/件)1.2522.8設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）滿負(fù)荷時(shí)的70解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：甲：（A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)六種方案

乙：（A1,B1），（A2，B1）兩種方案丙：（A2,B2）一種方案

xi表示采用第i種方案進(jìn)行加工的某種產(chǎn)品的數(shù)量(i=1,2,…,9)x1x2x3x4x5x6x7x8

x9Maxz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+1.35x7+1.65x8+2.3x9

-300/6000(5x1+5x2+5x3+10x7)-321/10000(7x4+7x5+7x6+9x8+12x9)-250/4000(6x1+6x4+8x7)-783/7000(4x2+4x5+11x9)-200/4000(7x3+7x6)約束條件不變解：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：x171設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）設(shè)備加工費(fèi)（元/小時(shí)）甲乙丙AA151060000.05A27912100000.03BB16840000.06B241170000.10B3740000.05原料費(fèi)(元/件)0.250.350.5單價(jià)(元/件)1.2522.8思考！設(shè)備產(chǎn)品單件工時(shí)（小時(shí)/件）設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)（小時(shí)）設(shè)備加工費(fèi)72決策變量的另一種表示方法：根據(jù)題意，生產(chǎn)三種產(chǎn)品分別有如下幾種方案：甲：（A1，B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)六種方案乙：（A1，B1），（A2，B1）兩種方案丙：（A2，B2）一種方案設(shè)i=1,2,3分別表示甲、乙、丙三種產(chǎn)品；

j=1,2,….分別表示第j個(gè)方案；

xij表示第i種產(chǎn)品采用第j個(gè)方案進(jìn)行加工的產(chǎn)品的數(shù)量x11x12x13x14x15x16x21x22x31決策變量的另一種表示方法：x11x12733.3、營運(yùn)管理問題之外購/自制生產(chǎn)決策問題例、某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司有甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品都要經(jīng)過鑄造、機(jī)械加工和裝配三道工序，甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須由本廠鑄造才能保證質(zhì)量，有關(guān)情況如表所示，公司中可利用的總工時(shí)為：鑄造8000小時(shí)，機(jī)械加工12000小時(shí)和裝配10000小時(shí)。為了獲得最大利潤，甲乙丙三種產(chǎn)品各應(yīng)生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件有多少由本公司鑄造？有多少為外包協(xié)作？3.3、營運(yùn)管理問題之外購/自制生產(chǎn)決策問題例、某公司面臨一74工時(shí)與成本甲乙丙限制工時(shí)每件鑄造工時(shí)（小時(shí)）51078000每件機(jī)械加工工時(shí)（小時(shí)）64812000每件裝配工時(shí)（小時(shí)）32210000自行生產(chǎn)鑄件每件成本（元）354外包協(xié)作鑄件每件成本（元）56-----機(jī)械加工每件成本（元）213裝配每件成本（元）322每件產(chǎn)品售價(jià)（元）231816工時(shí)與成本甲乙丙限制工時(shí)每件鑄造工時(shí)51078000每件機(jī)械75解：設(shè)x1,x2,x3分別表示三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù),x4,x5分別為由外包協(xié)作鑄造再由本公司進(jìn)行機(jī)械加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)，則根據(jù)題意，得到原問題的數(shù)學(xué)模型為:Maxz=23(x1+x4)+18(x2+x5)+16x3-3x1-5x2-4x3-5x4-6x5

-2(x1+x4)-(x2+x5)-3x3-3(x1+x4)-2(x2+x5)-2x35X1+10x2+7x3≤8000s.t.6(x1+x4)+4(x2+x5)+8x3≤120003(x1+x4))+2(x2+X5)+2x3≤10000X1,x2,x3,x4,x5≥0Maxz=15x1+10x2+7x3+13x4+9x55X1+10x2+7x3≤8000s.t.6x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3X4+2x5≤10000X1,x2,x3,x4,x5≥0整理得：解：設(shè)x1,x2,x3分別表示三道工序都由本公司加工的甲、乙76例、某工廠要做100套鋼架，每套鋼架需要長度分別為2.9m，2.1m和1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m，問應(yīng)該如何下料，可使所用原料最??？解：做法一：截取法。

每根原材料中各截取一根組成一套，2.9+2.1+1.5=6.5

每根料頭0.9m,100根90m料頭，浪費(fèi)做法二：套裁法。3.3、營運(yùn)管理問題之合理下料問題例、某工廠要做100套鋼架，每套鋼架需要長度分別為2.9m772.92.11.5合計(jì)(m)料頭(m)

x1x2x3x4x5設(shè)xi(i=1,2,…5)表示按照方案i下料的原材料的根數(shù)，則該問題的數(shù)學(xué)模型如下：方案11037.40方案22017.30.1方案30227.20.2方案41207.10.3方案50136.60.82.92.11.5合計(jì)(m)料頭(m)78Minz=x1+x2+x3+x4+x5x1+2x2+x4≥100s.t.2x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0Minz=x1+x2+x3+x4+x579思考1、約束條件用等于號(hào)如何？2、如果問如何下料，可使料頭最少？思考1、約束條件用等于號(hào)如何？80例、某化工廠根據(jù)一項(xiàng)合同要為用戶生產(chǎn)一種用甲、乙兩種原料混合配制而成的特殊產(chǎn)品.甲、乙兩種原料都含有A、B、C三種化學(xué)成分，其含量（%）和單位成本以及按合同規(guī)定產(chǎn)品中三種化學(xué)成分的最低含量（%）限制如表所示.問廠方應(yīng)如何配制該產(chǎn)品，使得總成本達(dá)到最小？3.4、產(chǎn)品配方問題例、某化工廠根據(jù)一項(xiàng)合同要為用戶生產(chǎn)一種用甲、乙兩種原料混合81

原料化學(xué)成分甲乙產(chǎn)品成分最低含量A1234B232C3155單位成本32原料甲乙產(chǎn)品成分A1234B232C382解：(1)確定決策變量：設(shè)每單位該產(chǎn)品用x1單位甲原料和x2單位乙原料配制而成.

(2)所滿足的約束條件對(duì)化學(xué)成分A的要求：12x1+3x2≥4

對(duì)化學(xué)成分B的要求：2x1+3x2≥2

對(duì)化學(xué)成分C的要求：3x1+15x2≥5

配料平衡條件：x1+x2=1

(3)明確目標(biāo)函數(shù)：成本最小，即求

z=3x