矩陣?yán)碚撟鳂I(yè)4-2：線性變換(面積公式)矩陣?yán)碚撟鳂I(yè)4-2：線性變換(面積公式)矩陣?yán)碚撟鳂I(yè)4-2：線性變換(面積公式)矩陣?yán)碚撟鳂I(yè)4-2：線性變換(面積公式)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:線性變換下求有界區(qū)域面積的公式及論證摘要在上的一個(gè)任意形狀的有界區(qū)域經(jīng)過矩陣的線性變換后，面積由變?yōu)椤榱苏撟C變換后的面積與變換前的面積和變換矩陣的關(guān)系，本文根據(jù)微積分的相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)和論證了面積的變換公式。然后在matlab中對(duì)圓變換為橢圓的特例情況進(jìn)行了編程驗(yàn)證。最終證明了兩個(gè)區(qū)域的面積的關(guān)系是正確的。關(guān)鍵字：線性變換有界區(qū)域面積關(guān)系引言矩陣的線性變換可以改變圖形的形狀，同時(shí)圖形的面積也發(fā)生了相應(yīng)的改變。那么，變換后的面積與變換前的面積和變換矩陣有什么關(guān)系呢？本文結(jié)合了線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)微積分的相關(guān)知識(shí)，對(duì)面積的變換公式進(jìn)行了推導(dǎo)和論證，并在matlab中對(duì)實(shí)際的算例編程驗(yàn)證。最終證明了兩個(gè)區(qū)域的面積的關(guān)系為。這個(gè)結(jié)論在《線性變換在求空間區(qū)域面積、體積中的應(yīng)用》中也有說明。問題概述如下圖所示，在上有一個(gè)有界區(qū)域，其面積為，該區(qū)域經(jīng)過線性變換，得到新的區(qū)域，記為，面積為。圖1試論證兩個(gè)區(qū)域的面積存在如下關(guān)系 (1)在《線性變換在求空間區(qū)域面積、體積中的應(yīng)用》這篇文章中明確地給出了這樣的結(jié)論。在中，設(shè)是由2×2矩陣確定的線性變換，為中一面積有限的任意形狀的區(qū)域。利用微積分的思想，將分割成若干小正方形。當(dāng)小正方形足夠小時(shí)，這些小正方形的面積總和就充分逼近的面積。在線性變換下，這些小正方形的面積總和就充分逼近的面積，再通過取極限就有。其中：表示的面積；表示的面積。由此可知用面積積分的方法即可驗(yàn)證以上結(jié)論，下面進(jìn)行論證。線性變換下求有界區(qū)域面積公式的論證由微積分的相關(guān)知識(shí)可知變換前的圖形面積為(2)同理，變換后的圖形面積為(3)二階變換矩陣存在兩個(gè)特征值和，使得，帶入（3）式得 (4)又由行列式與特征值的關(guān)系可知 (5)所以可以得出結(jié)論(6)算例分析由于不規(guī)則圖形面積不易計(jì)算，所以以圓變換為橢圓為例驗(yàn)證以上面積公式，并通過在matlab中編程（程序詳見附錄）實(shí)現(xiàn)。如圖2，紅色的單位圓面積為(7)給出一個(gè)矩陣(8)在線性矩陣的作用下單位圓變換為一個(gè)橢圓，如圖中綠色圖形。圖2計(jì)算得到橢圓長(zhǎng)、短半軸分別為，。由橢圓面積公式可以求得面積為 (9)而由本文驗(yàn)證的公式（1），可知，的行列式為，所以橢圓面積 (10)由此證明了面積公式（1）是正確的（若，則需要取絕對(duì)值）。結(jié)論有界區(qū)域，經(jīng)過線性變換，（）后，其面積由變成新的區(qū)域的面積。經(jīng)過論證和實(shí)例計(jì)算，證明兩個(gè)區(qū)域面積的關(guān)系為。參考文獻(xiàn)[1]鄒麗麗.線性變換在求空間區(qū)域面積、體積中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊,2012,3:007.[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用