空間向量與立體幾何第三章空間向量與立體幾何第三章3.1空間向量及其運(yùn)算第三章3.1空間向量及其運(yùn)算第三章3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第三章3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第三章課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練易錯(cuò)疑難辨析課后強(qiáng)化作業(yè)思想方法技巧課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練課前自主預(yù)習(xí)課前自主預(yù)習(xí)眾所周知，地球上的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的經(jīng)度和緯度，如山東省的省會(huì)濟(jì)南市就位于北緯36度40分，東經(jīng)117度00分，而我們的首都北京的經(jīng)度是東經(jīng)116度42分，緯度是北緯39度54分．經(jīng)度和緯度是地球上任意點(diǎn)的“坐標(biāo)”，無(wú)獨(dú)有偶，在數(shù)學(xué)上我們用到的很多量(包括向量)也有坐標(biāo)，今天我們要學(xué)習(xí)的就是空間向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算問(wèn)題.眾所周知，地球上的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的經(jīng)度和緯度，如山東省的高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)表示(1)單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引________向量i，j，k，這三個(gè)互相________的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底{i，j，k}，這個(gè)基底叫做單位正交基底．單位向量i，j，k都叫做_______________．單位垂直坐標(biāo)向量1.空間向量的坐標(biāo)表示單位垂直坐標(biāo)向量(2)空間向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在________實(shí)數(shù)組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2

j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組_____________叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．上式可簡(jiǎn)記作a＝___________________.名師點(diǎn)撥：向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，點(diǎn)A(x，y，z)．唯一(a1，a2，a3)

(a1，a2，a3)(2)空間向量的坐標(biāo)表示唯一(a1，a2，a3)(a1，a(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b3．空間向量平行和垂直的條件設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a∥b(b≠0)?__________?_____________________________，當(dāng)b1，b2，b3都不為0時(shí)，a∥b?_____________.(2)a⊥b?________?_______________________.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a＝λba·b＝0高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算名師點(diǎn)撥：(1)空間向量的坐標(biāo)是空間向量的一種形式．在坐標(biāo)形式下的模長(zhǎng)公式，夾角公式，向量平行和垂直的條件與在普通基底下相同，僅僅是形式不同；(2)空間向量在坐標(biāo)形式下同樣可以用來(lái)求距離(長(zhǎng)度)，夾角，證明垂直和平行關(guān)系等．高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算2．下列各組向量不平行的是(

)A．a(chǎn)＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．c＝(0,1,0)，d＝(1,0,1)C．e＝(0,1，－1)，f＝(0，－1,1)D．g＝(1,0,0)，h＝(0,0,0)[答案]

B[解析]

A項(xiàng)中b＝－3a，a∥b，C項(xiàng)中f＝－e，f∥e，D項(xiàng)中h＝0，∴h∥g.2．下列各組向量不平行的是()3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝(

)A．3 B．4C．2 D．1[答案]

C[解析]

∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向量n使n⊥a，且n⊥b.5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向課堂典例講練課堂典例講練空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[思路分析]

利用平行和垂直的充要條件列式求解．利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與平行、垂直有關(guān)的問(wèn)題

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．利用空間向高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值．利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角及長(zhǎng)度(距離)問(wèn)題

[思路分析]

正確利用兩向量的夾角公式及模長(zhǎng)公式． 如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算[方法總結(jié)]

利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的解題步驟：(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；(2)利用題設(shè)條件寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．求距離則需借助模長(zhǎng)公式，但須注意點(diǎn)的坐標(biāo)的準(zhǔn)確性．[方法總結(jié)]利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的解題高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算易錯(cuò)疑難辨析易錯(cuò)疑難辨析忽視兩個(gè)向量平行的充要條件中的隱含條件 已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，則m＝________.

忽視兩個(gè)向量平行的充要條件中的隱含條件[正解]

∵a∥b，且b≠0，∴存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，即4－2m＝4λ，m－1＝λ(2－2m)，m－1＝λ(2－2m)，解得m＝3或m＝1.[思路分析]

在解題時(shí)，應(yīng)注意條件等價(jià)轉(zhuǎn)化，挖掘題中的隱含條件．高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算思想方法技巧思想方法技巧待定系數(shù)法解決向量坐標(biāo)問(wèn)題 已知a＝(1，－2,1)，b＝(1,1,2)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，求b1.

待定系數(shù)法解決向量坐標(biāo)問(wèn)題

[方法總結(jié)]

(1)如果已知向量的坐標(biāo)，直接運(yùn)用向量的長(zhǎng)度及向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式，求得向量長(zhǎng)度和向量的夾角，反之亦然；(2)運(yùn)用向量的長(zhǎng)度及向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式，可以解決三角形中的邊長(zhǎng)、內(nèi)角及面積等問(wèn)題；(3)在解決向量坐標(biāo)的問(wèn)題時(shí)，常利用待定系數(shù)法．

課后強(qiáng)化作業(yè)（點(diǎn)此鏈接）課后強(qiáng)化作業(yè)空間向量與立體幾何第三章空間向量與立體幾何第三章3.1空間向量及其運(yùn)算第三章3.1空間向量及其運(yùn)算第三章3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第三章3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第三章課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練易錯(cuò)疑難辨析課后強(qiáng)化作業(yè)思想方法技巧課前自主預(yù)習(xí)方法警示探究課堂典例講練課前自主預(yù)習(xí)課前自主預(yù)習(xí)眾所周知，地球上的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的經(jīng)度和緯度，如山東省的省會(huì)濟(jì)南市就位于北緯36度40分，東經(jīng)117度00分，而我們的首都北京的經(jīng)度是東經(jīng)116度42分，緯度是北緯39度54分．經(jīng)度和緯度是地球上任意點(diǎn)的“坐標(biāo)”，無(wú)獨(dú)有偶，在數(shù)學(xué)上我們用到的很多量(包括向量)也有坐標(biāo)，今天我們要學(xué)習(xí)的就是空間向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算問(wèn)題.眾所周知，地球上的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的經(jīng)度和緯度，如山東省的高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)表示(1)單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引________向量i，j，k，這三個(gè)互相________的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底{i，j，k}，這個(gè)基底叫做單位正交基底．單位向量i，j，k都叫做_______________．單位垂直坐標(biāo)向量1.空間向量的坐標(biāo)表示單位垂直坐標(biāo)向量(2)空間向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在________實(shí)數(shù)組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2

j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組_____________叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．上式可簡(jiǎn)記作a＝___________________.名師點(diǎn)撥：向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，點(diǎn)A(x，y，z)．唯一(a1，a2，a3)

(a1，a2，a3)(2)空間向量的坐標(biāo)表示唯一(a1，a2，a3)(a1，a(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b3．空間向量平行和垂直的條件設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a∥b(b≠0)?__________?_____________________________，當(dāng)b1，b2，b3都不為0時(shí)，a∥b?_____________.(2)a⊥b?________?_______________________.a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a＝λba·b＝0高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算名師點(diǎn)撥：(1)空間向量的坐標(biāo)是空間向量的一種形式．在坐標(biāo)形式下的模長(zhǎng)公式，夾角公式，向量平行和垂直的條件與在普通基底下相同，僅僅是形式不同；(2)空間向量在坐標(biāo)形式下同樣可以用來(lái)求距離(長(zhǎng)度)，夾角，證明垂直和平行關(guān)系等．高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算2．下列各組向量不平行的是(

)A．a(chǎn)＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．c＝(0,1,0)，d＝(1,0,1)C．e＝(0,1，－1)，f＝(0，－1,1)D．g＝(1,0,0)，h＝(0,0,0)[答案]

B[解析]

A項(xiàng)中b＝－3a，a∥b，C項(xiàng)中f＝－e，f∥e，D項(xiàng)中h＝0，∴h∥g.2．下列各組向量不平行的是()3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝(

)A．3 B．4C．2 D．1[答案]

C[解析]

∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向量n使n⊥a，且n⊥b.5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向課堂典例講練課堂典例講練空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.[思路分析]

利用平行和垂直的充要條件列式求解．利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與平行、垂直有關(guān)的問(wèn)題

若a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．利用空間向高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值．利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角及長(zhǎng)度(距離)問(wèn)題

[思路分析]

正確利用兩向量的夾角公式及模長(zhǎng)公式． 如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算高中數(shù)學(xué)人教版選修21配套課件：314空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算[方法總結(jié)]

利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的解題步驟：(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；