2011年高考《隨機(jī)變量及其分布列》試題精選、選擇題物理書(shū)1本.若將其隨機(jī)的并排擺放到1.（浙江卷理科9）有5本不同的書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)物理書(shū)1本.若將其隨機(jī)的并排擺放到書(shū)架的同一層上，則同一科目的書(shū)都不相鄰的概率(C)35(C)3525【解析】由古典概型的概率公式得2A；A；A；A3A；A；2.（遼寧卷理科5）從1,2,3,A555中任取2各不同的數(shù)，事件A="取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B="取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P（BlA=225斛神由題氫吶:6中二.p幽二芻二-L曲叩I崗」1ABL1.司5Cj10 PA43.（全國(guó)新課標(biāo)卷理科4）有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(A)（B(A)（B）2(D)解析：因?yàn)榧滓覂晌煌瑢W(xué)參加同一個(gè)小組有以，甲乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)小組的概率為3種方法，兩位同學(xué)個(gè)參加一個(gè)小組共有 339解析：因?yàn)榧滓覂晌煌瑢W(xué)參加同一個(gè)小組有以，甲乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)小組的概率為3種方法，兩位同學(xué)個(gè)參加一個(gè)小組共有 339種方法；所3193點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合、概率的概念及其運(yùn)算和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。4.（廣東理6）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要在贏一次就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（A.B.C.D.A.B.C.D.34【解析】D.由題得甲隊(duì)獲得冠軍有兩種情況，第一局勝或第一局輸?shù)诙謩伲约钻?duì)獲得冠軍的概率3一.所以選D.4.當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正5..當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為 0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576_Q]~~-tn— —答案：B解析：系統(tǒng)正常工作概率為c20.90.8(10.8)0.90.80.80.864,A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576_Q]~~-tn— —答案：B解析：系統(tǒng)正常工作概率為c20.90.8(10.8)0.90.80.80.864,所以選B.6.(陜西卷理科10)甲乙兩人一起去“2011西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從 1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀 1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是(A- (B)— (C)— (D)—36 9 36 6【解析】：各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽有c6c6c5c5c4c4c3c3種，且等可能，最后小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)有c6c5c5c4c4c3c3種，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是1 1。11111C6c5c5C4c4c3c3

p c6c6c5c5c4c4c3c31一,故選D67.(四川卷理科12)在集合1,2,3,4,5中任取一個(gè)偶數(shù)a和一個(gè)奇數(shù)b構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 a=(a,b).從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為n,其中面積不超過(guò).4的平行四邊形的個(gè)數(shù)為(A)— (B)1 (C)-15 3 5(D)答案：B解析：基本事件：從(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)解析：基本事件：從(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)選取2個(gè)，nCs3515.其中面積為2的平行四邊形的個(gè)數(shù)(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面積為4的平行四邊形的為平行四邊形的個(gè)數(shù)m5 1⑵翅2,5).2,3)；m=3+2=5故n-3.8.(福建卷理科4)如圖，矩形ABCD43,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD＞］部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于B.A.

B.二、填空題：1.（浙江卷理科15）某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷，假定該畢業(yè)生2 ,得到甲公司面試的概率為2,得到乙、3記為該畢業(yè)生得到面試得公司個(gè)數(shù)。若P(0)1一，則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望E12P(0)P(2)P( 0)(1 2)(1 P)2112V，P(21(13211)2 ,得到甲公司面試的概率為2,得到乙、3記為該畢業(yè)生得到面試得公司個(gè)數(shù)。若P(0)1一，則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望E12P(0)P(2)P( 0)(1 2)(1 P)2112V，P(21(13211)2(1-)2(1p2

l)2(1的取值為0,1,2,31 2 11-)(1 -)(1 -)2 3 22122.（江西卷理科2)412|(152—122)2(1122、11 5 ~ ?一) ,P(3)322125412123221212）小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓周末不在家看書(shū)的概率為【解析】小波周末不在家看書(shū)包含兩種情況1-率為416133.（湖南卷理科1615）如圖4,EFGH^以。為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGHT'B表小事件“豆子落在扇周末不在家看書(shū)的概率為【解析】小波周末不在家看書(shū)包含兩種情況1-率為416133.（湖南卷理科1615）如圖4,EFGH^以。為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGHT'B表小事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1）PAPBA2答案：PA—PBA . S2 解析：（1）是幾何概型：PA——一；（2）是條件概率:PBAPAB評(píng)析：本小題主要考查幾何概型與條件概率的計(jì)算4.（湖北卷理科12）在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到1瓶已過(guò)保質(zhì)期的概率為（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）一、， 1 ，一，，一…..一，， 、， 1 一,，、一，，，，心的距離大于1,則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于 1,則去打籃球；否則，在家看書(shū)，則小波2 4, 13【答案】1316是去看電影；二是去打籃球；所以小波周末不在家看書(shū)的概11d%1 2C30 145答案：-28解析：因?yàn)?0瓶飲料中未過(guò)期飲料有30-3=27瓶，故其概率為P1455.（重慶卷理科13）將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為一一ii解析：H。硬幣投擲6次，有三類情況，①正面次數(shù)比反面次數(shù)多；②反面次數(shù)比正面次數(shù)多；③正面321次數(shù)而后反面次數(shù)一樣多；，③概率為1次數(shù)而后反面次數(shù)一樣多；，③概率為c；1235一,①②的概率顯然相同，故①的概率為1616112 326.(安徽卷江蘇5)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是1【答案】13【解析】從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，所有可能的取法有 6種，滿足“其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍”的所有可能的結(jié)果有 (1,2),(2,4)共2種取法，所以其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是2 1.3.(福建卷理科13)盒中裝有形狀、大小完全相同的 5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)。若從中隨機(jī)3取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于?！敬鸢浮?5.(上海卷理科9)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量 的概率分布律如下表x123P(=x)?!?請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算 的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無(wú)法完全看清，且兩個(gè)”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案 E。【答案】2.(上海卷理科12)隨機(jī)抽取9個(gè)同學(xué)中，至少有2個(gè)同學(xué)在同一月出生的概率是(默認(rèn)每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001)?！敬鸢浮?.985三、解答題：.(全國(guó)卷理科18)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為 0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3,設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立(I)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 l種的概率;(n)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)。求的期望。0.3,解得p0.6【解析】：設(shè)該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為 p,由題：0.3,解得p0.6(I)設(shè)所求概率為R,則p=1(10.5)(10.6) 0.8.故該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的l種的概率為0.8.(n)甲乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為 1-0.8=0.2.設(shè)甲乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)為

(100,0.2),(100,0.2),E1000.220答：t^地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的 l種的概率為0.8, 的期望值是20。.（四川卷理科18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多。 某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足是每車每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）。有11—,,,,1-;兩小時(shí)以上4,2(I)求出甲、乙所付租車費(fèi)用相同的概率;(D)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望解析:(1)所付費(fèi)用相同即為0,2,4元。一， 11 1設(shè)付0元為P111,428付2元為P2付11—,,,,1-;兩小時(shí)以上4,2(I)求出甲、乙所付租車費(fèi)用相同的概率;(D)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望解析:(1)所付費(fèi)用相同即為0,2,4元。一， 11 1設(shè)付0元為P111,428付2元為P2付4元為P3116則所付費(fèi)用相同的概率為516(2)設(shè)甲,乙兩個(gè)所付的費(fèi)用之和為可為0,2,4,6,8P(0)P(2)P(4)P(6)41414141P(8)24112411621611 52416316人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)則車騎游。 各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為11且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為 1,」；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)。24分布列0246815531P816161616.（山東卷理科18）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員 A B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì) A,乙對(duì)B,丙對(duì)C各一盤，已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5 ，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。

(I)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率;(n)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望E.【解析】(I)紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為 0.60.50.520.40.50.50.60.50.5=0.55.(n) 取的可能結(jié)果為0,1,2,3,則P(0)0.40.50.5=0.1; P(1)0.60.50.5+0.40.50.5+0.40.50.5=0.35;P(2)0.60.50.520.40.50.5=0.4;P(3)0.60.50.5=0.15.所以的分布列為0123P0.10.350.40.15數(shù)學(xué)期望E=0X0.1+1X0.35+2X0.4+3X0.15=1.6..(天津卷理科16)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有 3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出 2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(I)求在一次游戲中，(i)摸出3個(gè)白球的概率；(ii)獲獎(jiǎng)的概率；(n)求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).【解析】本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力 ^(D(i)設(shè)“在一次游戲中摸出i(D(i)設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件A(i0,1,2,3)，則PA)c；c2

c；c；(ii)設(shè)“在一次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B,則B=A2又p(A)c3c2c又p(A)c3c2c2 C32C2C2C；1 -AL一,且A2,A3互斥,2所以1P(B)P(A2)P(a3)12710(n)由題意可知X的所有可能取值為 0,1,,2,、， 72 9 -7、， 72 9 -7P(X=0)=(1 )2 ,P(X=1)=C2 (110 100 10170)50,P(X=2)=(萬(wàn)49100,所以X的分布列是X012P9214910050100

…… 9 21 497X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0——1一+2——=-.100 50 1005.（江西卷理科16）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從 8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力.（1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望.解析：（1）X的所有可能取值為0,1,2,3,4,i4i所以E(Y)35007017070280070i4i所以E(Y)35007017070280070167053

2100—2280.70所以此員工工資的期望為2280元.本題考查排列、組合的基礎(chǔ)知識(shí)及概率分布、數(shù)學(xué)期望.且申.（重慶卷理科17）某市公租房房屋位于A.B.C三個(gè)地區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房屋,且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任 4位申請(qǐng)人中（I）若有2人申請(qǐng)A片區(qū)房屋的概率；（n）申請(qǐng)的房屋在片區(qū)的個(gè)數(shù)的 分布列與期望。解析：（I）所有可能的申請(qǐng)方式有 34種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式有C：|22種，從而恰有2人申請(qǐng)有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為827（n）的所有可能值為1,2,3.又34一,P2734一,P27C3242341427，34綜上知， 的分布列為:TOC\o"1-5"\h\zp 1 14 427 27 91 14 465從而有e1—2 3——27 27 9277.（湖南卷理科18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變） .設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)由該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至.3件，否則不進(jìn).貨..將頻率視為概率.求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品視為件數(shù)， 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望????解： P“當(dāng)天商店不進(jìn)貨” =P“當(dāng)天商品銷售量為0件”+P“當(dāng)天銷售量為1件”工g3202010由題意知，X的可能取值為2,3.PX2PX2P“當(dāng)天銷售量為1件”204PX3PX3P”當(dāng)天商品銷售量為0件”+P“當(dāng)天銷售量為2件”+P+P“當(dāng)天銷售量為3件”工_9_二32020204故X的分布列為X23P14341 311所以X的數(shù)學(xué)期望為EX2-3--.4 44評(píng)析：本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法 .求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法，以及互斥事件概率的求法.8.（陜西卷理科20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑 L1和L2 ，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表:

時(shí)間(分鐘)10^2020^3030A4040、5050M60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站。(I)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(n)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(duì)(I)的選擇方案，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望。【解析】：(I)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”， Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i1,2用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得 P(A1)0.10.20.30.6,P(A2) 0.1 0.4 0.50；P(A)P(A2)甲應(yīng)選擇Lii*P(Bi) 0.1 0.2 0.30.20.8,P(B2) 0.10.40.4 0.9PP(Bi) P(Bz)乙應(yīng)選擇L2(n)A、B分別表示針對(duì)(I)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站， 由(I)知P(A)0.6P(B)0.9又由題意知,ABP(B)0.9又由題意知,AB獨(dú)立,P(X0)P(AB)P(A)P(B)0.40.10.04P(X1)P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.40.90.60.10.42P(X)P(AB)P(A)P(B)0.60.90.54X的分布列為X012P0.040.420.54EX00.0410.4220.541.59.(遼寧卷理科19)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲,另外n小塊地種I1品種乙.(I)假設(shè)n=4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(II)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成/