第三章高階常微分方程本章主要內容1.高階線性微分方程解的性質與構成(n階)齊線性(微分)方程通解的構造(特解如何構成通解的).非齊線性方程通解如何構成.2.解的求法常系數(shù)線性方程：四種求解方法.變系數(shù)齊線性方程：冪級數(shù)法(以二階為例，可擴充).3.一般高階方程的降階手段——線性微分方程的一般理論

§3.1線性微分方程的一般理論討論非齊線性方程和它對應的齊線性方程它們的初始條件是定理1定理2(疊加原理)也是(4.2)的解.定理3Wronsky行列式此定理不可逆.若這n個函數(shù)是方程(4.2)的n個解，則

注

由下面定理4知，它這時可逆.對于非齊線性方程我們首先有兩個簡單的性質：性質1性質2方程(4.1)的任意兩個解之差必為方程(4.2)的解.定理7(非齊方程通解結構)是方程(4.1)的某一解，則方程(4.1)的通解是方程(4.1)的通解具有形式解組則(4.2)的通解是由于方程(4.1)與(4.2)關系密切，我們希望非齊線性我們有定理8

方程組非齊線性方程的常數(shù)變易法解出的積分得代入(4.16)，得非齊線性方程(4.1)的通解程的基本解組是cost,sint.解用常數(shù)變易法.令通解形式解得積分得代入上面，得通解例1解出于是代入通解形式，得原方程通解1.實變量復值指數(shù)函數(shù)的定義：可推出2.實變量復值函數(shù)極限定義：連續(xù)定義：4.2.1實變量復值函數(shù)——預備知識導數(shù)定義：5.結論實變量復值函數(shù)的極限、連續(xù)、導數(shù)定義用其實部、虛部的實定義；實變量復值函數(shù)導數(shù)的運算規(guī)則與實變量實值函數(shù)完全類似；實變量復值指數(shù)函數(shù)具有與實值指數(shù)函數(shù)相應的運算性質.定理9若齊線性方程(4.2)中所有系數(shù)是它的復值解，則定理10非齊線性微分方程和的解.4.2.2常系數(shù)線性方程的解法Ⅰ.求常系數(shù)齊線性方程通解的特征根法Ⅱ.求常系數(shù)非齊線性方程特解的比較系數(shù)法Ⅲ.Laplace變換法Ⅰ.求常系數(shù)齊線性方程通解的特征根法這時，方程為我們有理由希望它有指數(shù)函數(shù)形式的解代入方程，有的根.這個方程稱為(4.19)對應的特征根.特征方程,它的根稱為1特征根是單根的情形.

它們是線性無關的，從而組成方程的基本解組.這時，若根成對出現(xiàn))，它們對應方程(4.19)的兩個實值解2特征根有重根的情形.個線性無關的解若其它的特征根方程(4.19)還有解它們一共n個解,是線性無關的,構成了(4.19)的基本解組.也是k重復根，我們將用以下的2k個實值解來替代：即求得特征根故通解為例3解特征方程是特征根是故通解為歐拉方程可經(jīng)變換化為常系數(shù)齊線性方程.例4解且有［附］Ⅱ.求常系數(shù)非齊線性方程特解的比較系數(shù)法討論方程在實際應用中最廣泛而常見的右端函數(shù)是數(shù)是m.注意，這時代數(shù)方程(4.20)仍然稱為(4.32)對應的特征方程.1.式代入方程，用比較t的同次項系數(shù)來確定.解對應的特征方程是2.方程(4.32)有如下形式的特解例5解特解形式為這是最重要的一步，其余略.解特征方程為式為其余步驟略.例7例6解法一不是特征根.故特解形式為代入原方程，化簡得例8通解是解法二因為右端函數(shù)應用定理10的結論，先求方程的復值特解，再取其實部，就是原方程的解.特解形式為例9質點振動(單擺的振動方程)我們分下面四種情形來討論：1無阻尼自由振動2有阻尼自由振動3無阻尼強迫振動4有阻尼強迫振動它的特征方程為若取1無阻尼自由振動則通解可寫成這時單擺的運動以正弦函數(shù)描述，是t的周期函數(shù)，稱為為圓頻率.特征方程是特征根是方程有不同形式的解.（1）2有阻尼自由振動這時方程的通解為這時，擺的運動是一種衰減的振動，“振幅”是絕對值隨t

實根.方程的通解為這是不起振的衰減運動，圖形如下：這時方程的通解為這也不起振的衰減運動，圖形如上類似.或方程有特解形如方程的通解是(1)3無阻尼強迫振動它由兩部分組成：第一部分是系統(tǒng)的無阻尼固有振動，第二部分是外力引起的強迫振動；后者在外力圓頻率p愈接代入方程，比較同類項系數(shù)，得這時，方程的通解是(2)共振現(xiàn)象.形式代入方程，比較同類項系數(shù)求得M和N，代入上式，再寫成更具物理意義的故通解為4有阻尼強迫振動這個式子說明，擺的運動由兩部分疊加而成：第一部分是有阻尼的自由振動，是系統(tǒng)本身的固有振動，它隨時間的增長而衰減；第二部分是外力引起的強迫振動，振動頻率與外力的一樣，振幅不隨時間增長而衰減，稱為“長期項”.我們可以研究外力的圓頻率p取什么值時，所引起需討論p取何值時，函數(shù)達到最小值.結論是：只要頻率p稱為共振頻率，所產(chǎn)生的現(xiàn)象也叫共振現(xiàn)象.Ⅲ.Laplace變換法

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定義定義域原函數(shù)，象函數(shù)反過來拉氏反變換.拉氏變換，可表示為例10解(見拉氏變換表).2

基本性質(1)拉氏變換線性性質：(2)原函數(shù)的微分性質：(3)拉氏反變換的線性性質：例11求方程解因此解為例12解反查表將問題化為再取拉氏變換反查拉氏表，可得再回到自變量t，得所要求的解例13解由分解式得故反查表得前一項是非齊線性方程的特解,后兩項是齊線性方程的通解.這些例子表明，拉氏變換法的特點是：1。依靠拉氏變換表，把解線性微分方程的積分運算轉化為代數(shù)運算；2?？梢淮涡郧蟪鲋付ǔ跏紬l件的特解；3。也可求解常系數(shù)線性微分方程的通解.4.2.3求變系數(shù)齊線性方程特解的冪級數(shù)法我們以二階變系數(shù)齊線性方程定理11例14解初始條件，使解的展開式中因此可設解的級數(shù)形式為則將它們代入原方程，合并x的各同次冪的項，并令各項系數(shù)等于零，得到解得即這就是所要求的解.例15求解方程解這雖是一階方程，也可沿用定理11所提供的理論依據(jù)，但有兩點不符合條件：(1)寫成令則程組，決定§3.3一般高階方程的的降階手段一般的n階高階方程沒有一般性的求解方法，但我們如果能把它的階數(shù)降下來，就增加了求解的可能性.下面我們介紹三種可降階的情形：2方程不顯含自變量t，呈形狀3齊線性變系數(shù)方程若已知它的k個線性無關的特解，可通過一系列同類型的變換，使方程降低k階，而仍保持齊線性性質.1這時，只要令若能得它的通解例1解積分得于是2方程不顯含自變量t，呈形狀階方程例2解或積分后得所以例3第二宇宙速度的計算火箭能克服地球的引力，到外空間繞其它星球運行所需的最小發(fā)射速度,稱為第二宇宙速度.它是如何計算的?解以M和m分別表示地球和火箭的質量，r表示地球的中心到火箭重心間的距離；把火箭發(fā)射近似比作物體上拋運動.由牛頓萬有引力定律，有由牛頓第二定律，有兩者聯(lián)系起來，考慮加速度是負的，得或解得代入初始條件，定出故解為任意小，