第二章靜電場習(xí)題解答第1頁

依據(jù)前面內(nèi)容討論知道：在所考慮區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布時，可用Laplace'sequation求解場分布；在所考慮區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時，且用Poisson‘sequation求解場分布。

假如在所考慮區(qū)域內(nèi)只有一個或多個點電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面，這類問題又怎樣求解場分布？這就是本節(jié)主要研究一個問題。處理這類問題一個特殊方法稱為—鏡象法。第2頁

1、鏡象法基礎(chǔ)問題

在點電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時，空間靜電場是由點電荷和導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)束縛電荷共同產(chǎn)生。

在所求場空間中，導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)極化電荷對場點而言能否用場空間以外區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個或多個假想電荷來代替呢？第3頁

光學(xué)理論給我們啟發(fā)，看過哈哈鏡人會有這么印象：平面鏡內(nèi)象與物大小一樣，凸面鏡內(nèi)象比物小，凹面鏡內(nèi)象比物大。

當(dāng)我們把點電荷作為物，把導(dǎo)體或介質(zhì)界面作為面鏡，那么導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)極化電荷就可作為我們所說象然后把物和象在場點處貢獻迭加起來，就是我們討論結(jié)果。第4頁

鏡象法理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實質(zhì)是在所研究場域外適當(dāng)?shù)胤?，用實際上不存在“象電荷”來代替真實導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)極化電荷對場點作用。在代替時候，必須確保原有場方程、邊界條件不變，而象電荷大小以及所外位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation和邊界條件決定。2、鏡象法理論基礎(chǔ)這里要注意幾點：a)唯一性定理要求所求電勢必須滿足原有電荷分布所滿足Poisson'sequationorLaplace'sequation。第5頁所以，在所研究場域內(nèi)不可放置象電荷，也就是說，象電荷必須放在研究場域外。c)象電荷是虛構(gòu)，它只在產(chǎn)生電場方面與真實感應(yīng)電荷或極化電荷有等效作用。而其電量并不一定與真實感應(yīng)電荷或真實極化電荷相等，不過在一些問題中，它們卻恰好相等。b)因為象電荷代替了真實感應(yīng)電荷或極化電荷作用，所以放置象電荷后，就認為原來真實導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在。也就是把整個空間看成是無界均勻空間。而且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場域介電常數(shù)。第6頁

d)鏡象法所適應(yīng)范圍是：①場區(qū)域電荷是點電荷，無限長帶電直線；②導(dǎo)體或介質(zhì)邊界面必是簡單規(guī)則幾何面（球面、柱面、平面）。第7頁用鏡象法解題大致可按以下步驟進行：

a)正確寫出電勢應(yīng)滿足微分方程及給定邊界條件；

b)依據(jù)給定邊界條件計算象電荷電量和所在位置；

c)由已知電荷及象電荷寫出勢解析形式；

d)依據(jù)需要要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。3、鏡象法詳細應(yīng)用第8頁[例1]接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷，ySoaQx（1）界面為平面情況

下面按界面形狀不一樣分類舉例討論：求空間中勢分布。其電量為Q，距板a處，第9頁應(yīng)電荷，右半空間電勢必須滿足以下條件：Solution:依據(jù)靜電屏蔽可判定接地導(dǎo)體板左半空間沒有電場。右半空間電場是Q及S面上感應(yīng)電荷面密度共同產(chǎn)生。以假想點電荷Q'等效地代替感第10頁為了滿足方程(1)，假想電荷Q'必須在左半空間內(nèi)，這么才能使原方程不變，由(2)、(3)可求出Q'位置及大小，等效圖為θabr'ryxRP(x,y,z)Q(a,0,0)Q'(-b,0,0)

所以，在右半空間任一點電勢為：第11頁這里因為：第12頁故有：由(3)式得到，要使該式成立，只有故得到第13頁（2）界面為球面情況[例3]有二分之一徑為Ro接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>Ro)處有一點電荷Q，求空間電勢分布。aQRoSolution:取球心為坐標(biāo)原點，球心到點電荷Q方向為x軸，設(shè)Q坐標(biāo)為（a,0,0)。依據(jù)靜電平衡條件。球內(nèi)電勢為零。故只討論外空間電勢即可。第14頁球外空間電勢由Q及球面上感應(yīng)電荷共同激發(fā)，其電勢所滿足定解條件為：用一個象電荷Q'來代替球面上感應(yīng)電荷，為了不改變原方程，Q'必須在球內(nèi)，并距球心為b，故等效為：第15頁球外空間一點電勢為RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ第16頁在b<R0區(qū)域，不論Q'取任何值，其解都滿足方程和在無窮遠處邊界條件?，F(xiàn)在問題是如何調(diào)整Q'和b數(shù)值使得解也滿足(2)式。所以，把(2)式用于其解，則則有：第17頁式中，左邊為一常數(shù)，右邊含有變量，對任何值都要使上式成立，只有使兩邊都等于零，即移項得到將(6)式代入(5)式得由(4)式得第18頁解此二次方程，得到將此代入(6)式，即有第19頁分析這里解形式，可知b=a不符合物理要求，因為此時Q‘在球外空間，改變了原方程，故b=a及Q’=±Q應(yīng)該舍去。又因為(2)式要求，不符合要求。至此取下面值才是符合要求解。第20頁所以，球外空間任一點電勢為第21頁（3）界面為劈形情況有兩個相交接地導(dǎo)體平面，其夾角為，若在所夾區(qū)域內(nèi)有一電量為Q點電荷，求以下情況下所夾區(qū)域內(nèi)電勢：Q第22頁Solution:

從上面例子能夠看出，用鏡象法處理問題時，只要象電荷都放在所考慮區(qū)域之外，就不會改變電勢在該區(qū)域內(nèi)所滿足泊松方程。故檢驗解是否正確關(guān)鍵是看它能否滿足全部邊界條件。Q第23頁

▲下面按夾角不一樣情況分別討論其電勢分布情況。

a、APB-QQ-QQorr1r2Rr3132第24頁要使A板電勢為零，應(yīng)以A板為對稱面，將A板上感應(yīng)電荷以象電荷-Q放置在與源電荷Q對稱位置“1”處；要使B板電勢為零，應(yīng)以B板為對稱面，將B板上感應(yīng)電荷以象電荷-Q放置在與源電荷Q對稱位置“2”處，而且還需在“1”相對于B板對稱位置“3”處放置+Q象電荷，才能確保，不難看出，此時也滿足。于是所考慮區(qū)域內(nèi)，勢滿足定解條件。第25頁所考慮區(qū)域內(nèi)任一點電勢為BAQ+Q+Q-Q-Q-Q12345b、第26頁要確保則必須有5個象電荷，其位置，大小和符號如圖示，于是所求區(qū)域內(nèi)電勢為BAQ+Q+Q-Q-Q-Q123452-Q+Q67

c、第27頁普通說明：只要滿足偶數(shù)情形，都可用鏡象法求解，此時象電荷個數(shù)等于，