36/36歷年考研數(shù)學三真題及答案解析2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學三試題

選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

（1）曲線

2

21

xx

y

x

+

=

-漸近線的條數(shù)為（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

（2）設(shè)函數(shù)

2

()(1)(2)

xxnx

fxeeen

=--…（-）

，其中n為正整數(shù)，則

(0)

f'

=（

）

（A）

1

(1)(1)!

nn

-

--

（B）

(1)(1)!

nn

--

（C）

1

(1)!

nn

-

-

（D）

(1)!

nn

-

（3）設(shè)函數(shù)

()

ft

連續(xù)，則二次積分

2

2

2

02cos

()

dfrrdr

π

θ

θ

??

=（）

（A

）

2

220

()dxxydy

+

?

（B

）

2

220

()dxfxydy

+

?

（C

）

2

220

1

()dxxydy

+

??

（D

）

2

220

1

()dxfxydy

+

+

??

（4

）已知級數(shù)1

1

(1)n

i

nα

∞

=

-

∑

絕對收斂，

2

1

(1)n

i

nα

∞

-

=

-

∑

條件收斂，則

α范圍為（）

（A）02

（1，）（0）的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量

12

34|+-2|

XXXX-的分布（）（A）

N（0，1）

（B）

(1)

t

（C）

2

(1)χ

（D）

(1,1)

F

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

（9）

1

cossin4

lim(tan)xx

xxπ

-→

（10

）設(shè)函數(shù)0

ln1

(),(()),

21,1

x

dy

x

fxyffx

dx

xx

=

?≥

?

=

?

-的泊松分布，11,,(2)nXXXn≥為來自總體的簡單隨即樣

本，則對應的統(tǒng)計量11

1

n

iiTXn

==

∑，1

21

1

11

niniTXXnn

-==

+

-∑

(A)1212,ETETDTDT>>(B)1212

,ETETDTDT>(D)1212,ETETDTDT（C）"

()0fa

(4)設(shè)10

()lnfxx=，()gxx=,10()x

hxe=,則當x充分大時有（）

（A）()()()gxhxfx（C）若向量組Ⅱ線性無關(guān)，則rs≤（D）若向量組Ⅱ線性相關(guān)，則rs>(6)設(shè)A為4階實對稱矩陣，且2

0AA+=,若A的秩為3，則A相似于

（A）11

1

0?????

???????（B）11

1

0??

??????-????（C）11

1

0????-?

???-???

?（D）1

1

1

0-????-????-???

?

(7)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)00

1

()012

11

x

xFxxe

x->?

>?為概率密度，則,ab應滿足

（A）234ab+=（B）324ab+=（C）1ab+=（D）2ab+=

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)設(shè)可導函數(shù)()yyx=由方程

2

2

sinxyxt

e

dtxtdt+-=

?

?

確定，則

xdydx

==______.

(10)

設(shè)位于曲線)yex=

≤的簡單隨機樣本，記統(tǒng)計量2

1

1

n

iiTXn

==

∑，則

ET=______.

三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求極限1

1

lnlim(1)

x

x

xx

→+∞

-

(16)(本題滿分10分)計算二重積分

3

()

D

xydxdy+??，其中D由曲

線x=與直

線0x+=

及

0x-=圍成。

(17)(本題滿分10分)

求函數(shù)2uxyyz=+在約束條件2

2

2

10xyz++=下的最大值和最小值(18)(本題滿分10分)（Ⅰ）比較

[]10

lnln(1)n

ttdt+?

與1

lnnttdt?(1,2,)n=的大小，說明理由

（Ⅱ）設(shè)[]1

lnln(1)n

nuttdt=

+?

(1,2,)n=，求極限limnnu→∞

(19)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)()fx在[]0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導數(shù)，且2

2(0)()(2)+(3)ffxdxff==?

，

（Ⅰ）證明：存在(0,2)η∈，使()(0)ffη=（Ⅱ）證明：存在(0,3)ξ∈，使"

()0fξ=(20)(本題滿分11分)

設(shè)1

10

101

1

Aλ

λλ???

?=-??????，11ab??

??=??

????

已知線性方程組Axb=存在2個不同的解（Ⅰ）求λ，a

（Ⅱ）求方程組Axb=的通解

(21)(本題滿分11分)

設(shè)0141

34

0Aaa

-??

?

?=-??????

，正交矩陣Q使得TQAQ為對角矩陣，若Q的第1

2,1)T

,求a，Q

(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機變量

()XY，的概率密度為22

22()xxyy

fxyAe

-+-=，，

x-∞?

成立的x的范圍是

(A)(0,1).

(B)(1,

)2

π.(C)(

,)2

ππ.(D)(,)π+∞.

（4）設(shè)函數(shù)()yf

x=在區(qū)間[]1,3-上的圖形為

則函數(shù)()()0

x

Fxftdt=

?

的圖形為

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）設(shè),AB均為2階矩陣，*

,AB*分別為,AB的伴隨矩陣，若||2,||3AB==，則分塊矩陣

OABO??

???

的伴隨矩陣為(A)**

32OBAO??

???.

(B)**

23O

BA

O??

???.(C)**

32OAB

O??

???

.

(D)**

23O

AB

O??

???

.（6）設(shè),AP均為3階矩陣，T

P為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且10001000

2TPAP???=

???

?

，若1231223(,,),(,,)PQααααααα==+，則T

QAQ為

(A)2

1011000

2???

???

?

.

(B)1

1012000

2??

?

???

?

.

(C)2000

1000

2???

???

?

.

(D)1

000

2000

2??

????

?

.（7）設(shè)事件A與事件B互不相容，則(A)()0PAB=.

(B)()()()PABPAPB=.

(C)()1()PAPB=-.

(D)()1PAB?=.

（8）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且X服從標準正態(tài)分布(0,1)N，Y的概率分布為

1

{0}{1}2

PYPY====，記()zFZ為隨機變量ZXY=的分布函數(shù)，則函數(shù)()ZFz的間斷點個數(shù)

為

(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9

）cos0lim

xx→=.

（10）設(shè)()y

x

zxe=+，則

(1,0)

zx

?=?.

（11）冪級數(shù)

2

1

(1)

nn

n

nexn

∞

=--∑

的收斂半徑為.

（12）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為()QQP=,其對應價格P的彈性0.2pξ=，則當需求量為10000件時，價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加元.

（13）設(shè)(1,1,1)Tα=,(1,0,)Tkβ=，若矩陣T

αβ相似于3000

0000

0???

???

?

，則k=.(14)設(shè)1X，2X,…,mX為來自二項分布總體(,)Bnp的簡單隨機樣本，X和2

S分別為樣本均值和樣本方差，記統(tǒng)計量2

TXS=-，則ET=.

三、解答題：15～23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)()2

2

(,)2lnfxyx

yyy=++的極值.

（16）（本題滿分10分）

計算不定積分ln(1dx+

?

(0)x>.

（17）（本題滿分10分）計算二重積分

()D

xydxdy-??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}Dxyxyyx=-+-≤≥.（18）（本題滿分11分）

（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)()fx在[],ab上連續(xù)，在(),ab上可導，則(),abξ∈，

得證()'

()()()fbfafbaξ-=-.

（Ⅱ）證明：若函數(shù)()fx在0x=處連續(xù)，在()0,,(0)σσ>內(nèi)可導，且'

lim()xfxA+

→=，

則'

(0)f+存在，且'(0)f

A+

=.

（19）（本題滿分10分）

設(shè)曲線()yfx=，其中()fx是可導函數(shù)，且()0fx>.已知曲線()yfx=與直線0,1

yx==及(1)xtt=>所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值的tπ倍，求該曲線的方程.

（20）（本題滿分11分）設(shè)

1

11A=1

1104

2--???-??--?

?,1112ξ-???=??-??

.（Ⅰ）求滿足21Aξξ=，2

31Aξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）對（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，證明1ξ,2ξ,3ξ線性無關(guān).（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型

222

1231231323(,,)(1)22fxxxaxaxaxxxxx=++-+-.

（Ⅰ）求二次型f的矩陣的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的規(guī)范形為2

2

12yy+，求a的值.（22）（本題滿分11分）

設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率密度為

0(,)0

x

eyx

fxy-???

在(,)-∞+∞內(nèi)連續(xù)，則c=.

（10）設(shè)3

4

1()1xxfxx

x

++

=

+

，則

2

()______fxdx=?

.

（11）設(shè)2

2

{(,)1}Dxyxy=+≤，則

2

()D

xydxdy-=??.

（12）微分方程0xyy'+=滿足條件(1)1y=的解是y=.（13）設(shè)3階矩陣A的特征值為1，2，2，E為3階單位矩陣，則1

4_____AE--=.

（14）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則{

}2

PXEX

==

.

三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)（本題滿分10分）求極限2

1sinlim

ln

xxx

x

→.

(16)（本題滿分10分）

設(shè)(,)zzxy=是由方程()2

2

xyzxyz?+-=

++所確定的函數(shù)，其中?具有2階導數(shù)且

1?'≠-時.

（Ⅰ）求dz（Ⅱ）記()1

,zzuxyxyxy????=

-?

-????，求u

x??.(17)（本題滿分11分）計算

max(,1),D

xydxdy??其中{(,)02,02}Dxyxy=≤≤≤

≤.

(18)（本題滿分10分）設(shè)()f

x是周期為2的連續(xù)函數(shù)，

（Ⅰ）證明對任意的實數(shù)t，有()()2

2

tt

fxdxfxdx+=

?

?

；

（Ⅱ）證明()()()20

2xtt

Gxftfsdsdt+??=

-

???

?

?

?

是周期為2的周期函數(shù)．

(19)（本題滿分10分）

設(shè)銀行存款的年利率為0.05r=，并依年復利計算，某基金會希望通過存款A萬元，實現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，…，第n年提?。?0+9n）萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問A至少應為多少萬元？

(20)（本題滿分12分）

設(shè)n元線性方程組Axb=，其中

22

21212nnaaaAa

a???

?

?=?

??

?

，12nxxxx??????=??????，10

0b??????=????

??

（Ⅰ）求證行列式()1n

Ana=+;

（Ⅱ）a為何值時，該方程組有唯一解，并求1x；（Ⅲ）a為何值時，方程組有無窮多解，并求通解。（21）（本題滿分10分）

設(shè)A為3階矩陣，12,aa為A的分別屬于特征值1,1-的特征向量，向量3a滿足323Aaaa=+，（Ⅰ）證明123,,aaa線性無關(guān)；（Ⅱ）令()123,,Paaa=，求1

PAP-.

（22）（本題滿分11分）

設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為{}()11,0,13

PXii==

=-，Y的概率密度為

()101

0Yyfy≤≤?=??

其它，記ZXY=+

（Ⅰ）求1

02PZX??

≤

=???

?

；（Ⅱ）求Z的概率密度()Zfz．（23）（本題滿分11分）

設(shè)12,,,nXXX是總體為2

(,)Nμσ的簡單隨機樣本.記1

1

n

iiXXn

==

∑，

2

2

1

1()1

n

iiSXXn==

--∑

，2

2

1TX

Sn

=-

.

（Ⅰ）證明T是2

μ的無偏估計量.（Ⅱ）當0,1μσ==時，求DT.

2007年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學三試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上

(1)當0x+

→

（A）1-（B）ln(1+（C1（D）1cos-

(2)設(shè)函數(shù)()fx在0x=處連續(xù)，下列命題錯誤的是（）（A）若0

()lim

xfxx

→存在，則(0)0f=

（B）若0

()()

lim

xfxfxx→+-存在，則(0)0f=

（C）若0

()

lim

xfxx

→存在，則'(0)f存在

（D）若0

()()

lim

xfxfxx

→--存在，則'(0)f存在

(3)如圖，連續(xù)函數(shù)()yfx=在區(qū)間[][]3,2,2,3--上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[][]2,0,0,2-上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)0

()(),xFxftdt=?

則下列結(jié)論正確的

是（）

（A）3(3)(2)4FF=--（B）5(3)(2)4

FF=

（C）3(3)(2)4

FF-=

（D）5(3)(2)4FF-=-

-

(4)設(shè)函數(shù)(,)fxy連續(xù)，則二次積分

1sin2

(,)x

dxfxydyπ

π

??

等于（）

（A）10arcsin(,)y

dyfxydxπ

π+??

（B）1

0arcsin(,)y

dyfxydxπ

π-??

（C）

1

arcsin0

2

(,)y

dyfxydxππ

+?

?（D）1arcsin0

2

(,)y

dyfxydxππ

-??

(5)設(shè)某商品的需求函數(shù)為1602Qρ=-，其中Q，ρ分別表示需要量和價格，如果該商品需求

彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（）

（A）10（B）20（C）30（D）40(6)曲線1ln(1),x

yex

=

++漸近線的條數(shù)為（）

（A）0（B）1（C）2（D）3(7)設(shè)向量組1α,2α,3α線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）

（A）12αα-，23αα-，31αα-(B)12+αα，23+αα，31+αα（C）1223312,2,2αααααα(D)1223312,2,2αααααα+++

(8)設(shè)矩陣2111

2111

2A--???

?=--????--?

?，1000

1000

0B??

??

=?????

?

，則A與B（）（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似

(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為（）

（A）2

3(1)pp-(B)2

6(1)pp-(C)2

2

3(1)pp-(D)2

2

6(1)pp-

(10)設(shè)隨機變量(,)XY服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，(),()xyfxfy分別表示X,Y的概率密度，則在Yy=條件下，X的條件概率密度()XYfxy為（）

（A）()Xfx(B)()Yfy

(C)()()XYfxfy(D)

()()

XYfxfy

二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上(11)32

3

1lim

(sincos)________2x

xxxxxx

→∞

+++=+.

(12)設(shè)函數(shù)123

yx=

+，則()

(0)_________ny

=.

(13)設(shè)(,)fuv是二元可微函數(shù)，(

,),yxzfxy=則zz

xy

xy

??-??________.(14)微分方程

3

1()2dyyydx

x

x

=

-

滿足1

1xy==的特解為y=__________.

(15)設(shè)距陣01000

010

,00010000A??

?

?=?

?

??

則3A的秩為_______.

(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于

12

的概率為________.

三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（17）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)()yyx=由方程ln0yyxy-+=確定，試判斷曲線()yyx=在點（1，1）附近的凹凸性。

（18）（本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)

2.

1.(,)1

2.

xxyfxyxy?+≤?

=≤+≤

計算二重積分

(,).D

fxydσ??

其中{}

(,)2

Dxyxy=+≤。

（19）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)()fx，()gx在

[],ab上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又

()fa＝()ga，()fb＝

()gb，證明：

（Ⅰ）存在(,),abη∈使得()()fgηη=；（Ⅱ）存在(,),abξ∈使得''()''()fgξξ=。（20）（本題滿分10分）將函數(shù)2

1()34

fxxx=

--展開成1x-的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。

（21）（本題滿分11分）

設(shè)線性方程組

1231232

1230

20(1)40

xxxxxaxxxax?++=?

++=??++=?

與方程

12321

(2)xxxa++=-

有公共解，求a的值及所有公共解。

（22）（本題滿分11分）

設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值12311,2,2,(1,1,1)T

λλλα===-=-是A的屬于1λ的一個特征

向量。記5

3

4BAAE=-+，其中E為3階單位矩陣。

（Ⅰ）驗證1α是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B。（23）（本題滿分11分）

設(shè)二維隨機變量(,)XY的概率密度為

2,01,01.

(,)0,xyxyfxy--；

（Ⅱ）求ZXY=+的概率密度()Zfz。（24）（本題滿分11分）設(shè)總體X的概率密度為

1

0,21(;),1,

2(1)0xfxxθθθθθ?>，x?為自變量x在點0x處的增量，

dyy?與分別為()fx在點0x處對應的增量與微分，若0x?>，則（）

(A)0dyy-(C)12μμ三、解答題：15－23小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）

設(shè)()1sin,,0,01arctanxyyy

f

xyxyxy

x

π-=

-

>>+，求：

(Ⅰ)()()lim,ygxf

xy→+∞

=；

(Ⅱ)()0

limxgx+

→。

（16）（本題滿分7分）

計算二重積分

dD

xy??

，其中D是由直線,1,0yxyx===所圍成的平面區(qū)域。

（17）（本題滿分10分）證明：當0abπ++

（18）（本題滿分8分）

在xOy坐標平面上，連續(xù)曲線L過點()1,0M，其上任意點()(),0Pxyx≠處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax（常數(shù)>0a）。

（Ⅰ）求L的方程；

（Ⅱ）當L與直線yax=所圍成平面圖形的面積為83

時，確定a的值。

（19）（本題滿分10分）

求冪級數(shù)()()1

211

121nnnxnn-+∞

=--∑的收斂域及和函數(shù)()sx。

（20）（本題滿分13分）

設(shè)4維向量組()()()T

T

T

12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaαααα=+=+=+=

()

T

4,4,4,4a+問a為何值時1234,,,αααα線性相關(guān)？當1234,,,αααα線性相關(guān)時，求其一個極大

線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出。

（21）（本題滿分13分）

設(shè)3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量()()TT

121,2,1,0,1,1αα=--=-是線性方程組0Ax=的兩個解。

（Ⅰ）求A的特征值與特征向量；

（Ⅱ）求正交矩陣Q和對角矩陣Λ,使得T

QAQ=Λ；

（Ⅲ）求A及6

32AE?

?-??

?，其中E為3階單位矩陣。

（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X的概率密度為

()1

,1021

,024

0,Xxfxx?->（B）123III>>（C）213III>>（D）312III>>

(9)設(shè)0,1,2,,nan>=若

1

nna∞

=∑

發(fā)散，()

1

1

1nnna∞

-=-∑收斂，則下列結(jié)論正確的是

（A）

21

1nna

∞-=∑收斂，

21

n

na

∞=∑發(fā)散（B）

21

n

na

∞

=∑收斂，

21

1

nna

∞

-=∑發(fā)散

（C）

()21

21

nnna

a∞

-=+∑收斂（D）()2121

nnnaa∞

-=-∑收斂

(10)設(shè)()sincosf

xxxx=+，下列命題中正確的是

（A）()0f

是極大值，2fπ??

???

是極小值（B）()0f

是極小值，2fπ??

???

是極大值（C）()0f

是極大值，2fπ??

???

也是極大值（D）()0f

是極小值，

2fπ??

???

也是極小值(11)以下四個命題中，正確的是（A）若()fx'在()0,1內(nèi)連續(xù)，則()fx在()0,1內(nèi)有界

（B）若()f

x在()0,1內(nèi)連續(xù)，則()fx在()0,1內(nèi)有界

（C）若()fx'在()0,1內(nèi)有界，則()fx在()0,1內(nèi)有界

（D）若()f

x在()0,1內(nèi)有界，則()fx'在()0,1內(nèi)有界

(12)設(shè)矩陣()

33

ij

Aa?=滿足*

T

AA=，其中*

A為A的伴隨矩陣，T

A為A的轉(zhuǎn)置矩陣.若

111213,,aaa為三個相等的正數(shù)，則11a為

（A

3

（B）3（C）

13

（D

(13)設(shè)12,λλ是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為12,αα，則

()112,Aααα+線性無關(guān)的充分必要條件是

（A）10λ=（B）20λ=（C）10λ≠（D）20λ≠(14)（注：該題已經(jīng)不在數(shù)三考綱范圍內(nèi)）

三、解答題：本題共9小題，滿分94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分8分）求0

11lim1x

xxe

x-→+??-

?-??

.（16）（本題滿分8分）

設(shè)()fu具有二階連續(xù)導數(shù)，且(),yxgxyfyfxy????=+??????

，求22

2222

gg

xyxy??-??.（17）（本題滿分9分）計算二重積分

2

2

1D

xydσ+-??

，其中(){},01,01Dxyxy=≤≤≤≤.

（18）（本題滿分9分）

求冪級數(shù)

211121n

nxn∞

=??-?+?

?∑在區(qū)間()1,1-內(nèi)的和函數(shù)()Sx.

（19）（本題滿分8分）設(shè)()(),f

xgx在[]0,1上的導數(shù)連續(xù)，且()()()00,0,0ffxgx''=≥≥.證明：對任何

[]0,1α∈，有

()()()()()()1

1a

gxfxdxfxgxdxfag''+

≥?

?

（20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組

（?。?231231

23230,

2350,0,xxxxxxxxax++=??++=??++=?和（ⅱ）()1232

1230,

210,

xbxcxxbxcx++=???+++=??

同解，求,,abc的值.

（21）（本題滿分13分）設(shè)TACDC

B??

=

???

為正定矩陣，其中,AB分別為m階，n階對稱矩陣，C為mn?階矩陣.（Ⅰ）計算T

PDP，其中1

m

nEACPO

E-??

-=

???；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果判斷矩陣1

T

BCAC--是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.

（22）（本題滿分13分）

設(shè)二維隨機變量(),XY的概率密度為

()0,

01,02,

,1,

xyxfxy為來自總體(

)2

0,Nσ

的簡單隨機樣本，其樣本均值為X

，記

,1,2,,iiYXXin=-=.

（Ⅰ）求iY的方差,1,2,,iDYin=；（Ⅱ）求1Y與nY的協(xié)方差()1,nCovYY；

（Ⅲ）若()2

1ncYY+是2

σ的無偏估計量，求常數(shù)c.

2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學三試題

一、填空題：本題共6小題，每小題4分，滿分24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(1)若()0

sinlim

cos5x

xxxbea

→-=-，則a=______，b

=______.

(2)函數(shù)(),fuv由關(guān)系式()(),fxgyyxgy=+????

確定，其中函數(shù)()gy可微，且

()0gy≠，則

2

fuv

?=??______.

(3)設(shè)()2

11,,

2

2

11,,

2xxexfxx?-

≤=______.

(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布(

)2

1,Nμσ

，總體Y

服從正態(tài)分布(

)2

2,Nμσ

，11

2,,,nX

XX和

212,,,nYYY分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則

()()

1

2

22

11

122nnijijXXYYEnn==??-+-??

??=??+-???

?

∑∑______.二、選擇題：本題共8小題，每小題4分，滿分24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(7)函數(shù)()()()()

2

sin212xxf

xxxx-=

--在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.

（A）()1,0-（B）()0,1（C）()1,2（D）()2,3

(8)設(shè)()fx在(),-∞+∞內(nèi)有定義，且()limxfxa→∞

=，()1,0,0,0,

fx

gxx

x???≠?

?=??

??=?

則

（A）0x=必是()gx的第一類間斷點（B）0x=必是()gx的第二類間斷點

（C）0x=必是()gx的連續(xù)點（D）()gx在點0x=處的連續(xù)性與a的值有關(guān).(9)設(shè)()()1f

xxx=-，則

（A）0x=是()f

x的極值點，但()0,0不是曲線()yfx=的拐點（B）0x=不是()fx的極值點，但()0,0是曲線()yfx=的拐點

（C）0x=是()f

x的極值點，且()0,0是曲線()yfx=的拐點（D）0x=不是()f

x的極值點，()0,0也不是曲線()yfx=的拐點

(10)設(shè)有以下命題：

①若

()21

21nnnu

u∞

-=+∑收斂，則1

nnu∞

=∑收斂

②若

1

n

nu

∞

=∑收斂，則

1000

1

nnu

∞

+=∑收斂

③若1lim

1nnn

uu+→∞

>，則1

nnu∞

=∑發(fā)散

④若

()1

n

nnu

v∞=+∑收斂，則1

nna∞=∑，1

nnv∞

=∑都收斂

則以上命題中正確的是

（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④

(11)設(shè)()fx'在[],ab上連續(xù)，且()()0,0fafb''>（B）至少存在一點()0,xab∈，使得()()0f

xfb>

（C）至少存在一點()0,xab∈，使得()00fx'=（D）至少存在一點()0,xab∈，使得()00fx=

(12)設(shè)n階矩陣A與B等價，則必有

（A）當()0Aaa=≠時，Ba=（B）當()0Aaa=≠時，Ba=-（C）當0A≠時，0B=（D）當0A=時，0B=

(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣*

0A≠，若1234,,,ξξξξ是非齊次線性方程組Axb=的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組0Ax=的基礎(chǔ)解系

（A）不存在（B）僅含一個非零解向量（C）含有兩個線性無關(guān)的解向量（D）含有三個線性無關(guān)的解向量

(14)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布()0,1N，對給定的()0,1α∈，數(shù)nu滿足{}PXuαα>=，若{}P

Xxα；

（Ⅱ）推導

()1ddRQEdP

=-（其中R為收益），并用彈性dE說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低

價格反而使收益增加.

（19）（本題滿分9分）

設(shè)級數(shù)

()4

6

8

24

246

2468

x

x

x

x+

+

+-∞??=????

≤?

其中參數(shù)0,1αβ>>.設(shè)12,,,nXXX為來自總體X的簡單隨機樣本.（Ⅰ）當1α=時，求未知參數(shù)β的矩估計量；（Ⅱ）當1α=時，求未知參數(shù)β的最大似然估計量；（Ⅲ）當2β=時，求未知參數(shù)α的最大似然估計量.

2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學三試題解析

選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

（1）曲線2

2

1

xxyx+=

-漸近線的條數(shù)為（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（2）設(shè)函數(shù)2()(1)(2)x

x

nx

fxee

en=--…（-），其中

n為正整數(shù)，則

(0)

f'=

（

）

（A）1

(1)(1)!nn（B）

(1)(1)!n

n--

（C）

1

(1)!nn--

（D）

(1)!n

n-（3）設(shè)函數(shù)

()

ft連續(xù)，則二次積分22

2

2cos()dfrrdr

π

θ

θ?

?

=（

）

（A

）2

2

2

()dxxydy

+?

（B

）2

2

2

()dxfxydy

+?

（C

）

222

1

()dxxydy

+?

?

（D

）

222

1

()dxfxydy

++?

?

（4

）已知級數(shù)11(1)

n

in

α

∞

=-∑絕對收斂，

21

(1)n

in

α

∞

-=-∑

條件收斂，則α范圍為（）

（A）02

（1，）（0）的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量

12

34|+-2|

XXXX-的分布（

）

（A）N（0，1）

（B）(1)t

（C）

2

(1)χ（D）

(1,1)F

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

（9）

1

cossin4

lim(tan)xx

xxπ

-→

（10

）設(shè)函數(shù)

ln1(),(()),21,1

xdyxfxyffxdxxx=?≥?=?->

即

又

21

(1)

n

nn

α

∞

-=-∑

條件收斂.02112αα∴-,22

11x

xx

x

+≥-

，又sinxx≤.

()0x?∴>’；

10x-時，0y">

故(0，0)為曲線2

2

0()()x

yfxftdt

=-?的拐點.

20.

解析：

（I）

534A1(1)1

aaa

=+-?=-

（II）當

1

a=及1

a=-時，Ax=b有無窮多個解.

當

1

a=時，

A=

11

001???0110-1??00110?

10010??

→

10012010110011000000???

--?

????

通解為

12

11

10

10xk

-

????

??

-

??=+

??

-

??

????

當

1

a=-時.

A

1100110010

01101010110011000110

1001000000--

??????

??=→

??

--

??

-

????

通解為

10

11

10

10xk

????

??

-

??=+

??

??

????

21.

解析：(1)ATA=

101001011

1aa

-?????-?

?

1

01011100

1aa

?????-?-??

2

2

201011113aa

a

aa

a-??

?=+-

??-