27/27高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)【】鑒于大家對查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)十分關(guān)注,小編在此為大家搜集整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié),供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)圓錐曲線1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視括號內(nèi)的限制條件：橢圓中,與兩個定點(diǎn)F,F的距離的和等于常數(shù),且此常數(shù)一定要大于,當(dāng)常數(shù)等于時,軌跡是線段FF,當(dāng)常數(shù)小于時,無軌跡;雙曲線中,與兩定點(diǎn)F,F的距離的差的絕對值等于常數(shù),且此常數(shù)一定要小于|FF|,定義中的絕對值與|FF|不可無視。假設(shè)=|FF|,那么軌跡是以F,F為端點(diǎn)的兩條射線,假設(shè)﹥|FF|,那么軌跡不存在。假設(shè)去掉定義中的絕對值那么軌跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點(diǎn))在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程)：(1)橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(),焦點(diǎn)在軸上時=1()。方程表示橢圓的充要條件是什么?(ABC0,且A,B,C同號,AB)。(2)雙曲線：焦點(diǎn)在軸上：=1,焦點(diǎn)在軸上：=1()。方程表示雙曲線的充要條件是什么?(ABC0,且A,B異號)。(3)拋物線：開口向右時,開口向左時,開口向上時,開口向下時。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷(首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程,然后再判斷)：(1)橢圓：由,分母的大小決定,焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。(2)雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定,焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上;(3)拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上,一次項(xiàng)的符號決定開口方向。提醒：在橢圓中,最大,,在雙曲線中,最大,。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：(1)橢圓(以()為例)：①范圍：;②焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn);③對稱性：兩條對稱軸,一個對稱中心(0,0),四個頂點(diǎn),其中長軸長為2,短軸長為2;④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線;⑤離心率：,橢圓,越小,橢圓越圓;越大,橢圓越扁。(2)雙曲線(以()為例)：①范圍：或;②焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn);③對稱性：兩條對稱軸,一個對稱中心(0,0),兩個頂點(diǎn),其中實(shí)軸長為2,虛軸長為2,特別地,當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時,稱為等軸雙曲線,其方程可設(shè)為;④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線;⑤離心率：,雙曲線,等軸雙曲線,越小,開口越小,越大,開口越大;⑥兩條漸近線：。(3)拋物線(以為例)：①范圍：;②焦點(diǎn)：一個焦點(diǎn),其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;③對稱性：一條對稱軸,沒有對稱中心,只有一個頂點(diǎn)(0,0);④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線;⑤離心率：,拋物線。5、點(diǎn)和橢圓()的關(guān)系：(1)點(diǎn)在橢圓外;(2)點(diǎn)在橢圓上=1;(3)點(diǎn)在橢圓內(nèi)6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)相交：直線與橢圓相交;直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交且只有一個交點(diǎn),故是直線與雙曲線相交的充分條件,但不是必要條件;直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線相交且只有一個交點(diǎn),故也僅是直線與拋物線相交的充分條件,但不是必要條件。(2)相切：直線與橢圓相切;直線與雙曲線相切;直線與拋物線相切;(3)相離：直線與橢圓相離;直線與雙曲線相離;直線與拋物線相離。提醒：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點(diǎn)時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點(diǎn);如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點(diǎn);(2)過雙曲線=1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的情況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條;②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線,共四條;③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn),只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線,一條是切線;④P為原點(diǎn)時不存在這樣的直線;(3)過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。7、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問題：,當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時,的最大值為bc;對于雙曲線。如(1)短軸長為,8、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：(1)以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切;(2)設(shè)AB為焦點(diǎn)弦,M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),那么AMF=(3)設(shè)AB為焦點(diǎn)弦,A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A,B,假設(shè)P為AB的中點(diǎn),那么PA(4)假設(shè)AO的延長線交準(zhǔn)線于C,那么BC平行于x軸,反之,假設(shè)過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn),那么A,O,C三點(diǎn)共線。9、弦長公式：假設(shè)直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B,且分別為A、B的橫坐標(biāo),那么=,假設(shè)分別為A、B的縱坐標(biāo),那么=,假設(shè)弦AB所在直線方程設(shè)為,那么=。特別地,焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦的弦長的計算,一般不用弦長公式計算,而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解。拋物線：在雙曲線中,以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=;在拋物線中,以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件,故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時,務(wù)必別忘了檢驗(yàn)!11.了解以下結(jié)論(1)雙曲線的漸近線方程為;(2)以為漸近線(即與雙曲線共漸近線)的雙曲線方程為為參數(shù),0)。(3)中心在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為;(4)橢圓、雙曲線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦)為,焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為,拋物線的通徑為,焦準(zhǔn)距為;(5)通徑是所有焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)中最短的弦;(6)假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦為AB,,那么①;②(7)假設(shè)OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦,那么直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)12、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：(1)給出直線的方向向量或;(2)給出與相交,等于過的中點(diǎn);(3)給出,等于是的中點(diǎn);(4)給出,等于與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;(5)給出以下情形之一：①;②存在實(shí)數(shù);③假設(shè)存在實(shí)數(shù),等于三點(diǎn)共線.(6)給出,等于,即是直角,給出,等于是鈍角,給出,等于是銳角,(8)給出,等于是的平分線/(9)在平行四邊形中,給出,等于是菱形;(10)在平行四邊形中,給出,等于是矩形;(11)在中,給出,等于是的外心(三角形外接圓的圓心,三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn));(12)在中,給出,等于是的重心(三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn));(13)在中,給出,等于是的垂心(三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn));(14)在中,給出等于通過的內(nèi)心;(15)在中,給出等于是的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn));(16)在中,給出,等于是中邊的中線;(3)A,B為拋物線x2=2py(p0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn),,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2p)(1)求證：A,B,C三點(diǎn)共線;(2)假設(shè)=()且試求點(diǎn)M的軌跡方程。(1)證明：設(shè),由得,又,,即A,B,C三點(diǎn)共線。(2)由(1)知直線AB過定點(diǎn)C,又由及=()知OMAB,垂足為M,所以點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓,除去坐標(biāo)原點(diǎn)。即點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題：例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為______________(2)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。分析：(1)A在拋物線外,如圖,連PF,那么,因而易發(fā)現(xiàn),當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時,距離和最小。(2)B在拋物線內(nèi),如圖,作QRl交于R,那么當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時,距離和最小。解：(1)(2,)(2)()1、橢圓C1的方程為,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)。(1)求雙曲線C2的方程;(2)假設(shè)直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn),且l與C2的兩個交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍。解：(Ⅰ)設(shè)雙曲線C2的方程為,那么故C2的方程為(II)將由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點(diǎn)得即①.由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A,B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范圍為在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,-1),B點(diǎn)在直線y=-3上,M點(diǎn)滿足MB//OA,MAAB=MBBA,M點(diǎn)的軌跡為曲線C。(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P為C上的動點(diǎn),l為C在P點(diǎn)處得切線,求O點(diǎn)到l距離的最小值。(Ⅰ)設(shè)M(x,y),由得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知(+)=0,即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.(Ⅱ)設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點(diǎn),因?yàn)閥=x,所以的斜率為x因此直線的方程為,即。那么O點(diǎn)到的距離.又,所以當(dāng)=0時取等號,所以O(shè)點(diǎn)到距離的最小值為2.設(shè)雙曲線(a0)的漸近線與拋物線y=x2+1相切,那么該雙曲線的離心率等于()設(shè)雙曲線的一條漸近線,那么雙曲線的離心率為().過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn),為右焦點(diǎn),假設(shè),那么橢圓的離心率為雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、,其一條漸近線方程為,點(diǎn)在雙曲線上.那么=()0直線與拋物線相交于兩點(diǎn),為的焦點(diǎn),假設(shè),那么()直線和直線,拋物線上一動點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是()設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)。假設(shè)AB的中點(diǎn)為(2,2),那么直線l的方程為_____________.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)P在橢圓上,假設(shè),那么;的大小為.過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),假設(shè)線段AB的長為8,那么________________【解析】設(shè)切點(diǎn),那么切線的斜率為.由題意有又解得:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲線,雙曲線方程是,于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)和(2,0),且或.不妨去,那么,.【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為直線恒過定點(diǎn)P.如圖過分別作于,于,由,那么,點(diǎn)B為AP的中點(diǎn).連結(jié),那么,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故點(diǎn)的坐標(biāo)為,應(yīng)選D1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角,那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓,除去長軸的兩個端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5.假設(shè)在橢圓上,那么過的橢圓的切線方程是.6.假設(shè)在橢圓外,那么過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,那么切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7.橢圓(a0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),那么橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8.橢圓(a0)的焦半徑公式：9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn),A為橢圓長軸上一個頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),那么MFNF.10.過橢圓一個焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,那么MFNF.11.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦,M為AB的中點(diǎn),那么,即。12.假設(shè)在橢圓內(nèi),那么被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13.假設(shè)在橢圓內(nèi),那么過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.二、雙曲線1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角,那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓,除去長軸的兩個端點(diǎn).3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支;外切：P在左支)5.假設(shè)在雙曲線(a0)上,那么過的雙曲線的切線方程是.6.假設(shè)在雙曲線(a0)外,那么過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,那么切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.7.雙曲線(ao)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn),那么雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8.雙曲線(ao)的焦半徑公式：(,當(dāng)在右支上時,,.當(dāng)在左支上時,,9.設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn),A為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),那么MFNF.10.過雙曲線一個焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,那么MFNF.11.AB是雙曲線(a0)的不平行于對稱軸的弦,M為AB的中點(diǎn),那么,即。12.假設(shè)在雙曲線(a0)內(nèi),那么被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13.假設(shè)在雙曲線(a0)內(nèi),那么過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)--(會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢圓1.橢圓(ao)的兩個頂點(diǎn)為,,與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2.過橢圓(a0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn),那么直線BC有定向且(常數(shù)).3.假設(shè)P為橢圓(a0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,,那么.4.設(shè)橢圓(a0)的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P(異于長軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn),在△PF1F2中,記,,,那么有.5.假設(shè)橢圓(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,那么當(dāng)06.P為橢圓(a0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn),A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),那么,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時,等號成立.7.橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8.橢圓(a0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為橢圓上兩動點(diǎn),且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值為;(3)的最小值是.9.過橢圓(a0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于P,那么.10.橢圓(a0),A、B、是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),那么.11.設(shè)P點(diǎn)是橢圓(a0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記,那么(1).(2).12.設(shè)A、B是橢圓(a0)的長軸兩端點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn),,,,c、e分別是橢圓的半焦距離心率,那么有(1).(2).(3).13.橢圓(a0)的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn),過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上,且軸,那么直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線,與以長軸為直徑的圓相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).)17.橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).雙曲線1.雙曲線(a0)的兩個頂點(diǎn)為,,與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2.過雙曲線(ao)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn),那么直線BC有定向且(常數(shù)).3.假設(shè)P為雙曲線(a0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),,,那么(或).4.設(shè)雙曲線(a0)的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P(異于長軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn),在△PF1F2中,記,,,那么有.5.假設(shè)雙曲線(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,那么當(dāng)16.P為雙曲線(a0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn),A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn),那么,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和在y軸同側(cè)時,等號成立.7.雙曲線(a0)與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8.雙曲線(b0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn),且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值為;(3)的最小值是.9.過雙曲線(a0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于P,那么.10.雙曲線(a0),A、B是雙曲線上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn),那么或.11.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線(a0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記,那么(1).(2).12.設(shè)A、B是雙曲線(a0)的長軸兩端點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn),,,,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率,那么有(1).(2).(3).13.雙曲線(a0)的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn),過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上,且軸,那么直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線,與以長軸為直徑的圓相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16.雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17.雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦,利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長,常用的弦長公式：2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。3、知直線橫截距,常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、假設(shè)直線與直線平行那么(斜率)且(在軸上截距)(充要條件)6、圓的一般方程：,特別提醒：只有當(dāng)時,方程才表示圓心為,半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。7、圓的參數(shù)方程：(為參數(shù)),其中圓心為,半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：;8、為直徑端點(diǎn)的圓方程切線長：過圓()外一點(diǎn)所引圓的切線的長為()9、弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距,弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：;②過兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為,當(dāng)時,方程為兩圓公共弦所在直線方程.。攻克圓錐曲線解答題的策略:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題,提高成績,戰(zhàn)勝高考,可從四個方面著手：知識儲藏、方法儲藏、思維訓(xùn)練、強(qiáng)化訓(xùn)練。：知識儲藏方法儲藏思維訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練第一、知識儲藏：1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容①傾斜角與斜率②點(diǎn)到直線的距離③夾角公式：(3)弦長公式直線上兩點(diǎn)間的距離：或(4)兩條直線的位置關(guān)系①=-1②2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種?(三種形式)標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎?(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎?如：是橢圓的兩個焦點(diǎn),平面內(nèi)一個動點(diǎn)M滿足那么動點(diǎn)M的軌跡是()A、雙曲線;B、雙曲線的一支;C、兩條射線;D、一條射線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：(其中)(6)、記住焦半徑公式：(1),可簡記為左加右減,上加下減。(2)(3)(6)、橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎?第二、方法儲藏1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)設(shè)、,為橢圓的弦中點(diǎn)那么有,;兩式相減得2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎?經(jīng)典套路是什么?如果有兩個參數(shù)怎么辦?設(shè)直線的方程,并且與曲線的方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到一個二次方程,使用判別式,以及根與系數(shù)的關(guān)系,代入弦長公式,設(shè)曲線上的兩點(diǎn),將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到○1○2兩個式子,然后○1-○2,整體消元,假設(shè)有兩個字母未知數(shù),那么要找到它們的聯(lián)系,消去一個,比方直線過焦點(diǎn),那么可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。假設(shè)有向量的關(guān)系,那么尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系,根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為,就意味著k存在。例1、三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓上,且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上).(1)假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn),試求直線BC的方程;(2)假設(shè)角A為,AD垂直BC于D,試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住重心,利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率,從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC,從而得,然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程;解：(1)設(shè)B(,),C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)那么有兩式作差有(1)F(2,0)為三角形重心,所以由,得,由得,代入(1)得直線BC的方程為2)由ABAC得(2)設(shè)直線BC方程為,得代入(2)式得,解得或直線過定點(diǎn)(0,,設(shè)D(x,y),那么,即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖,梯形ABCD中,點(diǎn)E分有向線段所成的比為,雙曲線過C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時,求雙曲線離心率的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系,如圖,假設(shè)設(shè)C,代入,求得,進(jìn)而求得再代入,建立目標(biāo)函數(shù),整理,此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù),整理,化繁為簡.解法一：如圖,以AB為垂直平分線為軸,直線AB為軸,建立直角坐標(biāo)系,那么CD軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn),由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于軸對稱依題意,記A,C,E,其中為雙曲線的半焦距,是梯形的高,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得設(shè)雙曲線的方程為,那么離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得由①式得,③將③式代入②式,整理得故由題設(shè)得,解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫坐標(biāo)表示,回避的計算,到達(dá)設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,,,又,代入整理,由題設(shè)得,解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為5、判別式法例3雙曲線,直線過點(diǎn),斜率為,當(dāng)時,雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為,試求的值及此時點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科,因此,數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從有且僅有這個微觀入手,對照草圖,不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線,必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式.由此出發(fā),可設(shè)計如下解題思路：解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考,就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá),即所謂有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為,相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：簡解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn),那么點(diǎn)M到直線的距離為：于是,問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于,所以,從而有于是關(guān)于的方程由可知：方程的二根同正,故恒成立,于是等價于例4橢圓C:和點(diǎn)P(4,1),過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),在線段AB上取點(diǎn)Q,使,求動點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題,解題困難在于多動點(diǎn)的困擾,學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí),應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此,首先是選定參數(shù),然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá),最后通過消參可到達(dá)解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的,自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù),如何將與聯(lián)系起來?一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上;另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線,不難得到,要建立與的關(guān)系,只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程,利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析,可以看出,雖然我們還沒有開始解題,但對于如何解決此題,已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到之后,如果能夠從整體上把握,認(rèn)識到：所謂消參,目的不過是得到關(guān)于的方程(不含k),那么可由解得,直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè),那么由可得：,解之得：(1)設(shè)直線AB的方程為：,代入橢圓C的方程,消去得出關(guān)于x的一元二次方程：(2)代入(1),化簡得：(3)與聯(lián)立,消去得：在(2)中,由,解得,結(jié)合(3)可求得6、求根公式法例5設(shè)直線過點(diǎn)P(0,3),和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn),試求的取值范圍.分析：此題中,絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=,但從此后卻一籌莫展,問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實(shí)上,所謂求取值范圍,不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(或某幾個)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程),這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施;其二那么是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手,=已經(jīng)是一個關(guān)系式,但由于有兩個變量,同時這兩個變量的范圍不好控制,所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程,消去y得出關(guān)于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.簡解1：當(dāng)直線垂直于x軸時,可求得;當(dāng)與x軸不垂直時,設(shè),直線的方程為：,代入橢圓方程,消去得解之得因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱,點(diǎn)P在y軸上,所以只需考慮的情形.當(dāng)時,,,所以===.由,解得,所以,綜上.分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,那么應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍,于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來.一般來說,韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁,但此題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理,原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式.原因找到后,解決問題的方法自然也就有了,即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.簡解2：設(shè)直線的方程為：,代入橢圓方程,消去得那么令,那么,在(*)中,由判別式可得,從而有,所以,解得.解題猶如打仗,不能只是忙于沖鋒陷陣,一時局部的勝利并不能說明問題,有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在,只有見微知著,樹立全局觀念,講究排兵布陣,運(yùn)籌帷幄,方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由的數(shù)學(xué)命題得出新命題的根本思維形式,它是數(shù)學(xué)求解的核心。以的真實(shí)數(shù)學(xué)命題,即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法,到達(dá)解題目標(biāo),得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中,必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等),做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦,快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點(diǎn)為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點(diǎn),且,.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)記橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),問：是否存在直線,使點(diǎn)恰為的垂心?假設(shè)存在,求出直線的方程;假設(shè)不存在,請說明理由。思維流程：解題過程：(Ⅰ)如圖建系,設(shè)橢圓方程為,那么又∵即,故橢圓方程為(Ⅱ)假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn),且恰為的垂心,那么設(shè),∵,故,于是設(shè)直線為,由得,∵又得即由韋達(dá)定理得解得或(舍)經(jīng)檢驗(yàn)符合條件.點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊,然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.例7、橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過、、三點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程：(Ⅱ)假設(shè)點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn),,當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時,求內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程：解題過程：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為,將、、代入橢圓E的方程,得解得.橢圓的方程.(Ⅱ),設(shè)邊上的高為當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時,最大為,所以的最大值為.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,因?yàn)榈闹荛L為定值6.所以,所以的最大值為.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金：例8、定點(diǎn)及橢圓,過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).(Ⅰ)假設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,求直線的方程;(Ⅱ)在軸上是否存在點(diǎn),使為常數(shù)?假