高中物理思維方法講座南京市金陵中學(xué)朱焱2009年4月16日數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用物理模型在物理解題中的應(yīng)用等效思想在物理解題中的應(yīng)用對(duì)稱思想在物理解題中的應(yīng)用守恒思想在物理解題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中，為物理概念、定律的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效方法.為物理學(xué)的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力工具.中學(xué)物理教學(xué)大綱對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力作出了明確要求.●數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用高考物理試題的解答離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)滲透考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題.可以說(shuō)任何物理試題的求解過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)求解再次還原為物理結(jié)論的過(guò)程。

物理解題運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法通常包括方程(組)法、比例法、數(shù)列法、函數(shù)法、幾何(圖形輔助)法、圖象法、微元法等.◆弄清研究對(duì)象，理清物理過(guò)程和狀態(tài)，建立物理模型.◆按照物理情境中物理現(xiàn)象發(fā)生的先后順序，建立物理概念方程，形成方程組骨架.◆據(jù)具體題目的要求以及各種條件，分析各物理概念方程之間、物理量之間的關(guān)系，建立條件方程，使方程組成完整的整體.◆對(duì)方程求解，并據(jù)物理意義對(duì)結(jié)果作出表述或檢驗(yàn).【例1】一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開(kāi)始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度駛來(lái)，從后邊趕過(guò)汽車，試求：（1）汽車從路口開(kāi)動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？（2）什么時(shí)候汽車追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少？(1)比例條件是否滿足：物理過(guò)程中的變量往往有多個(gè).討論某兩個(gè)量比例關(guān)系時(shí)要注意只有其他量為常量時(shí)才能成比例.(2)比例是否符合物理意義：不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)看物理公式中各量的比例關(guān)系，要注意每個(gè)物理量的意義(例：不能據(jù)R＝U/I認(rèn)定為電阻與電壓成正比).(3)比例是否存在：討論某公式中兩個(gè)量的比例關(guān)系時(shí)，要注意其他量是否能認(rèn)為是不變量，如果該條件不成立，比例也不能成立.(串聯(lián)電路中，不能根據(jù)Ｐ＝

U2/R，就得出P與R成反比的結(jié)論，因?yàn)镽變化的同時(shí)，U隨之變化而并非常量)【例2】如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點(diǎn)，另一端繞過(guò)定滑輪后用力拉住，使小球靜止.現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到B的過(guò)程中，半球?qū)π∏虻闹С至和繩對(duì)小球的拉力T的大小變化情況是()A.N變大，T變小 B.N變小，T變大C.N變小，T先變小后變大 D.N不變，T變小3.數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問(wèn)題具有多過(guò)程、重復(fù)性的共同特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過(guò)程均不是原來(lái)情形的“絕對(duì)重復(fù)”，也就是說(shuō)重復(fù)中有變化，隨著物理過(guò)程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”.該類問(wèn)題求解的基本思路為：（1）逐個(gè)分析開(kāi)始的幾個(gè)物理過(guò)程；（2）利用歸納法從中找出物理量的變化通項(xiàng)公式(是解題的關(guān)鍵)，最后分析整個(gè)物理過(guò)程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律解決物理問(wèn)題；（3）無(wú)窮數(shù)列的求和，一般是無(wú)窮遞減等比數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用.【解答】小球第一次落地時(shí)速度為v0v0＝=10m/s則：第二…第n＋１次落地速度分別為：

v1＝v0，v2＝（）2

v0，…，

vn＝（）n

v0小球開(kāi)始下落到第一次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為h0=5m，小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程是：L１＝２×＝１０×（）2小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為L(zhǎng)２，L２＝２×＝１０×（）2由數(shù)學(xué)歸納法可知，小球第n次到第n＋１次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為L(zhǎng)n：Ln＝１０×（）2n故整個(gè)過(guò)程總路程s為：ｓ＝ｈ+（L１＋L２＋…＋Ln）＝５＋10［（）2＋（）4＋…＋（）2n］4.幾何法（圓的知識(shí)）應(yīng)用與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在力學(xué)部分和電學(xué)部分均有應(yīng)用，尤其帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)應(yīng)用最多，其難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上。(1)依據(jù)切線的性質(zhì)定理確定：從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)做切線的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為圓心，圓心與切點(diǎn)的連線為半徑.(2)依據(jù)垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，并平分弦所對(duì)的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng))來(lái)確定半徑：由BE２＝CE×ED＝CE×（2R－CE）得也可用勾股定理得到：ＯB２＝（ＯC－CE）２＋EB２

R2＝（R－CE）２＋ＥB２得此兩種求半徑的方法，常用于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的習(xí)題中.【例4】如圖離子槍射出方向?yàn)殚L(zhǎng)度d的平行金屬板MN和PQ之間的中線，離子槍距金屬板水平距離為d，整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的方向向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)之中，初速為零的負(fù)離子經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從離子槍T中水平射入磁場(chǎng).(不考慮重力)求：離子荷質(zhì)比（ｑ、m分別是離子的電量與質(zhì)量）在什么范圍內(nèi)，離子才能打在金屬板上?答案：≤≤理想化模型就是為便于對(duì)實(shí)際物理問(wèn)題進(jìn)行研究而建立的高度抽象的理想客體.高考命題以能力立意，而能力立意又常以問(wèn)題立意為切入點(diǎn)，千變?nèi)f化的物理命題都是根據(jù)一定的物理模型，結(jié)合某些物理關(guān)系，給出一定的條件，提出需要求的物理量的.而我們解題的過(guò)程，就是將題目隱含的物理模型還原并求出結(jié)果的過(guò)程.●物理模型在物理解題中的應(yīng)用（3）尋找與已有信息（某種知識(shí)、方法、模型）的相似、相近或聯(lián)系，通過(guò)類比聯(lián)想或抽象概括，或邏輯推理，或原型啟發(fā)，建立起新的物理模型，將新情景“難題”轉(zhuǎn)化為常規(guī)命題.（4）選擇相關(guān)的物理規(guī)律求解.【例5】如圖所示,在光滑的水平面上靜止著兩小車A和B，在A車上固定著強(qiáng)磁鐵，總質(zhì)量為5kg,B車上固定著一個(gè)閉合的螺線管.B車的總質(zhì)量為10kg.現(xiàn)給B車一個(gè)水平向左的100N·s瞬間沖量，若兩車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生直接碰撞，則相互作用過(guò)程中產(chǎn)生的熱能是多少？它們所受合外力為零.動(dòng)量守恒，當(dāng)A、B車速度相等時(shí)，兩車相互作用結(jié)束，據(jù)以上分析可得：I=mBvB=(mA+mB)v,v=6.7m/s從B車運(yùn)動(dòng)到兩車相對(duì)靜止過(guò)程，系統(tǒng)減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能，電能通過(guò)電阻發(fā)熱，轉(zhuǎn)化為焦耳熱.據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒：Q=mBvB2－(mA+mB)v2=166.7J【例6】在原子反應(yīng)堆中抽動(dòng)液態(tài)金屬或在醫(yī)療器械中抽動(dòng)血液等導(dǎo)電液體時(shí)，由于不允許傳動(dòng)的機(jī)械部分與這些液體相接觸，常使用一種電磁泵，如圖所示為這種電磁泵的結(jié)構(gòu).將導(dǎo)管放在磁場(chǎng)中，當(dāng)電流通過(guò)導(dǎo)電液體時(shí)，這種液體即被驅(qū)動(dòng).如果導(dǎo)管中截面面積為a·h，磁場(chǎng)的寬度為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，液體穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的電流強(qiáng)度為I求驅(qū)動(dòng)力造成的壓強(qiáng)差為多少？【分析】考生慣于已知物理模型的傳統(tǒng)命題的求解，在此無(wú)法通過(guò)原型啟發(fā)，將液體類比為磁場(chǎng)中導(dǎo)體，建立起熟知的物理模型，無(wú)法使問(wèn)題切入.此題背景是電磁泵問(wèn)題，它的原理是，當(dāng)電流流過(guò)液體時(shí)，液體即為載流導(dǎo)體，在磁場(chǎng)中將受到安培力作用，力的方向由左手定則判定，所以液體將沿v的方向流動(dòng).液體通電后可視為導(dǎo)體，從電磁場(chǎng)的原理圖中可抽象出如圖所示的模型，既通電導(dǎo)體在磁場(chǎng)中受力模型.以載流導(dǎo)體為研究對(duì)象，根據(jù)安培力公式，載流導(dǎo)體受到的安培力（即液體受力）為：F=BIh

由壓強(qiáng)公式，且S=a·h

p=等效法亦稱“等效替代法”，是科學(xué)研究中常用的思維方法之一.掌握等效方法及應(yīng)用，體會(huì)物理等效思想的內(nèi)涵，至關(guān)重要。高考命題愈加明顯地滲透著物理思想、物理方法的考查，等效思想和方法作為一種迅速解決物理問(wèn)題的有效手段，經(jīng)常體現(xiàn)于高考命題中.●等效思想在物理解題中的應(yīng)用等效方法是在保證某種效果（特性和關(guān)系）相同的前提下，將實(shí)際的、復(fù)雜的物理問(wèn)題和物理過(guò)程轉(zhuǎn)化為等效的、簡(jiǎn)單的、易于研究的物理問(wèn)題和物理過(guò)程來(lái)研究和處理的方法.運(yùn)用等效方法處理問(wèn)題的一般步驟為：（1）分析原事物（需研究求解的物理問(wèn)題）的本質(zhì)特性和非本質(zhì)特性.（2）尋找適當(dāng)?shù)奶娲铮ㄊ煜さ氖挛铮?，以保留原事物的本質(zhì)特性，拋棄非本質(zhì)特性.（3）研究替代物的特性及規(guī)律.（4）將替代物的規(guī)律遷移到原事物中去.（5）利用替代物遵循的規(guī)律、方法求解，得出結(jié)論.【例7】

（物理過(guò)程的等效）如圖所示，已知回旋加速器中，D形盒內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.5T，盒的半徑R=60cm，兩盒間隙d=1.0cm，盒間電壓U=2.0×104V，今將α粒子從近于間隙中心某點(diǎn)向D形盒內(nèi)以近似于零的初速度垂直B的方向射入，求粒子在加速器內(nèi)運(yùn)行的總時(shí)間.考生對(duì)α粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程缺乏分解和總體把握，不能運(yùn)用等效辦法求解在電場(chǎng)中加速的時(shí)間，陷入逐段分析求和的泥潭，導(dǎo)致困難。在間隙處電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tE，因每次時(shí)間不等（且次數(shù)又多，分段算將十分繁瑣），可將各段間隙等效“銜接”起來(lái)，展開(kāi)成一準(zhǔn)直線，則粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)就可視作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。【例8】

（物理模型的變換等效）如圖所示的甲、乙兩個(gè)電路中電源電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)電阻r已知，定值電阻R0已知，求電阻R調(diào)至多大時(shí)，R上獲得的電功率最大，其最大值為多少？電源在什么條件下輸出功率最大？甲乙考查綜合分析能力及運(yùn)用已學(xué)知識(shí)靈活解決物理問(wèn)題的能力?？忌柚Ｒ?guī)思路，據(jù)閉合電路歐姆定律及直流電路特點(diǎn)，寫(xiě)出R的功率表達(dá)式，討論求解，繁雜易錯(cuò)，思維缺乏靈活性.本題用隔離法分析比較巧妙，設(shè)沿虛線將電路隔離成左、右兩部分，左邊部分可以看作一個(gè)新的電源.對(duì)（甲）圖電路來(lái)說(shuō)，新電源的電動(dòng)勢(shì)為E′=E，而內(nèi)電阻r′=r+R0.簡(jiǎn)化成了由等效電源（E′,r′）與電阻R連成的最簡(jiǎn)單電路.由電源的輸出功率（即外電路上R獲得的電功率）與外電阻R的關(guān)系求解?！纠?】如圖所示，在水平正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，半徑為R的光滑絕緣豎直圓環(huán)上，套有一個(gè)帶正電的小球，已知小球所受電場(chǎng)力與重力相等，小球在環(huán)頂端A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的圓心角為多大時(shí)，所受磁場(chǎng)力最大？1.領(lǐng)會(huì)物理情景，選取研究對(duì)象.在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，通過(guò)題目的條件、背景、設(shè)問(wèn)，深刻剖析物理現(xiàn)象及過(guò)程，建立清晰的物理情景，選取恰當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象如運(yùn)動(dòng)的物體、運(yùn)動(dòng)的某一過(guò)程或某一狀態(tài).●對(duì)稱思想在物理解題中的應(yīng)用

2.透析研究對(duì)象的屬性、運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及規(guī)律.3.尋找研究對(duì)象的對(duì)稱性特點(diǎn).在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過(guò)直覺(jué)思維，或借助對(duì)稱原理的啟發(fā)進(jìn)行聯(lián)想類比，來(lái)分析挖掘研究對(duì)象在某些屬性上的對(duì)稱性特點(diǎn).這是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).4.利用對(duì)稱性特點(diǎn)，依物理規(guī)律求解.【例10】

（時(shí)間對(duì)稱）一人在離地H高度處，以相同的速率v0同時(shí)拋出兩小球A和B，A被豎直上拋，B被豎直下拋，兩球落地時(shí)間差為Δt，求速率v0.【分析】考生陷于對(duì)兩運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，試圖尋找兩過(guò)程中速度、時(shí)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系求解，而不能從宏觀總體上據(jù)豎直上拋時(shí)間的對(duì)稱性上切入.【解答】對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其上拋后再落回拋出點(diǎn)時(shí)，由于速度對(duì)稱，向下的速度仍為v0，所以A球在拋出點(diǎn)以下的運(yùn)動(dòng)和B球完全相同，落地時(shí)間亦相同，因此，Δt就是A球在拋出點(diǎn)以上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間對(duì)稱，可以求解?！纠?1】

（鏡物對(duì)稱）如圖所示，設(shè)有兩面垂直于地面的光滑墻A和B，兩墻水平距離為1.0m，從距地面高19.6m處的一點(diǎn)C以初速度為5.0m/s，沿水平方向投出一小球，設(shè)球與墻的碰撞為彈性碰撞，求小球落地點(diǎn)距墻A的水平距離.球落地前與墻壁碰撞了幾次？（忽略空氣阻力）【分析】考生有可能陷于逐段分析求解的泥潭，而不能依對(duì)稱性將整個(gè)過(guò)程等效為一個(gè)平拋的過(guò)程，依水平位移切入求解.【解答】如圖，設(shè)小球與墻壁碰撞前的速度為v，因?yàn)槭菑椥耘鲎?，所以在水平方向上的原速率彈回，即v⊥′=v⊥；又墻壁光滑，所以在豎直方向上速率不變，即v‖′=v‖，從而小球與墻壁碰撞前后的速度v和v′關(guān)于墻壁對(duì)稱，碰撞后的軌跡與無(wú)墻壁時(shí)小球繼續(xù)前進(jìn)的軌跡關(guān)于墻壁對(duì)稱，以后的碰撞亦然，因此，可將墻壁比作平面鏡，把小球的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一的平拋運(yùn)動(dòng)處理，在物理變化的過(guò)程中，常存在著某些不變的關(guān)系或不變的量，在討論一個(gè)物理變化過(guò)程時(shí)，對(duì)其中的各個(gè)量或量的變化關(guān)系進(jìn)行分析，尋找到整個(gè)過(guò)程中或過(guò)程發(fā)生前后存在著的不變關(guān)系或不變的量，則成為研究這一變化的過(guò)程的中心和關(guān)鍵.這就是物理學(xué)中最常用到的一種思維方法——守恒法.●守恒思想在物理解題中的應(yīng)用

人們?cè)谡J(rèn)識(shí)客觀世界的過(guò)程中積累了大量經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出許多守恒定律.建立在守恒定律之下的具體的解題方法——守恒法可分為：動(dòng)量守恒法，能量轉(zhuǎn)化與守恒法，機(jī)械能守恒法，電荷守恒法及質(zhì)量守恒法等.動(dòng)量守恒和能量守恒定律是物理學(xué)中普遍適用的定律，是物理教材的知識(shí)主干，也是歷年高考各種題型正面考查或側(cè)面滲透的重點(diǎn)，