考點(diǎn)08函數(shù)的概念與運(yùn)算【命題解讀】通過函數(shù)概念和函數(shù)解析式的學(xué)習(xí)，從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認(rèn)識、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題，逐步養(yǎng)成學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)抽象能力?！净A(chǔ)知識回顧】1．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．2．函數(shù)的三種表示法解析法圖象法列表法就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x，y的值.就是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．1、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝eq\f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2C．f(x)＝eq\f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)【答案】D【解析】A，B，C的定義域不同，所以答案為D.2、（江蘇省南通市海安高級中學(xué)2019-2020學(xué)年高三9月月考）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是____【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.3、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2（x≤1），,x2＋x－2（x>1），))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（2）)))的值為()A．eq\f(15,16)B．－eq\f(27,16)C．eq\f(8,9)D．18【答案】A【解析】當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝x2＋x－2，則f(2)＝22＋2－2＝4，∴eq\f(1,f（2）)＝eq\f(1,4)，當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝1－x2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（2）)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\f(1,16)＝eq\f(15,16)．4、(2019南京三模）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，則f(log23)＝▲．【答案】．EQ\F(3,4)【解析】因?yàn)?＜SKIPIF1<0＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝SKIPIF1<0.5、已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．【答案】9【解析】設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立．∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴f(x)＝2x＋7，從而得f(1)＝9.6、函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是________．【答案】[－3，0]∪[2，3][1，5][1，2)∪(4，5]【解析】觀察圖像結(jié)合函數(shù)的概念。考向一函數(shù)的概念例1(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，求a，k的值；(2)下列各選項(xiàng)給出的兩個(gè)函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0．【解析】(1)(定義法)由對應(yīng)法則1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，即可判斷是相同函數(shù)．（2）對于SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的解析式不同，表示相同函數(shù)；對于SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是相同函數(shù)；對于SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，定義域不同，不是相同函數(shù)．故選：SKIPIF1<0．變式1、下列各對函數(shù)中是同一函數(shù)的是()．A．f(x)＝2x－1與g(x)＝2x－x0B．f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)與g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2.【答案BD【解析】①函數(shù)g(x)＝2x－x0＝2x－1，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)；②f(x)＝eq\r(（2x＋1）2)＝|2x＋1|與g(x)＝|2x＋1|的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)與g(n)＝2n(n∈Z)的對應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù)；④f(x)＝3x＋2與g(t)＝3t＋2的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)．變式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系f不是函數(shù)的是________．(填序號)①f：x→y＝eq\f(1,2)x；②f：x→y＝eq\f(1,3)x；③f：x→y＝eq\f(2,3)x；④f：x→y＝eq\r(x).【答案】：③【解析】：對于③，因?yàn)楫?dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)?Q，所以③不是函數(shù)．變式3、若一系列函數(shù)的解析：式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析：式為y＝2x2＋1，值域?yàn)閧3,19}的“孿生函數(shù)”共有________個(gè)．【答案】：9【解析】：若y＝3，則由2x2＋1＝3，得x＝±1；若y＝19，則由2x2＋1＝19，得x＝±3．所以函數(shù)f(x)定義域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9個(gè)孿生函數(shù)．方法總結(jié)：(1)定義是解題的重要依據(jù)，它有雙重功能：一是判定；二是性質(zhì)．要判定一個(gè)對應(yīng)是不是從定義域A到值域B的一個(gè)函數(shù)，就要看其是否滿足函數(shù)的定義，反之亦然；(2)函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)，而定義域、值域和對應(yīng)法則中有一個(gè)不同就不是同一函數(shù)．考向二函數(shù)的解析式例3、(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【解答】(1)(換元法)令eq\f(2,x)＋1＝t，得x＝eq\f(2,t－1)，代入得f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lgeq\f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.(3)(解方程組法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3).故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.變式1、已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，【解析】設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R.變式2、若函數(shù)f（x）對于任意實(shí)數(shù)x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，則f（x）等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3【答案】A．【解析】函數(shù)f（x）對于任意實(shí)數(shù)x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，則：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．則：，解方程組得：f（x）＝x+1．故選：A．變式3、如圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動，設(shè)點(diǎn)P移動的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．(1)求△ABP的面積與點(diǎn)P移動的路程間的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值．【解析】(1)考慮到點(diǎn)P在正方形ABCD四邊上移動時(shí)△ABP的面積y與路程x的解析式不同，應(yīng)分段進(jìn)行考慮，首先，這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?0，12]．當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S＝f(x)＝eq\f(1,2)·4·x＝2x；當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S＝f(x)＝8；當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S＝f(x)＝eq\f(1,2)·4·(12－x)＝2(12－x)＝24－2x.∴這個(gè)函數(shù)的解析式為f(x)＝SKIPIF1<0(2)作出其圖像如圖所示，由圖像可知，f(x)max＝8.∴y的最大值為8.方法總結(jié)：函數(shù)解析式的常見求法函數(shù)解析式的求法主要有以下幾種：(1)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝f(x)，可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．考向三分段函數(shù)例3、（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x<1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知SKIPIF1<0則f(7）=______.（3）(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a＝________．（4）、(2018南京、鹽城、連云港、徐州二模）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x>0，))則不等式f(x)≥－1的解集是________．【答案】（1）02eq\r(2)－3；（2）6（3）log23（4）[－4,2]【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，取等號，此時(shí)f(x)min＝2eq\r(2)－3<0；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，取等號，此時(shí)f(x)min＝0.∴f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.（2）∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.（3）當(dāng)a－1≤0，即a≤1時(shí)，f(a－1)＝log2(4－a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4－eq\r(2)(舍)；當(dāng)a－1>0，即a>1時(shí)，f(a－1)＝2a－1－1＝eq\f(1,2)，解得a＝log23.（4）當(dāng)x≤0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為eq\f(1,2)x＋1≥－1，解之得x≥－4，此時(shí)－4≤x≤0；當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)≥－1可以化為－(x－1)2≥－1，解之得0<x≤2，綜上所述，不等式f(x)≥－1的解集為[－4,2]．變式1、設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＜1，,4－\r(x－1)，x≥1，))則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________________．【答案】(－∞，－2]∪[0，10]【解析】因?yàn)閒(x)是分段函數(shù)，所以f(x)≥1應(yīng)分段求解．當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1.當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥1?4－eq\r(x－1)≥1，即eq\r(x－1)≤3，所以1≤x≤10.綜上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．變式2、已知f（x）則不等式x+（x+2）?f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C． D．【答案】D．【解析】①當(dāng)x+2≥0時(shí)，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x當(dāng)x+2＜0即x＜﹣2時(shí)，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2綜上，不等式的解集為{x|x}故選：D．變式3、(1)(2018蘇州暑假測試）已知實(shí)數(shù)m≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－m，x≤2，,－x－2m，x>2，))若f(2－m)＝f(2＋m)，則m的值為________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是；【答案】（1）m＝－eq\f(8,3).（2）a≥eq\f(2,3).【解析】(1)11.8或－eq\f(8,3)當(dāng)m>0時(shí)，2－m<2,2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；當(dāng)m<0時(shí)，2－m>2,2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－eq\f(8,3).(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.當(dāng)a<1時(shí)，有3a－1≥1，∴a≥eq\f(2,3)，∴eq\f(2,3)≤a<1；當(dāng)a≥1時(shí)，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.綜上，a的取值范圍是a≥eq\f(2,3).方法總結(jié)：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，再通過分類討論求解；(2)當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．1、(2014江西)已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．1B．2C．3D．-1【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．2、.(2014山東)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)椋ǎ〢．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．3、（2017新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍是___．【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式為SKIPIF1<0恒成立；當(dāng)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．

4、(2015新課標(biāo)1，文10)已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此等式顯然不成立，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故選A．5、（2015新課標(biāo)2，理5）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0()A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】由已知得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選C．6、（2014卷1，文15）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0則使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍是________.【答案】SKIPIF1<0.【解析】原不等式等價(jià)于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.7、德國數(shù)學(xué)家狄里克雷SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在1837年時(shí)提出：“如果對于SKIPIF1<0的每一個(gè)值，SKIPIF1<0總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)SKIPIF1<0，有一個(gè)確定的SKIPIF1<0和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄里克雷函數(shù)SKIPIF1<0，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1；當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0．下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)SKIPIF1<0的性質(zhì)表述正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0