1、第五章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的常用數(shù)值方法51結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值算法Mx+cx+kx，F(xiàn)(t)x(0)，a0 x(0)，v0當(dāng)c為比例阻尼、線性問(wèn)題T模態(tài)疊加最常用。但當(dāng)C無(wú)法解耦，有非線性存在，有沖擊作用(激起高階模態(tài)，此時(shí)模態(tài)疊加法中的高階模態(tài)不可以忽略)。此時(shí)就要借助數(shù)值積分方法，在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，有一類方法稱為直接積分方法最為常用。所識(shí)直接是為模態(tài)疊加法相對(duì)照來(lái)說(shuō)，模態(tài)疊加法在求解之前，需要對(duì)原方程進(jìn)行解耦處理，而本節(jié)的方法不用作解耦的處理，直接求解。(由以力學(xué)，工程中的力學(xué)問(wèn)題為主要研究對(duì)象的學(xué)者發(fā)展出來(lái)的)中心差分法的解題步驟1.初始值計(jì)算1)形成剛度矩陣K，質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。2)定

2、初始值x，x.00，x0。3)選擇時(shí)間步長(zhǎng)At，使它滿足At0.50.25(0.5+y)21a1a0t21a1，32ya=1ta=yia1，41tty(-2)2a=t(1-ya=t(1-y)，a=yt67（4）形成等效剛度矩陣KKK+aM+aC015)K矩陣進(jìn)行三角分解KLDTL對(duì)第一時(shí)間步長(zhǎng)（1）計(jì)算t+t時(shí)刻的等效載荷Qt+tQQt+tQ+M(axt6+ax+ax)+Ca(x+at2t3t1tx+ax)4t5t（2）求解t+t時(shí)刻的位移(LDLT)xQt+tt+t計(jì)算t+t時(shí)刻的加速度和速度xa(xx)axaxt+t0t+tt2t3txx+ax+axt+tt6t7t+t威爾遜-e法的解題步

3、驟1.初始值計(jì)算（1）形成系統(tǒng)剛度矩陣K質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C（2）定初始值x，x,x。000（3）選擇時(shí)間步長(zhǎng)t，并計(jì)算積分常數(shù)=1.46a=6a=0(,t)23,ta=2a21,ta一aa=,a=o,a=232453,t,t2a=1一,a=,a=67286形成等效剛度KK=KaMaC01將等效剛度K進(jìn)行三角分解K=LDtL2.對(duì)每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)(1)計(jì)算tt時(shí)刻的等效載荷R=Q(Q一Q)M(axax2x)t,ttt,tt出出C(ax2xax)1tt3t求解t+,t時(shí)刻的位移速度和位移(LDLT)xt,t=Rt,t速度和位移計(jì)算在t+,t時(shí)刻的加速度、=a(x一x)axax4t,tt5t6t5

4、2結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值算法性能分析對(duì)公式(5.1)描述的線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，已經(jīng)有證明對(duì)整個(gè)多自由度的積分，等價(jià)于將模態(tài)分解后對(duì)單自由度的積分的結(jié)果進(jìn)行模態(tài)疊加，因此可以通過(guò)對(duì)單自由度問(wèn)題的分析，來(lái)說(shuō)明算法的特性，其中阻尼均假設(shè)為比例阻尼，這樣，模態(tài)分解后的單自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為：x+2gx+2x=f(t)(5-29)以下算法的性能分析，均將算法用于這個(gè)方程。521算法用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的有限差分表示將數(shù)值計(jì)算方法應(yīng)用于(5-29),即分別在相鄰的不同時(shí)刻應(yīng)用算法可得如下一般形式k+1Ayk+1Ayk+Lk5-30)A為放大矩陣或稱逼近算子，L為載荷逼近算子。kykxk，Xk，lXk，m+1

5、yk+1xk+1XkXk，mT例如將Newmak方法應(yīng)用于方程(5-29)有：AA-1A(5-33)tdA1+h2622h26g，Ah21(126)22h1-h(1-26)g_th丫21+2hygd1-2h(1-y)g，h(1，y)2矩陣A的特征多項(xiàng)式為5-34)det(A入I)X22AX+A5-34)12其中A1，A為該矩陣的兩個(gè)特征向量，分別為矩陣的跡的一半和矩陣的行列式1AtraceA121(A+A)21122(5-35)AdetA=AA-AA(5-36)211221221XA+A2-A(5-37)1，2112對(duì)Newmak方法有：1+(2y-l)g+(6v1)21+(2y，2)g+(6

6、，y+丄)2Aq_4,A2(5-38)DA2D其中h為時(shí)間步長(zhǎng)，h,D1+2代+32。Newmak方法放大矩陣的規(guī)模是二維的,因此特征值也只有兩個(gè)，可以根據(jù)它們進(jìn)行分析。有的算法放大矩陣是三維的，例如Wilson-方法，在無(wú)阻尼情況下放大矩陣為:(3-1)2+63，625-39)h(6+23-2(3-1)2+63，625-39)(2(2-3)+6)h(6+32-3-322/2)6h6+23，322-6)D(22+6)放大矩陣A的特征多項(xiàng)式為：-det(A-XI)X3-2AX2+AX-A0(540)123其中舛，A2，A3為該矩陣的三個(gè)特征向量，分別為矩陣的跡的一半、各階主子式的和以及矩陣的行列

7、式，對(duì)Wilson-方法有18c6+32832328232eA二2c(282+6)5-41)42328362821885-41),A2=28(282+6)6+6823282+283+328A=3c(282+6)此外，在幾個(gè)不同時(shí)刻應(yīng)用數(shù)值算法，然后將方程中的速度和加速度項(xiàng)消去，可得數(shù)值算法關(guān)于位移的差分方程，例如Newmak方法，有(1+2丫0+62)x21+(2丫1)0+(5n+1+1+(2+1+(2丫2)Q+(5Y+12)2Xn1=05-42)很顯然，其特征方程與其放大矩陣A的特征方程是相同的，使用關(guān)于位移的線性多步方式和放大矩陣來(lái)說(shuō)明算法性能是一樣的，只不過(guò)各有方便之處。522算法的穩(wěn)定

8、性分析設(shè)九，i=1,2m為放大矩陣A的特征值，則p=max卜|定義為A的譜半徑，若ii特征值互異，則p1的算法是穩(wěn)定的，但若有重特征根，則要求P012，1+2A+A0(5-43)121A0I2對(duì)33的放大矩陣12A+2AA0TOC o 1-5 h z12332AA+3A0123，3+2AA3A0(5-44)1231+2A+A+A01231A+A(2AA)0l2313上兩式是關(guān)于算法自由參數(shù),的不等式，由它可以判斷算法是否無(wú)條件穩(wěn)定，若不是，將給出穩(wěn)定條件。例51分析Newmak方法、Wilson-8方法的穩(wěn)定性解：將(5-38)代入(5-43)有202,2(-5)+(12),-102顯然，當(dāng)算

9、法無(wú)條件穩(wěn)定5-45)當(dāng),5,5且2211-)+-5+2()222225-46)算法穩(wěn)定，但為條件穩(wěn)定，其中,為臨界采樣頻率。由于（5-43）式僅僅是充分條件，所c以可進(jìn)一步按照穩(wěn)定性的定義得到5.1.2節(jié)敘述的無(wú)條件穩(wěn)定條件。對(duì)Wilson-0方法，將（5-41）代入（5-44）得0I卩2+,2(-1+602-60)05-47)04(2c2+1-3c)0容易看出，其中第一，二，五不等式恒成立，對(duì)第三，四不等式若希望對(duì)任意的,均成立,則有：-1+602-600403-602+10求解上述不等式得“1+301.372實(shí)際使用中通常選取0=1.45.2.3算法的相容性和收斂性5-48)直接積分算法

10、的相容性、收斂性分析同樣要使用其位移型的差分方程，或?qū)?yīng)的單步多值形式。在算法（5-30）式中，用精確解代替近似解，即可得到局部截?cái)嗾`差表達(dá)式，用符號(hào)e（t）表示ky(tk,)=Ay(tk)+Lk+he(t)(5-49)k+1kkk局部截?cái)嗾`差表達(dá)式用放大矩陣的特征量以最常用的線性三步法為例可表示為e(t)=x(t+h)-2Ax(t)+Ax(t-h)-Ax(t-2h)/h2(5-50)kk1k2k3k其中A,A,A分別為對(duì)應(yīng)的33的放大矩陣的三個(gè)特征向量，然后將x(t-h)x(t-2h)123kk在t點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，然后利用運(yùn)動(dòng)平衡方程化簡(jiǎn)即可。若局部截?cái)嗾`差表達(dá)式為步長(zhǎng)的sk(s0)階小量，

11、則稱算法是s階相容的。對(duì)22的放大矩陣，可仿照上述步驟，來(lái)驗(yàn)證算法的相容性。在經(jīng)典的數(shù)值算法收斂性分析理論中，一個(gè)重要的結(jié)論就是相容加穩(wěn)定等于收斂，其相容的階數(shù)就是算法的精度階。收斂性的含義也是當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)趨于零，算法的數(shù)值解趨于精確解。對(duì)直接積分算法該定理同樣可以證明是成立的。例52分析Newmak法的相容性和精度解：其局部誤差仿照(550)式得：e)=x(k+h)2A1x(+A2(tkh)(5-51)kh2也可以由(5-42)是直接求得，即將x(t+h)X(t-h)在t點(diǎn)泰勒展開(kāi)，并注意到在t時(shí)刻的運(yùn)kkkk動(dòng)方程有：e(t)=(-丄)2,(-25，-丄)g-(-丄)xhk262,(-5+丄

12、),2_1g,(5-+丄)2xh2,o(h3)(5-52)6121224顯然，當(dāng)物理阻尼為零時(shí)，選擇二丄算法是二階的，即截?cái)嗾`差是步長(zhǎng)的二階小量。物理2阻尼的存在，使算法精度降了一階，但若同時(shí)選擇5=1，算法精度仍然是二階的，一般稱6為Newmak線加速度法。顯然Newmak方法中有兩個(gè)參數(shù)待定，每種特定的選取都是一個(gè)特定的算法，最常用的幾個(gè)算法見(jiàn)表5-1表5-1：常用的Newmak族直接積分算法5方法名稱穩(wěn)定條件無(wú)阻尼問(wèn)題精度階有阻尼問(wèn)題精度階類型1/21/4平均加速度方法(梯形法)無(wú)條件21隱式1/21/6線性加速度方法=23=3.46c22隱式1/20中心差分方法=221顯式如果在一個(gè)時(shí)

13、間步內(nèi)需要求解一個(gè)隱式的方程組，則稱算法是隱式的，反之不需要求解方程，直接計(jì)算即可得到下一時(shí)刻的值，則稱算法是顯示的。從5.1節(jié)的Newmak方法的計(jì)算步驟可以看出，這類方法是隱式的，但對(duì)于中心差分方法，若質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣都是對(duì)角矩陣九九1a土bi(5-56)就可以顯示地計(jì)算。顯然顯示方法計(jì)算量要小得多。讀者可自行分析Wilson-方法的精度,不難分析，無(wú)論是無(wú)阻尼還是有阻尼其精度都是2階的，它也是隱式方法。5.2.4算法耗散和彌散特性算法的精度，在小步長(zhǎng)的情況下可以通過(guò)局部截?cái)嗾`差分析來(lái)說(shuō)明比較，但是，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，步長(zhǎng)的選取可能不是很小，此時(shí)如何來(lái)度量算法的計(jì)算精度，當(dāng)然可以針對(duì)有解

14、析解的問(wèn)題進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，將數(shù)值解與解析解進(jìn)行比較來(lái)分析算法的計(jì)算精度。理論上還可以通過(guò)數(shù)值耗散(disspation)和彌散(dispersion)來(lái)輔助度量與分析，為引出這兩個(gè)概念的含義，我們?nèi)匀灰詥巫杂啥扔凶枘嶙杂烧駝?dòng)問(wèn)題為例，該問(wèn)題的解析解為：(5-53)x(t)e窮t(ccost+csint)(5-53)1d2d(5-54)當(dāng)直接積分算法用于這樣的問(wèn)題，前小節(jié)已經(jīng)講述過(guò)它可以寫成形如(5-42)的關(guān)于位移的有限差分形式，就是可以得到一個(gè)關(guān)于位移的有限差分方程，對(duì)于一個(gè)收斂的且有一定精度的算法，這個(gè)差分方程通常有一對(duì)共扼復(fù)根，(5-54)九e(,o土id)h1,2d其中&1,2，該

15、兩根稱為主根，其它根稱為寄生根(spuriousroots)。解的一般形式可d寫為(5-55)_m(5-55)xe,tn(ccosot+csinot)+乙c九nn1dn2dniii3式中的亍稱為算法阻尼比，當(dāng)有物理阻尼存在時(shí)，它還包括了物理阻尼的影響，O稱為算法頻率，對(duì)應(yīng)的T2冗/o稱為算法周期。可以看到上式前兩項(xiàng)與(5-53)式形式是相同的，這給了我們與精確解進(jìn)行比較的可能，如果寄生根的影響較小，即九九。ii二3m】,2解表達(dá)式中得常數(shù)cc與cc差別不太大。1212這樣，我們就可以通過(guò)比較不同算法的算法阻尼比和相對(duì)周期誤差，來(lái)比較算法的計(jì)算精度。此時(shí)，對(duì)無(wú)阻尼問(wèn)題，可以很明顯看到算法阻尼比會(huì)

16、使得數(shù)值解曲線的幅值與解析解相比要降低而產(chǎn)生振幅衰減，這就是所謂的算法的數(shù)值耗散。同時(shí)，不同的算法的算法周期與精確的周期會(huì)有一定的誤差，這個(gè)誤差一般用相對(duì)周期誤差來(lái)表示(TT)/T，它會(huì)使得數(shù)值解曲線上產(chǎn)生周期的延長(zhǎng)或縮短，即所謂的數(shù)值彌散。實(shí)際分析時(shí)，可以首先通過(guò)求解放大矩陣的特征方程得到特征方程的主根和寄生根，若主根可以表示為：并注意到式(5-54)有PP1,0,(5-62)(5-57)(5-58)(5-59)(5-60)(5-57)(5-58)(5-59)(5-60)arctan(b/a)3arctan(b/a)/1一,2a2b21,-Ln(a2+b2)23對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，一般總希望算

17、法在低頻段有較小的耗散和彌散，而且在低頻段，當(dāng)Qt0時(shí)，可以很方便地獲得它們的近似解析表達(dá)式。在高頻段算法的耗散特性，用譜半徑來(lái)說(shuō)明更適合，一般用plimp(A)來(lái)度量算法對(duì)高頻分量的耗散特性，特別地，當(dāng)p0g時(shí)，稱算法具有高頻漸進(jìn)消去特性，即當(dāng)算法計(jì)算一步以后高頻極限完全地被耗散掉，而其它高頻分量由高到低漸進(jìn)地被耗散。由前面的敘述可以看到，算法放大矩陣的特征向量AA或AAA決定了算法對(duì)應(yīng)特征方程的根，也就決定了算法的穩(wěn)定性，同時(shí)確定了譜12123半徑、以及算法耗散和彌散特性。這些特性有時(shí)也稱算法的譜特性。放大矩陣相同的不同算法，稱為互相相同的，放大矩陣不同但特征值相同，稱算法互相相似，或稱算

18、法頻譜等價(jià)的。對(duì)于算法的耗散特性，應(yīng)該說(shuō)明的是高頻耗散特性對(duì)實(shí)際的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)求解是有益的，因?yàn)閷?shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散以后計(jì)算出的高頻行為并不真正代表系統(tǒng)的物理行為，它是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在空間進(jìn)行有限元離散的結(jié)果，是虛假的行為，而不具備高頻耗散特性的算法，是將所有頻率上的響應(yīng)全部進(jìn)行了積分，盡管步長(zhǎng)取得相對(duì)較大時(shí)，高頻的積分不準(zhǔn)確，這樣的計(jì)算結(jié)果顯然與系統(tǒng)實(shí)際的反應(yīng)不一致。但是同時(shí)要注意，它在低頻也不同程度地引入了數(shù)值耗散，這樣這些算法就不適合進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算，因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間以后應(yīng)該精確計(jì)算的低頻響應(yīng)，由于耗散特性的存在，已經(jīng)被耗散得面目全非，因此，有耗散特性的直接積分方法只適合計(jì)算瞬態(tài)的、短時(shí)間內(nèi)的低頻動(dòng)

19、力響應(yīng)。例5-3分析Newmak族算法頻譜特性PP1,0,(5-62)PP1,0,(5-62)解：對(duì)Newmak族算法來(lái)說(shuō)，當(dāng)丫=時(shí),2種情況。此時(shí)算法放大矩陣的兩個(gè)特征量為：算法才可能有二階精度，我們僅討論這一PP1,0,(5-62)PP1,0,(5-62)ATE。221,Q5Q2(5-61)PP1,0,(5-62)PP1,0,(5-62)SA1土iA2-Aa土ibPP1,0,(5-62)則譜半徑a2a2b2A2PP1,0,(5-62)PP1,0,(5-62)不考慮物理阻尼時(shí)，對(duì)任意的Q有xx1=(Q2)x0+(h)v0(5-66)(5-63)(5-64)TTQ(5-63)(5-64)=1=

20、1TQ11arctanQ1,()Q2/(1,()Q2)42就是無(wú)阻尼時(shí)，Newmak族算法不存在數(shù)值耗散，但有一定的相對(duì)周期誤差。對(duì)有阻尼問(wèn)題，p=1，+0(Q2)5.2.4算法的超調(diào)特性譜半徑這個(gè)指標(biāo)對(duì)算法性能的影響還需要進(jìn)一步說(shuō)明的是，它只決定算法的長(zhǎng)期特性即p1可以保證隨著算法計(jì)算步數(shù)的增加計(jì)算過(guò)程是數(shù)值穩(wěn)定的。但對(duì)無(wú)條件穩(wěn)定的算法，由于步長(zhǎng)大小選擇沒(méi)有限制，一般在滿足指定精度的條件下，盡可能取較大的時(shí)間步長(zhǎng)，對(duì)于非零初始條件問(wèn)題，在計(jì)算開(kāi)始的幾步可能會(huì)出現(xiàn)初始數(shù)據(jù)及其誤差(如初始位移，速度的測(cè)量誤差，初始加速度的計(jì)算誤差)被放大的現(xiàn)象，這稱為超調(diào)(overshoot)。這種現(xiàn)象是放大矩

21、陣A病態(tài)，有較大的條件數(shù)而產(chǎn)生的。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于當(dāng)qt0算法是收斂的，不會(huì)出現(xiàn)超調(diào)。一般為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只分析當(dāng)qt時(shí)，在計(jì)算的第一步是否會(huì)出現(xiàn)超調(diào)。例54分析Newmak平均加速度法的超調(diào)特性為分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將Newmak平均加速度法用于無(wú)阻尼自由振動(dòng)問(wèn)題，此時(shí)其放大矩陣為：TOC o 1-5 h z14Q24hA=,Q2一4Q,Q3w/242Q2v14wQ+Q3w/242Qv1x+v04+Q20(5-65)在Qt時(shí)，可得近似等式(5-65)x1=x0,1=(Q)v0+(1)x01=(Q)x0+1=(Q)v0+(1)x0于初位移的影響，在速度上有關(guān)于Q線性超調(diào)現(xiàn)象。前面提過(guò)Wilson-方法有

22、很強(qiáng)的超調(diào)現(xiàn)象，對(duì)無(wú)阻尼問(wèn)題，從放大矩陣的各元素的表達(dá)式中，很容易得到(002)Q4+(2026)Q2+12h(021)Q2+6)x=x+v12+20212+202Q26,02Q2(30202)wQ312Qw(023)Q2+6v=x+v12+2012+202Q2(5-67)在qt時(shí)，可得近似等式其中o(2),o()分別表示關(guān)于Q的一次和一次關(guān)系式。由此可知Wilson-0方法在位移上關(guān)(5-67)于初位移有二次超調(diào)，同時(shí)關(guān)于初始速度有一次超調(diào)。在速度上有關(guān)于初位移一次超調(diào)。另外，也可以用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)指定的初始條件，計(jì)算出近似解x,v，然后與精確解比Mv2,KxMv2,Kx2Ennn2(5-

23、68)然后將E與E比較。01顯然，由于直接積分方法適合于短時(shí)間的瞬態(tài)問(wèn)題計(jì)算，因此超調(diào)現(xiàn)象也是必須加以注意的。綜上所述，對(duì)一個(gè)數(shù)值積分算法理論上要分析其相容性，穩(wěn)定性，數(shù)值的耗散與彌散特性，對(duì)無(wú)條件穩(wěn)定的算法還要分析其超調(diào)特性。這樣才可能對(duì)算法的本質(zhì)有深入的了解，進(jìn)而指導(dǎo)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的解釋與分析。此外，由于直接積分方法對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平衡方程進(jìn)行數(shù)值積分的目的在于估計(jì)結(jié)構(gòu)真實(shí)的動(dòng)力響應(yīng)。為了精確地預(yù)計(jì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，要求模態(tài)分解以后所有的單自由度平衡方程都必須被精確地積分，但在直接積分法中，對(duì)所有的方程積分都相當(dāng)于采用相同的步長(zhǎng)h所以時(shí)間步長(zhǎng)的選擇必須針對(duì)系統(tǒng)的最小周期。如果T是系統(tǒng)的最小周期的話，

24、則h選為nT/n，其中一般n=10。對(duì)條件穩(wěn)定的算法，當(dāng)然還要同時(shí)考慮這個(gè)選取是否滿足算法穩(wěn)n定性的要求。對(duì)有條件穩(wěn)定的算法，要求n2，若n取10，多數(shù)的條件穩(wěn)定算法的穩(wěn)定c條件都滿足，不難驗(yàn)證表51中的條件穩(wěn)定算法全都滿足。但需要注意的是，對(duì)于大型、復(fù)雜的實(shí)際結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)有限元離散以后通常都有上萬(wàn)，甚至幾十萬(wàn)個(gè)自由度，其最大固有頻率通常都很大，也就是系統(tǒng)的最小周期非常小，此時(shí)，按T/10來(lái)選取步長(zhǎng)就非常小，這會(huì)n大大增加計(jì)算量。而實(shí)際工程上只關(guān)心較低階的固有頻率，同時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也主要由若干較低階的響應(yīng)構(gòu)成，因此在計(jì)算時(shí)高頻可以不用精確積分，就積分出那些主要的，感興趣的低頻響應(yīng)就可以了。也就是步

25、長(zhǎng)可選擇為T/10，比T/10大T/T倍。由于實(shí)際情況中T/Tpnpnpn可能會(huì)非常大，這樣條件穩(wěn)定算法的穩(wěn)定條件就可能無(wú)法滿足，而無(wú)條件穩(wěn)定算法對(duì)步長(zhǎng)的選取就沒(méi)有穩(wěn)定性的限制，因此對(duì)于實(shí)際的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算，多數(shù)都使用無(wú)條件穩(wěn)定算法。xx1=(Q2)x0+(h)v0(5-66)5.3矩陣特征值問(wèn)題及解法531.問(wèn)題分類（K，2M）=0K0=2M0這原本是廣義特征值問(wèn)題，但可以化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題，前乘M-1，得（M，iK，21）=0令A(yù)=M-1K，則有（A21）=0這是代數(shù)里的標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問(wèn)題，對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題而言M對(duì)角M-1K=A對(duì)稱M對(duì)稱非對(duì)角M-1K=A不一定對(duì)稱非對(duì)稱矩陣的結(jié)構(gòu)特征

26、值問(wèn)題計(jì)算量很大，此時(shí)作如下處理：1對(duì)M進(jìn)行Cholesky分解（因?yàn)镸對(duì)稱正定）M=LUL（下三角陣）U=Lt（上三角陣）代入方程（K，2M）0=（K，2LU）0前乘L1得（L，iK，2U）0=0提出U得（L，iKUi-2IU=0令A(yù)，=L-1KU-1，0=L0則有（A-21）0=0可以征明A與A有相同的特征值，因?yàn)樗鼈兪窍嗨频木仃嚕獳是對(duì)稱的-T-因?yàn)锳=（L-1KL-T）T=L-1KTL-T=L-K1L-T=A所以A-對(duì)稱。只不過(guò)特征向量有所變化，求出以后，l-t至于Cholesky分解，可直接由M(或K)的元素計(jì)算得到I11ll0L=2122llnnn1n2nn的各非零元素l，(m-

27、Sl2)1/2jjjjjrr，1i=j+l,j+2,nl，(m-Sll)/1ijijirjrjjr，1丿上式依次取j=1,2,小，即可求得L的下三角部分各列元素。又若記v11vv0L-1,1222vvvn1n2nn則其下三角之i=1,2,.,n行元素，依次為v，1/1iiiiv，-(Slv/1)j=1,2,i-1ijirrjiir，15.3.2特征值、特征向量的一些特性對(duì)角陣、三角陣、塊對(duì)角陣、塊三角陣對(duì)角陣和三角陣的特征值就是這些矩陣對(duì)角元素的數(shù)值。塊對(duì)角陣和塊三角陣的特征值就是這些矩陣的對(duì)角線上各個(gè)子塊的特征值幾種特殊矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)，其特征向量也可選為實(shí)向量。反對(duì)稱矩陣的特

28、征值或者為純虛數(shù)，或者為零。正定對(duì)稱矩陣的特征值全部大于零。對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量彼此正交。3與原矩陣A相關(guān)聯(lián)的幾種矩陣設(shè)矩陣A的特征值是九，其對(duì)應(yīng)的特征向量是x,則A+u(I)陣的特征值是九+卩，特征向量是x；aA陣的特征值是a九(a0)，特征向量X；At是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則At的特征值就是九；Am陣的特征值是特征向量仍為x,m為整數(shù);若A非奇異，則A的逆矩陣存在，記為A-1，是A-1的特征值為1/，特征向量為x;若矩陣B與A相似，即有可逆陣P存在，使B，PiAP則B的特征值也是，特征向量是P-1x4.特征值的積與積若矩陣A的特征值為、，則有12nn+，a12niii，1-，det

29、(A)12n它們可作為校核、估計(jì)甚至計(jì)算特征值的手段，讀者可以自行驗(yàn)證。533特征值問(wèn)題的基本計(jì)算方法由于高于四次的一元代權(quán)方程無(wú)法求精確解，所以必然要采用迭代方法求計(jì)算求近似解目前的迭代方法，只不過(guò)迭代的方法和技巧不同。已有很多成熟方法。方法選擇時(shí)主要取決于1)所要求的特征對(duì)數(shù)目2)K、M的階，3)K、M的帶寬以及是否帶狀。根據(jù)用到的基本關(guān)系大致可分四類1.向量迭代法(幕迭代法Poweriterationmethod)基本關(guān)系K，Miii根據(jù)迭代格式不同又分：正向迭代(幕迭代)逆迭代(反幕迭代)主要用于求特征向量。2變換法基本關(guān)系：TK，ATM，I質(zhì)量歸化為的模態(tài)矩陣A，diag(,)123n雅可比迭代(Jacobi)(小模型實(shí)對(duì)稱陣標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題的全部特征對(duì)方法)廣義雅可比迭代(求全部特征對(duì)，小模型的廣義特征值問(wèn)題，或者有大量非對(duì)角線零元素和少量對(duì)角線零元素問(wèn)題)豪斯霍爾德(Householder)3多項(xiàng)式迭代法(不單獨(dú)使用)基本關(guān)系：p()，det(K-M)顯式多項(xiàng)式迭代隱式多項(xiàng)式迭代4.斯圖姆（Sturm）序列法利用（九），det（K-九M）的Sturm序列性質(zhì)來(lái)求解。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題絕大多數(shù)使用有限元法方法離散求解。隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和速度能力的成倍提高，所建模型越來(lái)越精確，幾十萬(wàn)、上百萬(wàn)個(gè)自由度的計(jì)算成