1、復變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理第1頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四設為的一個孤立奇點;內(nèi)的 Laurent 級數(shù):在.的某去心鄰域包含的任一條正向簡單閉曲線C.一 、留數(shù)的定義和計算2第2頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四0(高階導數(shù)公式)0 (柯西積分定理)3第3頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四1. 定義 記作包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值后所得的數(shù)以的一個孤立奇點, 如果(Residue)則沿內(nèi)，除稱為4第4頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四2. 計算留數(shù)的一般公式由Laurent級數(shù)展開定理,

2、定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域 內(nèi)Laurent級數(shù)的負一次冪系數(shù)c-1(1)若z0為函數(shù)f(z) 的可去奇點, (負冪項的項數(shù)為零個), 則它在點z0的留數(shù)為零.注：當z0為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點時,若 為偶函數(shù), 則f(z)在點z0的去心鄰域內(nèi)Laurent級數(shù)只含z-z0的偶次冪, 其奇次冪系數(shù)都為0, 得5第5頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四如果 為 的一級極點, 那么規(guī)則1成Laurent級數(shù)求(2) 如果為的本性奇點, (3) 如果為的極點, 則有如下計算規(guī)則展開則需將6第6頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四規(guī)則2 若z

3、0為f(z) 的m級極點, 則對任意整數(shù) 有說明 將函數(shù)的零階導數(shù)看作它本身, 規(guī)則1可看作規(guī)則2當n=m=1時的特殊情形, 且規(guī)則2可取m=1.7第7頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四規(guī)則3 如果設及在都解析，那么為的一級極點, 且有8第8頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四為 的一級極點,的一級零點,為的一級極點，為證9第9頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四3.典型例題例1 求在的留數(shù).解10第10頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四例2 求在的留數(shù).分析是的三級零點由規(guī)則2得計算較麻煩.11第11頁，共2

4、8頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四如果利用Laurent展開式求較方便:解12第12頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四注意: 如 為 m 級極點，當 m 較大而導數(shù)又難以計算時, 可直接展開Laurent級數(shù)求來計算留數(shù) .2. 在應用規(guī)則2時, 取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便. 1. 在實際計算中應靈活運用計算規(guī)則. 為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實際的如上例取13第13頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四例3求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù)(1) , ;解： 是函數(shù) 的一級零點, 又是函數(shù) 的五級零點.于是它是 的四級極

5、點,可用規(guī)則 計算其留數(shù),其中 ,為了計算簡便應當取其中 ,這時有 14第14頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四另解： 在點 的去心鄰域 內(nèi)的Laurent級數(shù)為 ,其中 的項的系數(shù)為 ,從而也有 . 例3求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù)(1) , ;15第15頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四(2) , ; 解： 在點 的去心鄰域 內(nèi)的Laurent級數(shù)為 顯然 為它的本性奇點,其中 的項的系數(shù)為 ,于是得16第16頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四(3) , . 解：顯然 是 的一級極點;可是不能用規(guī)則 求其留數(shù),由規(guī)則 得17第

6、17頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四思考：有關因式分解問題？1.2.18第18頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四二、留數(shù)定理定理1 若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,zn外解析，則有留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理. 它使得一些積分的計算變得十分容易.19第19頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四例4. 計算下列積分(1) 解：被積函數(shù) 的奇點 和 都在圓 的內(nèi)部,由規(guī)則1,2可得以下結(jié)果 ; 于是由留數(shù)定理得積分值為20第20頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星

7、期四(2) 解： 在圓 的內(nèi)部有一個二級極點 和兩個一級極點 ,于是利用留數(shù)的計算規(guī)則 和 得21第21頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四(2) 最后由留數(shù)定理得積分值為22第22頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四例5 計算積分C為正向圓周:解 被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周的內(nèi)部 , 所以由規(guī)則3 23第23頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四例6 計算積分C為正向圓周 :解 除被積函數(shù)點外, 無其他奇點，在圓外。所以24第24頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四因此25第25頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四1 若z0為函數(shù)f(z) 的可去奇點，(負冪項的項數(shù)為零個)，則它在點z0的留數(shù)為零.2 當z0為f(z)=g(z-z0) 的孤立奇點時，若 為偶函數(shù)，則f(z)在點z0的留數(shù)為零.小結(jié)：留數(shù)的計算 3 若z0為f(z) 的一級極點，則有4 若z0為f(z) 的m級極點，則對任意整數(shù) 有26第26頁，共28頁，2022年，5月20日，6點20分，星期四5 設f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點z0都解析。若 ，Q(z0)=0且 ，則z0為f(z) 的一級極點，且有6 由La