1、1 實(shí) 數(shù) x 0ax aax）ax )( )-a a a x x）若aa x(a )ax xaxa11ax）x1x3）(x 0 x1 2x1 3x2x x 1） 3 。（x2 0 0 0 xxx(x 0或x2；x210 x 或x 1 1 x 1(x (x 2x1 6x9 x 2；22）兩邊平方得x22 (xxx22 (xx0 xx1，圖圖a b若對(duì)任何正數(shù) 有 a b 則 .圖a,bR ba b 0 a b a b 故 證 若a00a b.1 0 2x xx 0 x 0 ， 故 可 令 x y2 ， 由證 明 ： 只 需 證 明 x時(shí) 結(jié) 論 成 立 。 因 為1211 2 0 21yy2x

2、xyy2xR1 2 1）x x x 。1 2 3 2 x）xx1） x1 x2(x(x 1； x31 x1 x2 x3 2x312 x 4x x x x x 。1 1 1 2 3 1 2 3 112 x 1 x2 x3 x1 x3 x2 2 x2 2 x。a,b,c ab ac bc 、設(shè) ）因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)b 2222,cb c 22 a2222b c b cb a c bc） a2222。三bca2b2 a2c2 ）圖圖a xb xax b 0且a b1與 ba a xb ax bx abax abbx 1；a若ab b xa x ab ax bx1b x bp p p n,mp p n

3、mn2p p m 1m 與n m2與n22m2pm2 n2 m2 是n2m 12a與 b2a xbxa xb）2 ） x a b。） xabb ，對(duì) x a x b 兩邊平方得：x a b；若 ，對(duì)1）如果a2abxa xb x ba2ab aa( a b)；abbax 22a bbx ababx ab x。22211 n1 。n1 1 n n111n 111111n 1 。nnn1 11 1 1 n1n1n1n1 n n1 n na ,a , ,a ,bb , ,b 1112n1 2n 2 nnn a ba2b2iijii1i1i1 21nnnnn a b a b0證明：方法一：因?yàn)閍2b2

4、a b22jiiiijj ii1i1i1i1 j1 2 2 nnn a b ,A a ,C bB2 0 0 A ， Biiiii1i1i1(x) Ax 2BxC 0 f2 2nnnnf(x) a 2x a b xba x b 0BAC02222iiiiiii1i1i1i1注 a b a b a a a b b b a b2122221222 ，1 122nnnn(a ,a , ,a ),b b ,b , ,b )nR, , an12n12nR a,b a b n。3bccaa b c , , , , , （aba a a b a c b b b c b a）122223123 1 11 ,a

5、, ,a(a a a n（a212n12a a1an2n1 a ,c i ,nbaiiii 1 11 2nnn(a a a b c bc n222。12na a1aii ii2ni1i1i1 nnn（2 a22b2 ；in,b (i ,n)(a b ) a iiiiii1i1i1 (a b ) a b 2 a b 2 2 nnnnn222iiiiiii1i1i1i1i1 2 nnnnnna b ab a b ab2222 。iiiiiiiii1i1i1i1i1i111 21 2n。（2n1111221 111 1 n 22n1111 11 1 222222n n 111111112n1 1 2

6、又12n2222n122322數(shù)集、確界原理11x x0 x 6）；x2）(x)(x)(x)0（a b ca b c）, , 。x2111x x0 1x xx (, )）；2234x 1 0 x 34x 10得x42424x1,2,3,4 8)3 8,3 83 8,3 8； aa x b x c和 x(a,b)(c,)為；2,2。44kZ SSSSx M；0 x0Sx x M 。00S 2 x S y 2 x 2y22 2 S 2( 3M) S,y M y2S00 xx 2S xx x(內(nèi)的無(wú)理數(shù)S；S2）1 xx 1 ,n ）S 2n2 2 1）S 的上確界為，下確界為，事實(shí)上，因?yàn)閷?duì) x

7、S ，則2 2 2 22為S 2xx為S1220 x2， 2 S x2 2 ( 2)20282 22 201202x 2 0S使得所以是 S 的上確界；又對(duì)任意的，存在2 2 22( 2 )2x20 2 2 2是S82 2SxSx !11為S0 S 1為S1110為S1為SS0為S1為S1010 x Sx1 1 為 S00 x S0 x 0 0 為 S05為S1為S為S1為S1211 0 x 10Sx 101（其中界，又對(duì)任意的，存在使得20201N log 11 01Sx0 1 為 S 20021 12x 10 N log202102SSS infS S ； 是minS。S SxS證明：證1

8、 因?yàn)?，所以；S；Sx有 x 0S S supS S；infSSxSminSminSx有 x 0 S S infS S； S x xSinfS SS）S infS。xS xsupSxsupS supS 0 S x Ssup sup ，xSS xinfS S；xSxinfSxinfSinfS是 0 S x Ssup sup xSS xS infS以。67 B皆為非空數(shù)集，記SA,TAB（）sup x sup ,sup ）B；inf S inf A,inf BSAT n ,T x , B（）。supAsup,infAinfBxSxsup,supB ,sup B 是SA0 xBSsup sup xB

9、S對(duì) 任 意 的， 存 在使 得， 所 以supS sup,supB ；B 以xS x ,mininf ,infA B 是SSA0 xASxinfA infS的下界，又對(duì)任意的，存在使得，所以inf S n inf ,inf B；xTxA xBx且supA ,xB xA B且T n ,；Bx ,xTxA xBxinfA x且且T x , 。 a x 設(shè)ar x a, ,當(dāng) 1a rra x a r,r x ,當(dāng)a 1ra1r x,ra a a ,2） r,r x（1）為有理數(shù)，則有理數(shù)，使得rxx a a。rx,x0 a r 1xlog xr,log r x a a。，由有理數(shù)的稠密性， rx

10、aa0a17 : y x1 y 1 x1 x 1y x; y;2 ; 2 ; 23 , x3, x x x y x 1.解 yyyx2yy21OxxOxO圖 3-1(0)圖 3-1(1)圖 3-1(2)yxO y 1 x 2xO 1圖 3-1(3)yOx圖 3-21 ay log x 2 a 和 y與a.x2a yy 0在 f x1yy21 x 和 f x .22O 1x解1xO4x,0 x ,y log x 21f x 1圖 3-4124 4 , x1. x 281y16x,0 x ,42411 f f x 816x, x ,22412 x 1.2 :1/21 x O 14xy x; y;

11、圖 3-5xxarcsin y lg y; . ,x 0 x 1D 3解 （1） D； （2） 由xx1lg 10.1 101 x 100，1010 xarcsin 0故D，10 x0 10 x 10D。得102 x, x f x 2 ,x 0.x 3, f 0 , f 1 f x f 0 , f x f 0 x 0: f;. 3 2 3 f 0 20 f 1 2 2.解 ） f1 x f 0 2 f x f 0 2 x 2 x） f。x 1 1 f 2 x , f 2x , f x , f f x , f. f x求2 1 x f x 解 11111 f 2 x ; f 2x ; f x;2

12、1 2 x 3 x1 2x 12x1x2111 x 1 111 f f x ; f 11111 f x2 xf x2 x111 1 xf x1 x : 1 x 20 arcsinx2 lg1 1xy 22 y; y2 ; y2 ;sin .x9解 y u和u1x y y yw2和warcsinu及u x2 lg,w 1 u u 1 x和2 2 ,w usinxw2和uaxbcxd , y? bad b a x b x d 由 y aaxb ycxd x y. ， 且解 這 是 周 期 函 數(shù) ， Ty x x23 :2xO x x,xR;2 arctan tanx x,x ,k 0,2,.2圖

13、 3-52解 arctan tanx 。22 x2 x x題 y11 0時(shí)，1 x x1x0時(shí)，1x1x。x xx1111 0 1 1 x x1； x xx xx1111 x0 1x01x1 x。 xx xx10是 f xxR1 x21 2x1 證 f x xx ,xRf x 以是R1 x2 1x21 x2221 f x為x2 f f x M 0M , 定義: 設(shè) f D上的函數(shù),若對(duì),都存在 xD,使得 f x00 f 為D1 對(duì)M 0 x0 f x 1MM M10 f 為1 , ,x 解 f x 是xx0. 3x1 ,在y x ,在y 2 2 y x在 . ,x , , x x 證 x且2

14、 21212x x x x0 ,212122222x xx xx x 2sin0 x x,2112222121 ,x , x x 證 x 且1212x xx x00 ,212122211x xx xx x 2sin0 x x2,2112221214.: 1 f x 2 f x xxf x x x 1;(2)4 2 x e2 1 2(1);(3)x ;(4)f xxx .2 1 x 1 x x x 1 x f x,即f 解 f221 x x25.:xx(1)cos2x; (2)1cos2xtan3x; (3)cos 2sin.23cos2 x cos2x f .解解 解2 .tan3x3xx x

15、xcos4 sin ,6f x cos 2sin ,所以 =23236 .f a,a f x f x , x a,a F x f x f x , x a,a G x f f x g x , xD,gD設(shè)f sup f x supg xinf f x inf g x 證 x; .DDDD Dsupsupf,有f x g xg x ,即g x 是 ,故DD sup f x supg x.DD inf f xD inf f x f x g xg 證 x,有,即是 ,故DD inf f x inf g x.DD12 設(shè) Df sup f x inf f xinf f x sup f x;.DDDD f

16、 x ,xD f x inf f x f x inf f x( 證 ()對(duì),有DD inf f x f x xD明 了 定 數(shù)是 數(shù) 集的 上 界 ( ) 又 對(duì) 任 意 的D f x inf inff x x D0f x 使0DD f x inf f x sup f x) .0DD . x , ,a,b 在2 22 2 證 對(duì)M 0 x M 1,x M 1x ,x 1212 ,且2 2 x M 1 M 1 M,1 x M 1 M 1 M,2 x ,即在2 2 2 2 ,b, a b x a,b , a22tana tanx tanb, a,bx ,即在2 2 當(dāng) , x D x 當(dāng).解 xs

17、inx f x在 R,x R,x xx,122113x xx x f x f x x x x x x x 221212221212121x x x x 2 x x x x 0. x x,x 012221212112、設(shè)定義在0,)f a,b上有界,定義a,) m x inf f y , M x sup f yayxayxmx 與M x cosx,x0,); fx f x x2 x),cosx, 0 x , M x 1, 0 x 答 m x 1, x . , 1 1, 1 1,x xx M x 2 m x 0, 0 x ;, 1 .x2x 總 練 習(xí) 題 解 答1 a,bRa b , ab ab

18、 ；21 a,b ab ab。2a b a a b a b11 ab , , a b a b a ab，2211 a,b b, ab ab ab ab b則22f 和gD M x f x ,g x , m x f x ,g x , xD M x 和m x 12答 11 2M x f x g x f x g(x) f x g x f x g x ，2 M x m x 1x11 , f x , f x1, f x f求 , f x2 , f f x。f x 1 x x f x14 x y5 131y xxy x與 y 2 0.5, 0. y x xxy ,x 30,31,32, ,50.5 f 和

19、g x n f x ,g x f x ,g x x 。,g f和 h f x g x h x ,xR g g x h h x f f x。 f g x g g x g h x h h x f f x a,b,bxx f 和g a 7 x ,x a,b ,x xf x f xg x g x且1212121215 x,f x ,g x xx x f x g x f x g x 11121222 n,n,f x ,g x xn x f x g x f x g x 11121222 aa,aaf 為f 為f 在f 在 a,af x f(x) , , 對(duì) x xa x x 2121 f xx ,x a,

20、0,x xf x得121212 (x ),(x ) a ,(x ) (x )f x f x f x f x12122121 f x f x f 在a f 為a,a 12f 和g為D inf f x g x inf f x supg xsup f x inf g x f x g x 。DDDDDD xD g x supg x f x g x f x supg xDD4節(jié)7 f x g x f x g x f x g x2DDDDD題 xD g x inf g x f x g x f x inf g xDD 4節(jié)7 sup f x g x sup f x inf g x sup f x inf g

21、 x2DDDDD題f 和g為D inf f x inf g x inf f x g xf x g x sup f x supg x。；DDDDDD inf f x inf g x 0 f 和g 為DDD inf f x ,inf g xinf f x inf g x 0，DDDD,gf f x inf g x f x g xD16 inff x inf g x inff x g x DDD inf f x inf g x inff x g x DDD infainf f x ainf f x ,a 0）DDD sup f x supg x 0（2） f 和g 為D 上的非負(fù)有界函數(shù)，所以，若f 和g DD sup f x ,supg xDD sup f x supg x 0,f gDD f x supg x f x g xD f x supg x f x g x DDD sup f x supg x f x g x DDD asup f x asup f x ,a 0）DDDf 和g11 f x