1、用平均值法和擲點法計算一維定積分一、課題名稱：用平均值法和擲點法計算一維定積分二、班級和姓名：*三、主要內(nèi)容：a.一維定積分計算的平均值法期望值估計法)研究的內(nèi)容和算法一般規(guī)則：任何一個積分，都可看作某個隨機變量的期望值，因 此可以用這個隨機變量的平均值來近似它。要求積分 I真bg(z)dz, z a,b, 0 L g (z) M(Z a)1先做變量代換，則，b a， x 0，1【真0 g(x)dx若 L手0, M 手0, (f(xf(X)1 fe,(x歸一化可得M L,I 1 f ( x ) dx 0 x 1 ,0 f (x )10如果在x的定義域0,1內(nèi)均勻的隨機取點，該均勻分布的隨機變

2、量記為1可得到另一隨機變量n1則1 f(1),有 E E f ( )1 , n1的期望值等于積分值。只要抽取足夠多的隨機點，f(的平均值等于A 1 f( i)i 1源程序#include#include#includeusing namespace std; doublerandx,randnum; unsigned long randi=1; const unsigned long randa=16807; unsigned long randm=pow(2,31)-1;voidrandom_number()if(randi=randm)randi=randi-1;randi=(randa*

3、randi)%randm;randx=randi;randnum=randx/randm;return;int main(void)doubleu,fun,x;int amount;cout 入次數(shù)amount;for(inti=1;i=amount;i+)double sum=0;for(int j=1;j=i;j+)random_number();u=randnum;x=4*u;fun=4*x*x*exp(-x);sum=sum+fun;if(i=amount)coutsum/amountendl;計算結(jié)果輸入 10000 次，得 =1.52164b.一維定積分計算的擲點法研究的內(nèi)容和算法

4、對于積分101 f（X）dX，操作步驟：在單位正方形內(nèi)均勻投點，每個點的坐標為（xi,yi共做N次投點。如果投點滿足不等式 yif（Q）即點落在曲線f（XF，則記錄下投點次數(shù)認為試驗成功）；反之，則認為試驗失敗。而蒙特卡洛方法：就是產(chǎn)生隨機數(shù)1, /如果ei f,（則2認為試驗成功；否則，則試驗失敗。若在N次試驗中有川次成功，則比值m/N就給出I值m/N就給出I的一個無偏估計值：1二。取隨機變量，（，）1，I E （1 ,2 ）0,12f( 2) f(,N次實驗下的無偏估計值。I(1，2)源程序#include#include#include using namespace std;doubl

5、erandx,randnum;unsigned long randi=1;const unsigned long randa=16807;unsigned long randm=pow(2,31)-1;voidrandom_number()if(randi=randm)randi=randi-1;randi=(randa*randi)%randm;randx=randi;randnum=randx/randm;return;int main(void)double u,v,fun,m,fun1;int amount;cout 入次數(shù)amount;for(double i=1;i=amount;

6、i+)double m=0;for(int j=1;j=i;j+)random_number();u=randnum;random_number();v=randnum;fun=64*u*u*exp(-4*u);fun1=fun/4;if(v=fun1)m=m+1;if(i=amount)cout4*m/amountendl;計算結(jié)果輸入 10000 次，得 I=1.5528四、兩種方法的比較類型數(shù)值誤差真實值I1.523790平均值法I11.521642.15*10-3擲點法I1.552829*10-3顯然，平均值法更加準確。五、觀察其中平均值法投點數(shù)對觀察值及其誤差的影響。1=1.52379投點數(shù)測量值I1誤差25001.536