1、第一章：預(yù)備學(xué)問 概率空間 隨機(jī)試驗 ,樣本空間 記為 ； 定義 設(shè) 是一個集合, F 是 的某些子集組成的集合族；假如 （ 1） F； （ 2） 如 F , 就 A A F； A （ 3）如 An F , n 1,2, ,就 An F； n 1 就稱 F 為 代數(shù) Borel 域 ； , F 稱為 可測空間, F 中的元素稱為大事； 由定義易知： 4 F； G , （5如 A, B F ,就 A B F； nn（6）如 Ai F, i 1,2, 就 Ai , Ai, Ai F. i 1 i 1 i 1 定義 設(shè) , F 是可測空間, P 是定義在 F 上的實值函數(shù)；假如 1任意 A F ,0

2、 P A 1； （2）P 1； （3）對兩兩互不相容大事 A1 , A2 , 當(dāng) i j 時, Aj , 有 Ai P Ai P Ai i 1 i 1 就稱 P 是 , F 上的概率, （ ,F,P ）稱為 概率空間 , PA 為大事 A 的 概率 ； 定義 設(shè)（ ,F,P ）是概率空間, G F ,假如對任意 A1, A2 , , Ann1,2, 有： P nAi nP Ai , i 1 i 1 就稱 G 為 獨立大事族 ； 隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量 X , 分布函數(shù) F x , n 維隨機(jī)變量 或 n 維隨機(jī)向量 , 聯(lián)合分布函數(shù), X t , t T 是 獨立 的； 隨機(jī)變量的數(shù)字特點

3、 定義 1.7 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F x ,如 | x | dF x ,就稱 積分； E X xdF x 為 X 的 數(shù)學(xué)期望 或 均值 ；上式右邊的積分稱為 Lebesgue-Stieltjes 方差, BXY E X EX Y EY 為 X,Y 的協(xié)方差 ,而 BXY XY DX DY 為 X, Y 的相關(guān)系數(shù)；如 XY 0, 就稱 X,Y 不相關(guān)； （ Schwarz 不等式） 如 EX 22 , EY , 就 EXY 2EX 2 EY 2 . 特點函數(shù),母函數(shù)和拉氏變換 定義 1. 10 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 F（ x）,稱 jtX g t E e jtx e dF x

4、, t 為 X 的 特點函數(shù) 第 1 頁,共 19 頁隨機(jī)變量的特點函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1 g0 1, gt 1, g t gt 1 k k k 2 g t在 , 上一樣連續(xù)； （ 3） g 0 i E X 4 如 X1 , X 2 ,L , X n 是相互獨立的隨機(jī)變量,就 X X 1 X 2 L X n 的特點函數(shù) gt g1 t g2 t L gn t ,其中 gi t 是隨機(jī)變量 X i 的特點函數(shù), i 1,2,L , n. 定義 1 . 11 設(shè) X X 1 , X 2 ,L , X n 是 n 維隨機(jī)變量, t = t1,t 2 ,L , tn R, 就稱 nitX gt gt1

5、 ,t 2 ,L ,t n Ee Eexpi t k X k , k 1 為 X 的特點函數(shù) ； 定義 設(shè) X 是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量,分布列 pk P X xk , k 1,2, 就稱 def X E s k Pk s P s k 0為 X 的 母函數(shù) ； 式中, a n維正態(tài)分布 定義 如 n 維隨機(jī)變量 X X 1, X 2 , , X n 的聯(lián)合概率密度為 f x f x , x , , x 2 1n / 2 B exp 1 x 21 T a B x a n / 2 a1 , a2 , ,an 是常向量, B bij n n是正定矩陣,就稱 X 為 n 維正態(tài)隨機(jī)變 量或聽從 n 維正態(tài)

6、分布,記作 X N a, B ； 可以證明,如 X N a, B ,就 X 的特點函數(shù)為 1 iBt 2gt gt , t , , t expiat 為了應(yīng)用的便利,下面,我們不加證明地給出常用的幾個結(jié)論； 性質(zhì) 1如 X N a, B 就 E X k ak , BX k X l bkl , l 1,2, , n ； 性質(zhì) 2設(shè) X N a, B , Y XA ,如 A BA 正定,就 Y N aA, A BA ；即正態(tài) 隨機(jī)變量的線性變換仍為正態(tài)隨機(jī)變量； 性質(zhì) 3 設(shè) X X1 , X 2 , X 3 , X 4 是四維正態(tài)隨機(jī)變量, E X k 0,k 1,2,3,4 ,就EX 1 X

7、2 X 3 X 4 E X 1 X 2 E X 3 X 4 E X 1 X 3 E X 2 X 4 E X 1X 4 E X 2 X 3 條件期望 給定 Y=y 時, X 的條件期望定義為 E X |Y y xdF x| y xf x | ydx 由此可見除了概率是關(guān)于大事 樣； Y=y 的條件概率以外,現(xiàn)在的定義與無條件的情形完全一 EX|Y=y 是 y 的函數(shù), y 是 Y 的一個可能值；如在已知 Y 的條件下,全面地考慮 X 的 下的 均值,需要以 Y 代替 y, EX|Y 是隨機(jī)變量 Y 的函數(shù),也是隨機(jī)變量,稱為 X 在 Y 條件期望； 條件期望在概率論, 數(shù)理統(tǒng)計和隨機(jī)過程中是一個

8、特別重要的概念, 下面我們介紹一個 極其有用的性質(zhì)； 性質(zhì) 如隨機(jī)變量 X 與 Y 的期望存在,就 E X E E X |Y E X |Y y dFY y -1 假如 Y 是離散型隨機(jī)變量,就上式為 第 2 頁,共 19 頁E X E X |Y y PY y y 假如 Y 是連續(xù)型,具有概率密度 fx ,就（ 1）式為 EX E X |Y y f y dy 其次章 隨機(jī)過程的概念與基本類型 2.1 隨機(jī)過程的基本概念 定義 2.1 設(shè)（ ,F,P ）是概率空間 ,T 是給定的參數(shù)集 ,如對每個 tT,有一個隨 機(jī)變量 Xt ,e與之對應(yīng),就稱隨機(jī)變量族 X t, e, t T 是（ ,F,P

9、）的 隨機(jī)過程 ,簡記 為隨機(jī)過程 X t , t T ；T 稱為參數(shù)集,通常表示時間； 通常將隨機(jī)過程 X t, e, t T 說明為一個物理系統(tǒng)； Xt 表示在時刻 t 所處的狀態(tài)； Xt 的全部可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為 狀態(tài)空間或相空間 ,記為 I； 從數(shù)學(xué)的觀點來說, 隨機(jī)過程 X t ,e, t T 是定義在 T 上的二元函 對固定的 t, 數(shù)； Xt ,e是定義在 T 上的一般函數(shù),稱為隨機(jī)過程 X t ,e, t T 的一個 樣本函數(shù) 或 軌道 ,樣 本函數(shù)的全體稱為樣本函數(shù)的空間； 隨機(jī)過程的函數(shù)特點 X t = Xt,t T 的 有限維分布函數(shù)族 ； 有限維特點函數(shù)族 ： g

10、t 1 , , tn 1 , 2, , n : t1, t2 , , tn T ,n 1 其中： nt T gt1, , t n1 , 2 , , n Eexp i k xtk k 1 定義 設(shè) X t = Xt ,t T 的 均值函數(shù) mX tdef E X t , t T ； 二階矩過程,協(xié)方差函數(shù)： DX t 2 BX t, t defE X t mX t , t T 相關(guān)函數(shù)： RX s,t E X sX t 定義 2.4 設(shè) Xt ,t T , Yt ,t T 是兩個二階矩過程, 互協(xié)方差函數(shù),相互關(guān)函數(shù) ； 復(fù)隨機(jī)過程 定義 設(shè) Xt , t T , Yt , t T 是取實數(shù)值的

11、兩個隨機(jī)過程,如對任意 Zt X t iYt , 其中 i 1 ,就稱 Zt ,t T 為 復(fù)隨機(jī)過程 定理 2.2 復(fù)隨機(jī)過程 Xt , t T 的協(xié)方差函數(shù) Bs,t 具有性質(zhì) （ 1）對稱性： B s, t Bt , s ； （ 2）非負(fù)定性 幾種重要的隨機(jī)過程 一,正交增量過程 定義 2.6 設(shè) t , t 是零均值的二階矩過程,如對任意的 t1 t2 t3 t4 , 有公 式 第 3 頁,共 19 頁就稱 t 正交增量過程； t2 s, t t1 t4 t3 0 , min s, t 2R s,t 二,獨立增量過程 變量 定義 設(shè) t , t 是隨機(jī)過程, 如對任意的正整數(shù) n 和

12、t1 t2 t tn ,隨機(jī) t 2 t1 , t 3 是獨 t2 , , t n t n 1是相互獨立的,就稱 , t 立增量過程,又稱可加過程； 定義 2.8 設(shè) t ,t 是平穩(wěn)獨立增量過程, 如對任意 s t, 隨機(jī)變量 t s 的 分布僅依靠于 t s,就稱 t ,t 是平穩(wěn)獨立增量過程； 三,馬爾可夫過程 定 義 2.9 設(shè) X t , t T 為 隨 機(jī) 過 程 , 如 對 任 意 正 整 數(shù) n 及 t1 t 2 , tn , P X t1 x1 , , X t n 1 xn 1 0 ,且其條件分布 P X tn xn | X t1 x1 , , X tn 1 xn 1 = P

13、 X tn xn | X t n 1 xn 1,2.6 就稱 X t , t T 為馬爾可夫過程； 四,正態(tài)過程和維納過程 定義 設(shè) X t , t T 是 隨 機(jī) 過 程 , 如 對 任 意 正 整 數(shù) n和 t1 , t2 , t T , X t1 , X t 2 , , X t n 是 n 維正態(tài)隨機(jī)變量,就稱 X t , t T 是正態(tài)過 程或高斯過程； 定義 設(shè) Wt, t 為隨機(jī)過程,假如 （ 1） W 0 0 ； （ 2）它是獨立,平穩(wěn)增量過程； （ 3）對 s,t ,增量 W t W s N 0, 2| t s | , 20 ,就稱 W t, t 為維納過程,也稱布朗運動過程；

14、 定理 設(shè) Wt, t 是參數(shù)為 2的維納過程,就 a , （1 ） 任意 t , , Wt N 0, 2| t | ； （2 ） 對任意 as, t , E Ws W aW t W a 2min s a, t 特別： Rw s, t 2min s,t ； 五,平穩(wěn)過程 t1 , 定 義 2.12 設(shè) X t ,t T 是 隨 機(jī) 過 程 , 如 果 對 任 意 常 數(shù) 和 正 整 數(shù) n, 當(dāng) ,t n , t1 , , tn 時, t1 , t2 , tn 與 t1 , t2 , , t n 有相同的聯(lián)合分布, 就稱 X t , t T 為 嚴(yán)平穩(wěn)過 程,也稱 狹義平穩(wěn)過程 ； 定義 2.

15、13 設(shè) X t , t T 是隨機(jī)過程,假如 X t , t T 為廣義平穩(wěn)過程,簡稱 （ 1 ） X t , t T 是二階矩過程； （ 2 ）對于任意 t , m t t 常數(shù)； （ 3 ）對任意的 s, t , R s,t Rt s ,就稱 為平穩(wěn)過程 ； 第 4 頁,共 19 頁如 T 為離散集,就稱平穩(wěn)過程 X t ,t T 為 平穩(wěn)序列 ； 第三章 泊松過程 .1 泊松過程的定義和例子 定義 計數(shù)過程 定義 稱計數(shù)過程 X t, t 0 為具有參數(shù) 0 的泊松過程,如它中意以下條件 1 X0= 0 ； 2 Xt 是獨立增量過程； 3 在任一長度為 t 的區(qū)間中,大事 A 發(fā)生的次

16、數(shù)聽從參數(shù) t 0 的泊松分布,即對 任意 s,t0,有 nt t P X s t X s n e , n 0,1,2, 3.1 n. 留意,從條件 3 知泊松過程是平穩(wěn)增量過程且 E X t t ；由于, E X t 表 t 示單位時間內(nèi)大事 A 發(fā)生的平均個數(shù),故稱 為此過程的 速率 或 強(qiáng)度 ； 定義 稱計數(shù)過程 X t , t 0 為具有參數(shù) 0 的泊松過程, 如它中意以下條件 1 X0= 0 ； 2 Xt 是獨立,平穩(wěn)增量過程； 3 Xt 中意以下兩式： P X t h X t 1 h o h, 3.2 P X t h X t 2 oh 定理 定義 3.2 與定義 是等價的； 泊松過

17、程的基本性質(zhì) 一,數(shù)字特點 設(shè) X t, t 0 是泊松過程, mX t E X t t 2X t D X t t RX s,t E X s X t s t 1 BX s,t RX s,t mx smX t s 一般泊松過程的有 BX s, t min s,t ； 有特點函數(shù)定義,可得泊松過程的特點函數(shù)為 g X u iuX t E e iu exp t e 1 二,時間間隔與等待時間的分布 Wn 為第 n 次大事 A 顯現(xiàn)的時刻或第 n 次大事 A 的等待時間, Tn 是第 n 個時間間隔, 它們都是隨機(jī)變量； 定理 3.2 設(shè) X t ,t 0 是具有參數(shù) 的泊松分布, Tn n 1 是對

18、應(yīng)的時間間隔序列, 就隨機(jī)變量 Tn n 1,2, 是獨立同分布的均值為 1/ 的指數(shù)分布； 定理 設(shè) Wn ,n 1 是與泊松過程 X t, t 0 對應(yīng)的一個等待時間序列,就 Wn 聽從參數(shù)為 n 與 的 分布,其概率密度為 n 1 e t t ,t 0fW t n 1. 0, t 0三,到達(dá)時間的條件分布 定理 W2 設(shè) X t , t 0 是泊松過程,已知在 0,t 內(nèi)大事 A 發(fā)生 n 次,就這 n 次到達(dá) 時間 W1 Wn 與相應(yīng)于 n 個 0,t 上勻稱分布的獨立隨機(jī)變量的次序統(tǒng)計量有相同 第 5 頁,共 19 頁的分布； 非齊次泊松過程 t 的非齊次泊松過程,如它 定義 3.4

19、 稱計數(shù)過程 X t , t 0 為具有跳動強(qiáng)度函數(shù) 中意以下條件： 1 X 0 0 ； 2 X t 是獨立增量過程； 3 h X t 1 t h oh P X t P X t h X t 2 oh 非齊次泊松過程的均值函數(shù)為： 定理 3.5 設(shè) X t , t mX t t 0sds t sds 的非齊次泊松過程,就 0 是具有均值函數(shù) mX t 0有 P X t s X t n mX t n s mX t n. exp mX t s mX t , n 0 或 上式說明 P X t s P X t n n m X t n. exp mX t X t n 不僅是 t 的函數(shù),也是 s 的函數(shù)；

20、 復(fù)合泊松過程 定義 設(shè) N t , t 0 是強(qiáng)度為 的泊松過程, Yk , k 1,2,. 是一列獨立同分布隨 機(jī)變量,且與 N t , t 0 獨立,令 N t xt k 1 Yk t 0, 就稱 X t, t 0 為復(fù)合泊松過程； N t 定理 3.6 設(shè) xt k 1 Yk t 0, 是復(fù)合泊松過程,就 （ 1）； X t , t 0 是獨立增量過程； （ 2）Xt 的特點函數(shù) gX t u exp t g Y u 1 ,其中 g Y u 是隨機(jī)變量 Y1 的特 征函數(shù)； 是大事的到達(dá)率； （ 3）如 E Y1 2 , 就 E X t tEY1, D X t tEY1 . 2第 4

21、章 馬爾可夫鏈 4.1 馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率 一,馬爾可夫鍵的定義 定義 1 設(shè)有隨機(jī)過程 X n, n T ,如對于任意的整數(shù) n T 和任意的 i 0 ,i 1, ,i n 1I , 條件概率中意 就稱 X n ,n T P X n 1in 1X0 i0 ,X1 i1 , , X n in P X n 1in 1Xn in 為馬爾可夫鏈,簡稱 馬氏鏈 ； 二,轉(zhuǎn)移概率 定義 2 稱條件概率 為馬爾可夫鏈 X n, n pij n P X n 1j | X n i I ,簡稱為轉(zhuǎn)移概率； ,其中 i , j T 在時刻 n 的 一步轉(zhuǎn)移概率 第 6 頁,共 19 頁定義 3 如對任意的

22、 i, j I ,馬爾可夫鏈 X n, n T 的轉(zhuǎn)移概率 pij n 與n 無關(guān), 就稱 馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的,并記 pij n 為 pij ； 定義 4 稱條件概率 pij n P Xm n j | X m i i, j I , m 0, n 1 為馬爾可夫鏈 X n , n T 的 n 步轉(zhuǎn)移概率 , 定理 1 設(shè) X n, n T 為馬爾可夫鏈,就對任意整數(shù) n 0,0 l n 和 i, j I , n 步 轉(zhuǎn)移概率 pij 具有以下性質(zhì)： n l n l 1 pij pik pkj ; k I n 2 pij pik pk k 1 1 2 pk n1 j ; k1 I kn 1 I n

23、 n 1 3P PP ; n n4P P . 定義 5 設(shè) X n, n T 為馬爾可夫鏈,稱 p j P X 0 j 和 Pj P X n j, j I 為 X n, n T 的 初始概率 和 確定概率 ,并分別稱 n p j , j I 和 p j n, j I 為 X n , n T 的初始分布和確定分布,簡記為 p j 和 p j n ； 定理 2 設(shè) X n,n T 為馬爾可夫鏈,就對任意 j I 和 n 1 ,確定概率 p j n 具有 以下性質(zhì)： n 1 p j n pi pij i I 2 pj n pi n 1 pij i I T T n 3P n P 0 P 4P T n

24、P T n 1 P 定理 3 設(shè) X n, n T 為馬爾可夫鏈,就對任意 i1,i 2 , , in I 和 n 1 ,有 P X 1 i1, X 2 i2 , , X n in pi pii pi i 1 1 2 pi n 1in i I 馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類 一,狀態(tài)分類 假設(shè) Xn ,n 0 是齊次馬爾可夫鏈,其狀態(tài)空間 I 0,1,2, L , 轉(zhuǎn)移概率是 pij ,i , j I , 初始分布為 p j , i, j I ； n 定 義 如 集 合 n : n 1, pii 0 非 空 , 就 稱 該 集 合 的 最 大 公 約 數(shù) n d di .D n : pii 0 為狀態(tài)

25、i 的周期；如 d 1 就稱 i 為周期的,如 d 1 就稱 i n 為 非周期的；（如對每一個不行被 d整除的 n ,有 pii =0 ,且 d 是具有此性質(zhì)的最大正整數(shù), 就稱 d 為狀態(tài) 的周期；） i引理 4.1 如 i 的周期為 d,就存在正整數(shù) M,對一切 n M ,有 p ii nd 0 ； 定義 對 i , j S, 記 f ij 0 0, fij 1 P X1 j | X 0 i f ij n P Xn j , Xk j , k 1,2, L , n 1| X 0 i , n 2（） 第 7 頁,共 19 頁f ij fij n n T 稱 fij n 是系統(tǒng)在 0 時從 i

26、動身經(jīng)過 n 步轉(zhuǎn)移后首次到達(dá)狀態(tài) j 的概率, 而 fij 就是在 0 時從 i 動身,系統(tǒng)在有限步轉(zhuǎn)移內(nèi)不行能到達(dá)狀態(tài) j 的概率；我們將 f ij n 和 fij 統(tǒng)稱為首達(dá)概率 （又 稱首中概率） ； 引理 （ 1） 0 fij n f ij i , j , n （ 2） 首達(dá)概率可以用一步轉(zhuǎn)移概率來表示： fij n L pii pi i 1 1 2 Lpi n 1 j i1 j i2 j in 1 j定義 如 fii =1,就 稱狀態(tài) 為常返的； 如 fii 1,就 稱狀態(tài) 為特別返的 ； 定義 4.8 如 i,就稱常返態(tài) i 為正常返的；如 i,就稱常返態(tài) i 為零常返的, 非周

27、期的正常返態(tài)稱為遍歷狀態(tài)； 從狀態(tài)是否常返, 如常返的話是否正常返, 區(qū)分為以下的類型： 特別返態(tài) fii 1 如正常返的話是否非周期等三層次上將狀態(tài) 狀態(tài) 零常返態(tài) ii = 遍歷態(tài) 常返態(tài)fii 1 正常返態(tài) ii 0, 如有 X e | 0 , Xe ,記作 X n P X ； n lim P| Xn e 就稱二階矩隨機(jī)序列 X n e 依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量 4 ,均方收斂 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列 X n 和二階矩隨機(jī)變量 X,如有 lim E| n X n X | 2 0 6.3 成立,就稱 X n 均方收斂,記作 X n X ； 注 ： 6.3式一般記為 x Xn X 或 l .i

28、. mX n X ； 5 ,依分布收斂 設(shè)有二階矩隨機(jī)序列 X n 和二階矩隨機(jī)變量 X,如 X n 相應(yīng)的分布函數(shù)列 Fn x , 在 X 的分布函數(shù) Fx 的每一個連續(xù)點處,有 就稱二階矩隨機(jī)序列 X n lim Fn x nF x X,記作 X n dX 依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量 第 13 頁,共 19 頁對于以上四種收斂定義進(jìn)行比較,有以下關(guān)系： 1 如 X n X ,就 X nP X cn 為常數(shù)序列, c ；就 2 如 X nX ,就 X n P X 3 如 X n P X ,就 X n dX 定理 2 定理 3 二階矩隨機(jī)序列 X n 收斂于二階矩隨機(jī)變量 X 的充要條件 為

29、lim E| X n n X | m 2 0 設(shè) Xn , Yn , Zn 都是二階矩隨機(jī)序列, U 為二階矩隨機(jī)變量, a,b, c 為常數(shù)；令 l n X , l n Y , l n Z , l n （ 1） l .i.mcn lim cn nc； （ 2） l U； （ 3） l .i.mcnU cU ； （ 4） l .i.m aX n bYn aX bY ； （ 5） lim E X n nEl .i.mXn ；E X （ 6） lim n ,m E X n Ym E X YE l.i.mX n l.i .mY m ； 特別有 定理 4 lim E| X | 2 nE| X | 2

30、E| l .i.mX | 2 ； 設(shè) Xn 為二階矩隨機(jī)序列,就 X n 均方收斂的充要條件為以下極限存在 n ,m lim E X n X m ；二,均方連續(xù) 定義 設(shè)有二階矩過程 X t, t T ,如對 t0 T ,有 2 lim E| X t0 h 0 h X t0 | 0 , 就稱 X t 在 t0 點 均方連續(xù) ,記作 l .i. m X t0 h 0 h X t0 ；如對 T 中一切點都均方 連續(xù) ,就 稱 X t 在 T 上均方連續(xù) ； 定理 （均方連續(xù)準(zhǔn)就） 二階矩過程 X t , t T 在 t 點均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù) RX t1 , t 2 在點 t ,t 處連續(xù)

31、 ； 推論 如相關(guān)函數(shù) RX t1 ,t 2 在 t ,t , t T 上連續(xù),就它在 T T 上連續(xù) 三,均方導(dǎo)數(shù) 定義 7 設(shè) X t , t T 是二階矩過程,如存在一個隨機(jī)過程 X t ,中意 0X t lim E | h 0 X t h X t 2 X t | h就稱 X t 在 t 點均方可微,記作 X t dX t dt l .i. m X t h 0 h h并稱 X t為 X t 在 t 點的均方導(dǎo)數(shù)； X t 或 d X 22 dt 類似的有 稱 第 14 頁,共 19 頁lim h1 h2 0 0R t1 h1, t2 h2 R t1 h1, t2 R t1 , t2 h2

32、 R t1, t2 h h 1 2 h h 1 2 為 RX t1 ,t2 在 t1, t2 的廣義二階導(dǎo)數(shù),記為 2 R t ,t t1 t2 定理 6 均方可微準(zhǔn)就 二階矩過程 X t, t T 在 t 點均方可微的充要條件為相關(guān)函在 RX t1, t2 在點 t ,t 的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在； 推論 1 二階矩過程 X t , t T 在 T 數(shù) RX t1 , t2 上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù) t ,t , t T 上每一點廣義二階可微； 推論 2 如 RX t1 , t 2 在 t, t, t T 上每一點廣義二階可微,就 dmX t 在 T 上以及 dt t1 RX t1 ,t 2

33、 , t2 RX t1 ,t2 , t1 t2 RX t1, t2 在 T T 上存在,且有 1dmX t dE X t E X t ; dt dt 2 RX t1, t2 t1 E X t X t E X t X t ; t1 3 RX t1,t 2 t2 E X t X t E X t X t ; t2 4 2RX t1 ,t2 2RX t1 ,t2 E X t X t t1 t2 t2 t1 四,均方積分 定義 8 假如 n0 時, Sn 均方收斂于 S ,即 lim E | Sn n 02 S| 0 ,就稱 f t X t 在 a,b 上均方可積,并記為 b nS a f t X t

34、dt l.i. m n 0 i 1 f ti X t i ti ti 1 稱此為 f t X t在區(qū)間 a,b上的均方積分； 定理 7 （均方可積準(zhǔn)就） f t X t 在區(qū)間 a,b 上均方可積的充要條件為 b b a a f t1 f t2 RX t1 ,t2 dt1dt 2 存在；特別的, 二階矩過程 X t 在 a,b 上均方可積的充要條件為 RX t1 ,t2 在 a, b a,b 上可積； 定理 8 設(shè) f t X t 在區(qū)間 a,b 上均方可積,就有 b b1 E a f t X tdt a f t E X t dt b b特別有 E a X t dt a E X t dt b

35、b b b2 E a f t1 X t1 dt1 a f t2 X t2 dt2 a a f t1 f t2 RX t1 ,t2 dt1dt2 特別的有 E | a bX t dt | 2a b a b RX t1, t2 dt1dt2 ； 第 15 頁,共 19 頁定理 9 設(shè)二階矩過程 X t, t T 在 a,b 上均方連續(xù),就 X t ； Yt t X d , a t b a在均方意義下存在,且隨機(jī)過程 X t, t T 在 a,b 上均方可微,且有 Y t 推論 設(shè) X t 均方可微,且 X t 均方連續(xù),就 X t X a t X t dt a特別有 X t X a t X t d

36、t a4平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性 定義 9 設(shè) X t , T t 為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,就分別稱 T X t X t dt X t 1X t dt, X t X t T 1T 2T T 2T T 為該過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)； 定義 10 設(shè) X t , t 是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程, 如 X t Pr.1E X t ,即 1 T T 2T T X t dt mX 以概率 1 成立,就稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性； 如 X t X t Pr.1E X t X t ,即 1 T T 2T T X t X t dt RX 以概率 1 成立,就稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性； 定義 11 假

37、如均方連續(xù)的平穩(wěn)過程 X t, t T 的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性, 就稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性； 定理 10 設(shè) X t , t 是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程, 就它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 的充要條件為 lim T 1 2T 2T 12T RX 2 mX d 06.9 2 T 定理 6.11 設(shè) X t , t 為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,就其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng) 性的充要條件為 lim T 12T 11B 1 2 RX d106.15 2T 2T 2T 其中 B 1 E X t X t X t 1 X t 1 6.16 定理 6.12 對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程 X t ,0 t ,等式 T

38、1T X d mX T 00以概率 1 成立的充要條件為 lim T 1T 1T B d 2T T 如 X t 為實平穩(wěn)過程,就上式變?yōu)?第 16 頁,共 19 頁1 T T lim T 0 1T BX d 0定理 對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程 X t,0 t ,等式 1 T T T 0 X t X t dt RX 以概率 1 成立的充要條件為 T lim T 1 T T 1T 1B 1 RX 2d 1 0其中 B 1 與（ ）式相同； 如 X t 為實平穩(wěn)過程,就上式變?yōu)?T lim 1T 11B 1 RX 2d10.7.4 T 0T 第七章 平穩(wěn)過程的譜分析 平穩(wěn)過程的譜密度 設(shè) X t 是均方連續(xù)隨機(jī)過程,作截跟隨機(jī)過程 XT t X t, | t | T 0,| t | T 由于 X T t 均方可積,故存在傅式變換 Fx , T X T te i t dt T XT t e T i t dt 利用帕塞伐公式及傅式反變換,可得 2 T 2 1 2X T t dt x t dt