1、平面向量的運算（講義）知識點一 向量加法的三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點A，作eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，則向量eq o(AC,sup6()叫做a與b的和，記作ab，即abeq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6().這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則注意點：運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾連”反思感悟向量加法的三角形法則的特征為首尾順次相接，即eq o(AA1,sup6()eq o(A1A2,sup6()eq o(An1An,sup6()eq o(AAn,sup6().知

2、識點二 向量加法的平行四邊形法則1.以同一點O為起點的兩個已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點的向量eq o(OC,sup6()(OC是OACB的對角線)就是向量a與b的和把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則2從平行四邊形的性質(zhì)可知三角形法則和平行四邊形法則是一致的3對于零向量與任意向量a，規(guī)定a00aa.注意點：運用向量加法的平行四邊形法則作圖時，要強調(diào)兩個向量起點相同反思感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則(1)首尾相接(2)適用于任何兩個非零向量求和當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一

3、半平行四邊形法則(1)共起點(2)僅適用于不共線的兩個向量求和知識點三 共線向量的加法與向量加法的運算律1一般地，我們有|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向相同時等號成立2(加法交換律)abba；(加法結(jié)合律)a(bc)(ab)c.反思感悟向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運算的目的實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行(2)應(yīng)用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序知識點四 向量加法的實際應(yīng)用反思感悟應(yīng)用向

4、量解決實際問題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題(2)運算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運算，解答向量問題(3)還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題知識點五 向量的減法運算1相反向量：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作a.2向量的減法：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即aba(b)，因此減去一個向量，相當(dāng)于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算叫做向量的減法注意點：(1)零向量的相反向量仍是零向量(2)對于相反向量有：a(a)(a)a0(3)若a，b互為相反向量，則ab，b

5、a，ab0知識點六 向量減法的幾何意義已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(BA,sup6()ab.即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義反思感悟求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量減法的幾何意義，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量知識點七 向量加減的混合運算反思感悟(1)向量減法運算的常用方法(2)向量加減法化簡的兩種形式首尾相連且為和起點相同且為差知

6、識點八 向量加減法的綜合應(yīng)用反思感悟(1)解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道(2)主要應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來分析解決問題，在封閉圖形中可利用向量加法的多邊形法則，提升邏輯推理素養(yǎng)知識點九 向量的數(shù)乘運算一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|a|a|.(2)a(a0)的方向eq blcrc (avs4alco1(當(dāng)0時，與a的方向相同；,當(dāng)0時，與a的方向相反.)特別地，當(dāng)0時，a0當(dāng)1時，(1)aa.

7、注意點：(1)數(shù)乘向量仍是向量(2)實數(shù)與向量不能相加反思感悟的正負(fù)決定向量a(a0)的方向，的大小決定a的模知識點十 向量的線性運算1數(shù)乘運算的運算律設(shè)，為實數(shù)，那么(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.特別地，()a(a)(a)，(ab)ab.2向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)，1，2，恒有(1a2b)1a2b.反思感悟向量線性運算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”

8、是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\用運算律，簡化運算知識點十一 用已知向量表示其他向量反思感悟用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法：當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程知識點十二 向量共線定理向量共線定理向量a(a0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使ba.注意點：(1)向量共線定理中規(guī)定a0(2)的值是唯一存在的反思感悟(1)證明或判斷三點共線的方法一般來說，要判定

9、A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)，使得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(或eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()等)即可(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解知識點十三 向量數(shù)量積的運算律1對于向量a，b，c和實數(shù)，有(1)abba(交換律)(2)(a)b(ab)a(b)(數(shù)乘結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)2.多項式乘法向量數(shù)量積(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(ab

10、c)2a2b2c22ab2bc2ca(abc)2a2b2c22ab2bc2ca注意點：(1)abbc推不出ac. (2)(ab)ca(bc)，它們表示不同的向量反思感悟向量的數(shù)量積ab與實數(shù)a，b的乘積ab有聯(lián)系，同時也有許多不同之處例如，由ab0并不能得出a0或b0特別是向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律知識點十四 利用數(shù)量積求向量的模和向量的夾角反思感悟(1)求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2|a|2，即|a|eq r(a2)，勿忘記開方(2)求向量的夾角，主要是利用公式cos eq f(ab,|a|b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋

11、找|a|，|b|，ab三者之間的關(guān)系，然后代入求解知識點十五 與垂直有關(guān)的問題反思感悟解決有關(guān)垂直問題時利用abab0(a，b為非零向量)知識點十六 兩向量的夾角1夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB叫做向量a與b的夾角，夾角的取值范圍是0.當(dāng)0時，a與b同向；當(dāng)時，a與b反向2垂直：如果a與b的夾角是eq f(,2)，則稱a與b垂直，記作ab.注意點：兩個向量只有起點重合時所對應(yīng)的角才是向量的夾角反思感悟(1)求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”

12、的步驟求出(2)特別地，a與b的夾角為，1a與2b(1，2是非零常數(shù))的夾角為0，當(dāng)120時，0.知識點十七 兩向量的數(shù)量積1已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是，e是與b方向相同的單位向量，則(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)當(dāng)ab時，abeq blcrc (avs4alco1(|a|b|，a與b同向，,|a|b|，a與b反向.) 特別地，aa|a|2或|a|eq r(aa).(4)|ab

13、|a|b|.(5)cos eq f(ab,|a|b|).注意點：(1)數(shù)量積運算中間是“”，不能寫成“”，也不能省略不寫(2)向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.(3)ab0不能推出a和b中至少有一個零向量(4)|a|eq r(aa)是求向量的長度的工具(5)溝通了向量運算與數(shù)量之間的關(guān)系反思感悟定義法求平面向量的數(shù)量積若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式ab|a|b|cos .運用此法計算數(shù)量積的關(guān)鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件知識點十八 投影向量1.如圖，設(shè)a，b是兩個非零向量，eq o(AB,sup6(

14、)a，eq o(CD,sup6()b，我們考慮如下的變換：過eq o(AB,sup6()的起點A和終點B，分別作eq o(CD,sup6()所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq o(A1B1,sup6()，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq o(A1B1,sup6()叫做向量a在向量b上的投影向量2.如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq o(OM,sup6()a，eq o(ON,sup6()b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq o(OM1,sup6()就是向量a在向量b上的投影向量設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為，則eq o(OM1,sup6()與e，a，之間

15、的關(guān)系為eq o(OM1,sup6()|a|cos e.注意點：(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性反思感悟任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos e(為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量)平面向量的運算（考點精講）考法一 向量的加法運算【例1】向量化簡后等于( )A.B.0C.D.【練1】化簡(1)(2)考法二 向量的減法運算【例2】化簡下列各式：；.其中結(jié)果為的個數(shù)是( )A1B2C3D4【練2】化簡：( )ABCD考法三 向量的數(shù)乘的運算【例3】計算：(1)；(2)；(3)【練3】化簡：(1)；(2)；(3)考法四 向量的共線定理【例4】判斷向量是否共線(其中,是兩個非零不共線的向量):(1);(2);【練4】設(shè)是兩個不共線的向量,若向量與共線,則()A=0B=-1C=-2D=-考法五 向量的數(shù)量積【例5】在中，則的值為( )AB5CD【練5】已知等邊的邊長為2，若，則等于( )ABC2D考法六 向量的夾角【例6】已知，則與的夾角為_.【練6】已知為單位向量