1、插值法講義1第1頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（2）樣條插值多項式，是一種分段的插值多項式，但又考慮到所有節(jié)點的綜合影響。樣值節(jié)點上的函數(shù)值仍給定（即保持插值條件），但導(dǎo)數(shù)值不再明確給定，代之以要求在所有內(nèi)部節(jié)點上保持導(dǎo)數(shù)（一般要求1階和2階導(dǎo)數(shù)）連續(xù)，符合這樣的條件稱為C樣條。得到一個分段的多項式函數(shù)（一般是在每個小區(qū)間內(nèi)的三次多項式），通過給定的函數(shù)值，且在整體上保持直到二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性（一般地，在節(jié)點上三階導(dǎo)數(shù)是間斷的）。這時，通常需要解一個與所有節(jié)點有關(guān)聯(lián)的線性代數(shù)方程組。2第2頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（3）對于三次樣條插值

2、多項式，設(shè)有n+1個節(jié)點，則共有n段區(qū)間，每段上面要構(gòu)造一個三次多項式，共需要確定 4n 個參數(shù)（每個三次多項式有4個系數(shù)，每個區(qū)間上有1個多項式）。另一方面，在n+1個節(jié)點上的函數(shù)值已知，有n+1個條件；在n-1個內(nèi)部節(jié)點上要求直到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，得到 3(n-1)個條件（在內(nèi)部節(jié)點上，點左右兩邊的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)值、二階導(dǎo)數(shù)值相等）；這樣共有 4n-2個已知條件，要確定4n個參數(shù)，還缺2 個條件，需要另外增加兩個邊界條件。3第3頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（4）樣條插值多項式的數(shù)學(xué)表示有很多種形式，其中用半截函數(shù)表示在理論分析和推導(dǎo)上是最方便的，但在實際計算中則

3、有更直觀的簡便方法。不管是用何種形式，只要條件一樣，得到的分段三次樣條多項式都是完全一致的（例如，解三轉(zhuǎn)角方程和解三彎矩方程得到的樣條插值多項式完全等價）。因為，它仍通過給定的函數(shù)值，這類樣條函數(shù)稱為c樣條。 4第4頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（5）利用節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù)值mi 來表示插值多項式，需要解關(guān)于mi 的方程組。因為，mi 在力學(xué)上解釋為細梁在節(jié)點截面處的轉(zhuǎn)角，且與相鄰節(jié)點的兩個轉(zhuǎn)角有關(guān)，故稱為三轉(zhuǎn)角方程。5第5頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（6）利用節(jié)點上的二階導(dǎo)數(shù)值Mi 來表示插值多項式，需要解關(guān)于Mi 的方程組。因為，Mi

4、 在力學(xué)上解釋為細梁在節(jié)點截面處的彎矩，且與相鄰節(jié)點的兩個彎矩有關(guān)，故稱為三彎矩方程。 6第6頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（7）邊界條件 給定兩個端點處的一階導(dǎo)數(shù)值： 給定兩個端點處的二階導(dǎo)數(shù)值： 周期邊界條件： 非結(jié)點邊界條件：7第7頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三#、三次B樣條插值 B-樣條函數(shù)是應(yīng)用最廣泛的生成光滑曲線曲面的技術(shù)之一。最常用的是三次B-樣條函數(shù)。與c-樣條函數(shù)不同的地方是：B-樣條函數(shù)甚至不要求通過給定的函數(shù)值，而是用給定的點來控制曲線（曲面）的形狀和光滑度。 對于三次B-樣條函數(shù)，每一區(qū)間上的多項式由該區(qū)間的 2個

5、端點以及其左右 各1個相鄰區(qū)間的端點，共四個點的位置來確定。8第8頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三 平面上相鄰的四個點 (xi-1 , yi-1 ) , (xi , yi ) , (xi+1 , yi+1 ) , (xi+2 , yi+2 ) 確定區(qū)間 xi , xi+1 上的一個三次多項式 Pi (x ) ，使得（等距節(jié)點情況，步長為1）：上述條件保證了分段多項式在整個區(qū)域上滿足直到二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。另外，還有很好的局部性質(zhì)。 9第9頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三4、曲線擬合的最小二乘法 要點：（1）插值（包括樣條）多項式，是給定N+1

6、個條件，構(gòu)造出一個N次多項式（或分段多項式）。條件個數(shù)與待定參數(shù)的個數(shù)正好相等。在實際工作中，可能測試得到的值很多，而且本身也有誤差，所以構(gòu)造近似的光滑函數(shù)（一般就是多項式，也可以是其它類型的函數(shù)，例如三角函數(shù)）次數(shù)不能太高（從而條件多于待定系數(shù)），又不必要求近似函數(shù)必須通過函數(shù)值（類似于B-樣條的概念）。這樣就引出了曲線擬合和函數(shù)逼近的概念。 10第10頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（2）例如，對給定的 m 個測試點上的測試函數(shù)值 f(xi ) = yi , i=1,2,m確定 n 次多項式（nm）Pn (x). 這時，我們不可能做到 Pn (xi ) = yi

7、( i=1,2,m) ，因為條件多于未知數(shù)，一般情況下無解的。但我們可以要求在所有測試點上的函數(shù)值的誤差 i =Pn (xi ) - yi , i=1,2,.,m在某種意義下最小。 誤差i 實際上是多項式函數(shù)的待定系數(shù)（n+1個）的多元函數(shù)。 11第11頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（3）例如，可以考察誤差函數(shù)向量的二范數(shù)，確定待定多項式的各個系數(shù)，使其最小。求這一極小值問題，得到擬合多項式，這就是最小二乘法。這是在實際應(yīng)用中非常重要的一種典型的數(shù)學(xué)方法和概念。 用2-范數(shù)，不用1-范數(shù)或無窮范數(shù)，主要是因為用2-范數(shù)使得 是多項式系數(shù) ai (i=0,1,n)的多

8、元二次多項式，從而可以方便地求導(dǎo)數(shù)，便于理論分析和給出算法。 12第12頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（4）一般地，如果擬合函數(shù)寫成已知函數(shù)族的一個線性組合：則誤差函數(shù)為關(guān)于ai (i=0,1,n)的極小值問題，要求：13第13頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（5）記是一個m+1維的向量。用內(nèi)積記號：則得到求系數(shù)ai 的線性方程組：當(dāng)k，k=0,1,n正交時，系數(shù)矩陣是對角陣。14第14頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（6）可以將多項式擬合（或逼近）推廣為其它形式函數(shù)類的擬合，例如：三角函數(shù)，有理多項式，對數(shù)函數(shù)，或它們的組合，等等。只要所用的函數(shù)在數(shù)據(jù)點上構(gòu)成的m+1維向量是線性無關(guān)的，就可以求解。甚至，擬合函數(shù)不是它們的線性組合，也可以，例如：但求誤差向量在2-范數(shù)意義下（又稱均方誤差）的最小值是最小二乘法的本質(zhì)。 15第15頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（7）加權(quán)技術(shù)： 可以根據(jù)數(shù)據(jù)點的重要程度、可靠程度等情況，在誤差函數(shù)公式中采用加權(quán)求和的方法，獲得更好的擬合曲線。（8）誤差分析：16第16頁，共17頁，2022年，5月20日，15點20分，星期三（9）迭代權(quán)因子最小二乘