1、第 =page 47 47頁，總 =sectionpages 47 47頁第 =page 46 46頁，總 =sectionpages 47 47頁高中數(shù)學(xué)關(guān)于切線的八種題型歸納 題型一：某點(diǎn)處的切線1如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則_【答案】2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及圖象得,即得結(jié)果.【解析】由圖像的信息可知2設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則的最小值為（ ）A1BCD【答案】D【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得，的關(guān)系式，再由基本不等式可得所求最小值【解析】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線垂直，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即

2、時(shí)，取得等號(hào)，則的最小值為，故選：3已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）ABCD【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得處的切線方程的斜率，進(jìn)而寫出切線方程，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性即可得處的切線方程；方法二：由偶函數(shù)結(jié)合已知區(qū)間的解析式求時(shí)解析式，應(yīng)用切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得處的切線方程的斜率，寫出切線方程即可.【解析】法一：當(dāng)時(shí)，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，根據(jù)對(duì)稱性可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為法二：當(dāng)時(shí)，所以，又是偶函數(shù)，所以，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：B【求切線方程分析】1、方法一：首先求已知區(qū)間內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)的切線

3、方程，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱性求目標(biāo)點(diǎn)處的切線方程.2、方法二：首先求目標(biāo)點(diǎn)所在區(qū)間的函數(shù)解析式，再求目標(biāo)點(diǎn)處的切線方程.4已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的，都有，則函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為_.【答案】【分析】設(shè)，則，求得的值，進(jìn)而得到的解析式，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算求解.【解析】設(shè)，則.因?yàn)闉閱握{(diào)函數(shù)，故不隨的變化而變化即是常數(shù).又，切線斜率為1，所以傾斜角為.答案為:.5曲線在處的切線與直線平行，則的最小值為_.【答案】4【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，兩直線平行則斜率相等列出等式，再對(duì)利用均值不等式即可得解.【解析】曲線的導(dǎo)數(shù)為，則曲線在處的切線

4、的斜率兩直線平行則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：46已知曲線在處的切線為，曲線在處的切線為，且，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】先求出兩條切線各自的斜率，再根據(jù)它們垂直得到的關(guān)系，將表示為的函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)可求的取值范圍.【解析】令，則，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，?又，令，則，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故，所以在上恒成立，故在上為減函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，所以的取值范圍為，故選：B.題型二：過一點(diǎn)的切線在處理切線問題時(shí)要注意審清所給已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).“在某點(diǎn)處的切線”意味著該點(diǎn)即為切點(diǎn),而“過某點(diǎn)的切線”則意味著該點(diǎn)有可能是切點(diǎn),有可能不是切點(diǎn).如果該點(diǎn)恰好在曲線上那就需要進(jìn)行分類討論

5、了. 曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè),這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別過曲線外的點(diǎn)P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0).(2)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0).(3)利用Q在曲線上，點(diǎn)P(x1，y1)在切線上和 f (x0) =kPQ，解出x0，y0及f (x0).(4)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為 y-f(x0)=f (x0)(x-x0)1已知函數(shù)（1）求；（2）求曲線過點(diǎn)的切線的方程【分析】（1）利用函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得；（2）設(shè)所求切點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出所求切線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)

6、，進(jìn)而可求得所求切線的方程.【解析】（1），則；（2）設(shè)切點(diǎn)為，所以，切線的斜率為，所求切線方程為將，代入切線方程，得整理得，解得或.當(dāng)時(shí)， 切線方程為，化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，切線方程為，化簡(jiǎn)得綜上所述，曲線過點(diǎn)的切線的方程為或2過原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)為_【答案】(e,1)【分析】先求導(dǎo)數(shù)，代入切點(diǎn)可得切線斜率，結(jié)合切線所過點(diǎn)可得切點(diǎn)坐標(biāo).【解析】設(shè)切點(diǎn)，所以切線方程為，即.因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，即，代入可得，故切點(diǎn)為.題型三、已知切線求參數(shù)1已知直線是曲線的切線，則_.【答案】2【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于曲線在處的函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解出的值，從而的值可求.【解析】設(shè)切點(diǎn)

7、為，則，由得，所以，解得，所以,故答案為：.【分析】已知曲線的切線方程求解參數(shù)值的步驟：（1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值等于曲線在處的函數(shù)值，得到第一個(gè)方程；（2）再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即有切線斜率，得到第二個(gè)方程；（3）兩個(gè)方程聯(lián)立求解出其中參數(shù)的值.2已知曲線（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的一條切線為，則（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用切點(diǎn)在切線與曲線上即可列方程求解.【解析】設(shè)切點(diǎn)為，又，又，故選：A3已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）AB1CD【答案】D【解析】由得，設(shè)切點(diǎn)為，則，對(duì)比，故選D.4已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則_，_【答案

8、】4 5 【分析】由條件可得，解出即可.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?，5題型四、切線的條數(shù)曲線切線條數(shù)的確定通常轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定,設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,可把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題.1若函數(shù)（為常數(shù)）存在兩條均過原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】【分析】首先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線的斜率，從而可得，將問題轉(zhuǎn)化為與 存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，通過導(dǎo)數(shù)研究的圖象，從而得到的取值范圍.【解析】由題意得的定義域?yàn)?，且，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則過原點(diǎn)的切線斜率，整理得存在兩條過原點(diǎn)的切線，存在兩

9、個(gè)不同的解.設(shè)，則問題等價(jià)于于存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減，.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若于存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.解得.故答案為：【分析】一般涉及方程根的個(gè)數(shù)，或零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，可通過一些方法求解：1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2.分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決，利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解；3.數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋求找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍；2過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有

10、兩條，則實(shí)數(shù)可能的值是（ ）ABCD【答案】BCD【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，代入點(diǎn)后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，由條件可知方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，將點(diǎn)代入可得，化簡(jiǎn)得，過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，即方程有兩個(gè)不同的解，則，解得：或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.，所以由選項(xiàng)判斷可知正確.故選：BCD3已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則 的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再用斜率公式求出切線斜率，兩者相等，得到含m的方程，因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以前面所求方程有3解

11、，再借助導(dǎo)數(shù)判斷何時(shí)方程有3解即可【解析】解；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，曲線在處的切線斜率為又切線過點(diǎn)，切線斜率為，即過點(diǎn)可作曲線的三條切線，方程有3解令，則圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，的極大值與極小值異號(hào) ，令，得或1，即（m3）（m2）0解得3m2故選：D【分析】.準(zhǔn)確求切線的方程是本題求解的關(guān)鍵；第(2)題將切線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究，體現(xiàn)了函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.當(dāng)曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線切點(diǎn)坐標(biāo)不知道時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解.題型五、公切線涉及到多個(gè)函數(shù)公切線的問題時(shí),這條切線是鏈接多個(gè)函數(shù)的橋梁.所以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手,將切線求出來,再考慮

12、切線與其他函數(shù)的關(guān)系.1已知直線l分別與函數(shù)和的圖象都相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（ ）AeBC1D2【答案】C【分析】設(shè)l與的切點(diǎn)為，與的切點(diǎn)為，利用斜率相等即可建立方程求出.【解析】設(shè)l與的切點(diǎn)為，與的切點(diǎn)為，公切線的斜率：，可得：， 所以，故選：C.2已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中，若與該部分圖像在時(shí)有公切線，則（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系，即可得出答案.【解析】由題意得出，即，所以由對(duì)稱性可知，將其代入中整理得，則，即因?yàn)?，所以，即，又，由于與切線垂直，則，解得故選D3若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都

13、相切，則的值為（ ）A或B或C或D或【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的方程，可得出切線方程，再將切線方程與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得實(shí)數(shù)的值.【解析】對(duì)于函數(shù)，則曲線在點(diǎn)的切線斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由于直線過點(diǎn)，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線為軸，對(duì)于函數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，切線方程為，聯(lián)立，整理得，由題意可得，解得.綜上所述，或.故選：A.4若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）ABCD【答案】D【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到，則有解再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步

14、求得的取值范圍【解析】在點(diǎn)的切線斜率為，在點(diǎn)的切線斜率為，如果兩個(gè)曲線存在公共切線，那么：又由斜率公式得到， 由此得到，則有解，由，的圖象有公共點(diǎn)即可當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，可得即有切點(diǎn)，故的取值范圍是：故選:.5直線是曲線和曲線的公切線，則（ ）ABCD【答案】C【分析】由可求得直線與曲線的切點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求得直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，再將兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可得出關(guān)于、的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，則，由，可得，則，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，可得，則，由，可得，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，聯(lián)立可得，.故選

15、：C.6若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_.【答案】1或【分析】分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得斜率和截距相等，從而求得切線方程的答案【解析】設(shè)與和的切點(diǎn)分別為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點(diǎn)處的切線方程為，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或7若與兩個(gè)函數(shù)的圖象有一條與直線平行的公共切線，則（）ABCD或【答案】D【分析】先根據(jù)和曲線相切得到切線方程，再根據(jù)和二次函數(shù)相切得到參數(shù)值.【解析】設(shè)在函數(shù)處的切點(diǎn)設(shè)為（x,y）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，故切點(diǎn)為（1，0），可求出切線方程為y=x-1,直線和 也相切，故,化簡(jiǎn)得到,只需

16、要滿足 故答案為D.【分析】求切線方程的方法：求曲線在點(diǎn)P處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；求曲線過點(diǎn)P的切線，則P點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后列出切點(diǎn)坐標(biāo)的方程解出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出切線方程.8設(shè)函數(shù)與有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為 ,則 ,所以有 ,即 ,解出 ( 舍去),又 ,所以有 ,故 ,所以有 ,對(duì) 求導(dǎo)有 ,故 關(guān)于 的函數(shù)在 為增函數(shù),在 為減函數(shù),所以當(dāng) 時(shí) 有最大值 ,選A.9已知曲線：，：，若恰好存在兩條直線直線、與、都相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

17、（ ）ABCD【答案】C【分析】設(shè)直線，設(shè)與、的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，根據(jù)題目條件列出方程組，解得，同理可得，然后將問題轉(zhuǎn)化為有兩解. 然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性及最值，得出的范圍.【解析】設(shè)直線，設(shè)與、的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則有，可得，故，整理得：，同理可得，當(dāng)直線與、都相切時(shí)有：，綜上所述，只需有兩解，令，則，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，在遞減，故，所以只需滿足即可.故選：C.10若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】設(shè)公切線與函數(shù)，分別切于點(diǎn)，則過，的切線分別為：、，兩切線重合，可得，構(gòu)造函數(shù)，只需，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求出最小值，即可得結(jié)果【解析

18、】設(shè)公切線與函數(shù)，分別切于點(diǎn)，則過，的切線分別為：、，兩切線重合，則有：代入得：，構(gòu)造函數(shù)：，.，.欲合題意，只須.11已知函數(shù)，若，則的最小值為（ ）A1B2CD【答案】B【分析】求導(dǎo)得到，取得到，計(jì)算切線得到答案.【解析】，則，取，故，切點(diǎn)為，故切線方程為，取，解得，故的最小值.故選：B.12已知曲線與曲線有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)m變化時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【分析】求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到兩函數(shù)在公共點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由切點(diǎn)既在曲線上，可得與及與的關(guān)系，由求得的范圍，構(gòu)造函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍可求【解析】由，得，設(shè)與曲線的公共點(diǎn)為，則，則，整理得由且，得，由

19、得，令，則，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B.13已知函數(shù)，其中若的圖象在點(diǎn)處的切線與的圖象在點(diǎn)處的切線重合，則a的取值范圍為（）ABCD【答案】A【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)在點(diǎn)A與函數(shù)在B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出關(guān)系式，從而得出，令，則，最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出的取值范圍【解析】，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為：，兩直線重合的充要條件是，由及得，故，令，則，且，設(shè)， ，當(dāng)時(shí)，恒成立，即單調(diào)遞減，時(shí)，即a的取值范圍為，故選A.題型六、解析幾何中的切線問題在解析幾何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法,即先設(shè)出切線方程,再

20、與二次方程聯(lián)立利用求出參數(shù)值進(jìn)而解出切線方程.解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下,所以兩個(gè)方法可以互通.若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線,二次曲線的一部分,則在求切線時(shí)可用解析的方法求解,例如：（圖像為圓的一部分）在處的切線方程,則可考慮利用圓的切線的求法進(jìn)行解決.若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示,像焦點(diǎn)在軸的拋物線,可看作關(guān)于的函數(shù),則在求切線時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點(diǎn)在軸的拋物線切線問題的重要方法）1已知雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)，拋物線與雙曲線C交于點(diǎn)P（P在第一象限），若拋物線在點(diǎn)P處的切線過點(diǎn)F，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD【答案】A【分析】求出拋物線在第一象限的解

21、析式，求導(dǎo)可得，設(shè)切點(diǎn)，進(jìn)而利用斜率相等可得，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線定義可得，進(jìn)而可得離心率.【解析】設(shè)，拋物線在第一象限的解析式為：, 所以切線的斜率為，又因?yàn)樵邳c(diǎn)P處的切線過雙曲線的左焦點(diǎn)，所以，解得，所以，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，所以故雙曲線的離心率是故選：A.2已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為F.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線為求解.（2）設(shè)直線l的方程為.，聯(lián)立，由，求導(dǎo)，得到直線PA的方程，令，得到，從而，同理，然后結(jié)合

22、韋達(dá)定理由求解.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，解得，所以拋物線的方程為.（2）由已知可判斷直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，由（1）得，則直線l的方程為.設(shè)，由消去y，得，所以，.因?yàn)閽佄锞€C也是函數(shù)的圖象，且，所以直線PA的方程為.令，解得，所以，從而.同理得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值2.3拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線與拋物線相切于點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與切線垂直，且與拋物線相交于另一點(diǎn)B（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，求p值及切線的方程；（2）若，當(dāng)線段最短時(shí)，試用p表示點(diǎn)A的坐標(biāo)【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線方程可得p值，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，即可得答案；（2）設(shè)，由可得直線的方程為代入，拋物線方程，利

23、用弦長公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可得答案；【解析】（1），切線的斜率，；（2）設(shè)，直線的斜率為，直線的方程為：代入，令，則，令，當(dāng)，時(shí)，取到最小值，.4已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn).（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別為，證明：；（2）過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)C，若的面積為，求k的值.【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合斜率公式，即可求解；（2）分別求得的方程，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合弦長公式和三角形的面積公式，即可求解.【解析】（1）由題意，拋物線，可得，設(shè)，代入拋物線方程得，設(shè)，可得，.（2）不妨設(shè)，由得，所以，聯(lián)立解得，即，所以，所以

24、，解得.5已知拋物線，圓拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離恰好是圓的半徑（1）求拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過拋物線上一點(diǎn)（除原點(diǎn)外）作拋物線的切線，交軸于點(diǎn)過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、若，求的面積【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離恰好是圓的半徑求解.（2）設(shè)點(diǎn)，切線的方程設(shè)為與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)與拋物線相切，由得到，切點(diǎn)的坐標(biāo)，再由過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、得到直線然后由解得即可.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離恰好是圓的半徑所以，故拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）設(shè)點(diǎn)，則切線的方程可設(shè)為聯(lián)立方程可得由可得，且切點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)，則切線，切線將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得直線故

25、由可得因?yàn)閮煞N情況中的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以求出的面積相同下只求情況聯(lián)立方程：可得故從而有，所以6已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，其中、為切點(diǎn).（1）證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，、分別是、的面積，求的最小值.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、，寫出直線、的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩直線方程，可得出，可得知點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線的方程，可得出直線的方程，由此可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，由題意可知直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的最小值.【解析】（1）先

26、證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為，由于點(diǎn)在拋物線上，則，聯(lián)立，消去得，即，所以，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)，因此，直線與拋物線相切，且切點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)、，則以為切點(diǎn)的切線方程為，同理以為切點(diǎn)的切線方程為，兩條切線均過點(diǎn)，即，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足直線的方程，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，所以，直線過定點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則.由題意可知，直線不與軸重合，可設(shè)直線的方程為，設(shè)、，由，得，恒成立，由韋達(dá)定理得，由弦長公式可得，由，得，恒成立.由韋達(dá)定理得，由弦長公式得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.7已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)作

27、拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，.（1）求證：直線過焦點(diǎn)；（2）若，求的值.【分析】（1）求出橢圓的右集合，即拋物線的焦點(diǎn)，從而可得值，得拋物線方程，設(shè)點(diǎn)，由切點(diǎn)設(shè)出切線方程，由相切求出斜率，得切線方程，同理得方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后可得過兩點(diǎn)的直線方程，得證其過焦點(diǎn)；（2）由（1）中直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元應(yīng)用韋達(dá)定理，然后可證得，又可證得，這樣由直角三角形性質(zhì)可得【解析】（1）證明：因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，所以，即.所以拋物線的方程為.設(shè)點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立消得，由得.又，故，故，故，故直線的方程為，即.同理，直線的方程為.又點(diǎn)在直線，上，所以故，在直線上，故直線的方程為，令，得，所以直線過焦點(diǎn).（2）解：由

28、（1）知聯(lián)立消得，故，故，故直線與直線垂直，從而.因?yàn)椋?，故，所?8已知點(diǎn)與的距離和它到直線的距離的比是常數(shù).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）在（1）的條件下，拋物線的焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸上某點(diǎn)對(duì)稱，且拋物線與橢圓在第四象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線方程并求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【分析】（1）根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)可得答案.（2）根據(jù)條件先求出拋物線的方程，在求出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)過點(diǎn)的拋物線的切線方程為切線為，方程聯(lián)立由，求出的值，然后求三角形的面積.【解析】（1）由題意得，為軌跡的方程.（2）焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸上某點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)軸上的點(diǎn)為 則，則，所以拋物線焦點(diǎn)為故拋物線的方程為聯(lián)立方程

29、組，解得或(舍去)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為，聯(lián)立方程組，整理得，由，解之得，所求的切線方程為.即是. 令，得；令，得.故所求三角形的面積為9在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線:的兩條切線，切點(diǎn)分別為，為的中點(diǎn).（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點(diǎn)?若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線的方程，利用韋達(dá)定理求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此判斷出軸.（2）求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡(jiǎn)后可得直線過定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，切線的斜率為，切

30、線：，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，同理可的.，是方程的兩根，軸.（2），.，直線：，即，直線過定點(diǎn).題型七、切線的應(yīng)用用切線可以解決函數(shù)最值和方程根等問題1已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【解析】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像. 由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因?yàn)椋?，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D2已知函數(shù)，函數(shù)，若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范

31、圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)的交點(diǎn)，分別作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案【解析】依題意，畫出的圖象，如圖所示直線恒過定點(diǎn)（1，0），由圖象可知，函數(shù)的圖象與的圖象相切時(shí)，函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)為，其中，由，得，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），要使方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D3已知點(diǎn)M在函數(shù)圖象上，點(diǎn)N在函數(shù)圖象上，則的最小值為（ ）A1BC2D3【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的圖象與直線平行的切線的切點(diǎn)到直線的距離的兩倍，利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，

32、根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的最小值為函數(shù)的圖象上的點(diǎn)到直線的距離的2倍，即為函數(shù)的圖象與直線平行的切線的切點(diǎn)到直線的距離的兩倍，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象上與直線平行的切線的斜率，所以，所以切點(diǎn)為，它到直線的距離，所以的最小值為.故選：B.4（多選題）若以曲線上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，曲線上總存在異于點(diǎn)的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為切點(diǎn)作切線滿足，則稱曲線具有“可平行性”，其中具有“可平行性”的曲線是( )ABCD【答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，將定義轉(zhuǎn)化為：“方程是導(dǎo)數(shù)值）至少有兩個(gè)根”，利用：時(shí)，的取值唯一判斷不符合；對(duì)于和分別求出導(dǎo)數(shù)

33、列出方程化簡(jiǎn)后判斷；對(duì)于求出導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)后，再由時(shí)解唯一判斷不符合【解析】解：由題意得，曲線具有可平行性的條件是方程是導(dǎo)數(shù)值）至少有兩個(gè)根A由且，即，此方程有兩不同的個(gè)根，符合題意；B由知，當(dāng)時(shí)，的取值唯一，只有0，不符合題意；C由和三角函數(shù)的周期性知，的解有無窮多個(gè)，符合題意；D由，令，則有，當(dāng)時(shí)解唯一，不符合題意，故選：AC5【2018屆河南省南陽高中三年級(jí)期中】已知為曲線（且）上的兩點(diǎn),分別過作曲線的切線交軸于兩點(diǎn),若,則（ ）A. B. C. D. 【答案】B題型八、與切線有關(guān)的解答題解答題1已知函數(shù)，（1）若直線與的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；（2）已知不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范

34、圍【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線過定點(diǎn)可列方程，即可得解；（2）設(shè)，轉(zhuǎn)化條件為要使在上恒成立，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)，按照、分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、即可得解.【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋本€恒過點(diǎn)，所以，所以即，所以；（2）設(shè)，則要使在上恒成立，設(shè)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，的圖象開口朝下，對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立；當(dāng)即時(shí)，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由可得當(dāng)時(shí)，不合題意；綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.2已知.（）令，若的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，且函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若 ，

35、求的取值范圍.【分析】（）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用二次函數(shù)求出不等式右邊的最大值即可得到答案；（）函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有且僅有一個(gè)實(shí)根，方程右邊構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，將時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可得到結(jié)果.【解析】（）由，所以，則有在上恒成立，即在上恒成立，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以. （）因?yàn)?，令，則，即，令，則，令，則，因?yàn)椋栽谏蠟闇p函數(shù)，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以?dāng)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，若 ，則，因?yàn)椋?，得或，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，因?yàn)?，所以，所?3已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)（其中是的導(dǎo)函數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，求的取值范圍.【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)處的切線的斜率，用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）利用函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得a與兩極值的關(guān)系，可得，令，求新函數(shù)在區(qū)間的最值可得其取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?而，即，故所求切線的斜率為，所以方程為（2），則的定義域?yàn)椋粲袃蓚€(gè)極值點(diǎn)、，且則方程的判別式，且，得，且.所以設(shè)，則在上恒成立故在單調(diào)遞減，從而，所以的取值范圍是.4已知函數(shù).（1）若曲線