1、微分幾何Differential Geometry一、課程基本情況課程類別：專業(yè)主干課課程學分：3學分課程總學時：其中講課：48學時（含習題課），不含課外輔導學時課程性質：必修開課學期：第5學期先修課程：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、常微分方程適用專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學、應用統(tǒng)計學教材：Do Carmo 曲線與曲面的微分幾何機械工業(yè)出版社. 2005.開課單位：數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學系二、課程性質、教學目標和任務微分幾何是數(shù)學學院各專業(yè)的重要專業(yè)課。本課程以微積分、線性代數(shù)、空間解析幾何，微分方程等為基礎課。微分幾何是用數(shù)學分析為工具研究空間圖形性質的數(shù)學分支，主要討論光滑曲線和曲面

2、的性質。本課程主要為經(jīng)典微分幾何，包括少量整體微分幾何和近代微分幾何。教學目標與教學任務：我們的目標為學生將來學習微分流形打下基礎，做好平滑過渡的準備，以便于學生將來能繼續(xù)學習現(xiàn)代幾何學。期望通過一學期的教學，使學生既學會應用數(shù)學分析工具研究光滑曲線和曲面的經(jīng)典方法和內(nèi)容，又稍微了解近代幾何的方法和內(nèi)容，同時為進一步學習近代數(shù)學其它各分支打下基礎。主要內(nèi)容、重點：曲線弧長公式*、曲率公式*，F(xiàn)renet標架*、Frenet公式，平面曲線的等周不等式，正則曲面*、臨界點、正則值，曲面上的可微函數(shù)，第一、二基本型*，曲面的定向*、面積，Gauss映照*、法曲率*、Gauss曲率、平均曲率、法截線，

3、Euler公式、Dupin標線、Gauss映照的局部坐標表示、直紋面和極小曲面*，等距對應、共形映照，Gauss絕妙定理*，Gauss-Codazzi方程*，平行移動和測地線、測地曲率及其Liouville公式、Gauss-Bonnet定理及其應用*注：重點用右上標星號標出三、教學內(nèi)容和要求第一章曲線 (6學時）1.1 參數(shù)曲線(1學時）（1）了解：可微，可微參數(shù)曲線，軌跡，切向量，范數(shù)，內(nèi)積1.2 正則曲線、弧長(1學時）（1）理解：奇點，正則，定向；（2）掌握：弧長公式；重點：奇點，正則；1.3 R3中的向量積(0.5學時）（1）理解：定向，正基，外積；1.4 以弧長為參數(shù)的曲線的局部理論

4、(1.5學時）（1）了解：密切平面，法平面，從切平面，主法線，從法線撓率，曲線局部理論的基本定理及其證明；（2）理解：曲率，主法向量，從法向量，曲率半徑；（3）掌握：Frenet標架，F(xiàn)renet公式；重點：Frenet標架，F(xiàn)renet公式，曲率；難點：弧長的參數(shù)化；1.5 局部規(guī)范形式(0.5學時）（1）掌握：將曲線按照Taylor公式展開，只取到2階導；1.6 局部規(guī)范形式(0.5學時）（1）了解：簡單閉曲線，內(nèi)部區(qū)域，正定向；（2）理解：等周不等式；第二章正則曲面 (12學時）2.1 正則曲面；正則值的原像(3.5學時）（1）了解：連通的定義，反函數(shù)定理簡介；（2）理解：正則曲面及其參

5、數(shù)表示，正則曲面的例子，臨界值，正則值；（3）掌握：按定義判定正則曲面，運用隱函數(shù)定理判定正則曲面；重點：正則曲面及其參數(shù)表示；難點：按定義判定正則曲面；2.2 參數(shù)變換；曲面上的可微函數(shù)(2學時）（1）了解：參數(shù)變換，旋轉面，經(jīng)線，緯線，母線，旋轉軸，切線面；（2）理解：參數(shù)變換的證明，可微函數(shù)；重點：可微函數(shù)；難點：參數(shù)變換的證明；2.3 切平面；映照的微分(2學時）（1）理解：映照的微分的例子；（2）掌握：切平面，映照的線性性，映照的同構性；難點：切平面；2.4 第一基本形式；面積(2.5學時）（1）理解：第一基本形式的例子，環(huán)面的面積公式；（2）掌握：第一基本形式，面積公式；重點：第一

6、基本形式，面積公式；2.5曲面的定向(1學時）（1）了解：Mobius帶的不可定向性；（2）理解：定向及其例子，可微單位法向量場；（3）掌握：曲面可定向的判定條件；難點：曲面可定向的判定條件；2.6 面積的幾何定義(0.5學時）（1）了解：細分；（2）理解：曲面的面積公式；第三章 Gauss映照的幾何學 (12學時）3.1 Gauss映照的定義和基本性質(4學時）（1）了解：自伴隨線性映照和二次形式，平面、球面、圓柱面、雙曲拋物面情形的Gauss映照的微分，共軛；（2）理解：Gauss映照的自伴隨性，曲率線，曲面的分類(橢圓、拋物、雙曲)，臍點及其性質，漸近線，Dupin標線（3）掌握：第二基

7、本型，法曲率，法截線，主方向，主曲率,Euler公式，平均曲率，Gauss曲率重點：Gauss映照定義及基本性質，第二基本形式，Euler公式；難點：第二基本形式，Gauss曲率，平均曲率；3.2 局部坐標中的 Gauss映照(4學時）（1）了解：環(huán)面、猴鞍面、旋轉面，可微函數(shù)的圖的平均曲率和Gauss曲率；（2）理解：Weingarten方程，漸近線和曲率線的微分方程；（3）掌握：平均曲率和Gauss曲率的局部坐標表示；第二基本型的應用；重點：Weingarten方程；難點：平均曲率和Gauss曲率的局部坐標表示，Gauss曲率的幾何意義；3.3 向量場(0.5學時）（1）了解：軌線及其唯一

8、性，初積分，積分曲線，向量場的可微性，正交場；3.4 直紋面和極小曲面(2.5學時）（1）了解：直紋面定義，錐面，直紋面公式，腰曲線；（2）理解：直紋面的高斯曲率，等溫曲面，懸鏈面，正螺面，Enneper極小曲面, Scherk極小曲面；（3）掌握：極小曲面及其判定條件；重點：極小曲面及其判定條件；第四章曲面的內(nèi)蘊幾何學 (18學時）4.1 等距對應(2學時）（1）了解：曲面局部理論基本定理簡介，懸鏈面與正螺面的等距對應關系，等溫坐標；（2）理解：等距對應及其例子，等距對應的判定條件，共形映照；4.2 Gauss定理和相容性方程(3學時）（1）了解：旋轉面的Christoffel符號；（2）理

9、解：Christoffel符號，Bonnet定理；（3）掌握：Gauss-Codazzi方程；難點：Gauss-Codazzi方程；4.3平行移動；測地線 (4學時）（1）了解：正則曲線，球面上的平行移動及測地線，正則弧，協(xié)變導數(shù)的代數(shù)值；（2）理解：協(xié)變導數(shù)，沿曲線的向量場，平行移動的性質，平行向量場的唯一性，旋轉拋物面的測地線；（3）掌握：平行移動，參數(shù)測地線，測地線，測地曲率；重點：平行移動，測地曲率，Liouville公式；難點：Gauss-Codazzi方程，測地線微分方程；4.4 Gauss-Bonnet定理及其應用 (4學時）（1）了解：簡單閉參數(shù)曲線，正則弧，切線回轉定理，簡單

10、區(qū)域，正定向；（2）理解：頂點，外角，Gauss-Bonnet定理，三角剖分，Euler示性數(shù)，虧格；（3）掌握：平行移動，參數(shù)測地線，測地線，測地曲率，Gauss-Bonnet定理的應用7例；重點：Gauss-Bonnet定理的應用；難點：Gauss-Bonnet定理；4.5 指數(shù)映照；測地極坐標 (4學時）（1）了解：徑向測地線，測地圓,Minding定理；（2）理解：測地線的伸縮性，法坐標，測地極坐標，Gauss曲率的幾何解釋；（3）掌握：指數(shù)映照及其微分，測地極坐標系下的第一基本形式；重點：指數(shù)映照及其微分；難點：測地極坐標系下的第一基本形式，指數(shù)映照及其微分；四、課程考核（1）作業(yè)等：作業(yè)：8次；（2）考核方式：閉卷考試（3）總評成績計算方式：平時作業(yè)和考勤占10