1、4. 6解三角形掌握余弦定理、正弦定理，并能用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 【教材梳理】1. 正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓的半徑，則類別正弦定理余弦定理文字語(yǔ)言在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等. 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍. 公式eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC). a2b2c22bccosA，b2a2c22cacosB，c2a2b22abcosC. 常見(jiàn)變形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC. (2)sinAeq f(

2、a,2R)，sinBeq f(b,2R)，sinCeq f(c,2R). abcsinAsinBsinC. asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA. cosAeq f(b2c2a2,2bc)，cosBeq f(c2a2b2,2ca)，cosCeq f(a2b2c2,2ab). 2. 三角形常用面積公式(1)Seq f(1,2)aha(ha表示邊a上的高). (2)Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)acsinBeq f(1,2)bcsinA. (3)Seq f(1,2)r(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑). (4)Seq r(p（pa）（pb）（pc）)

3、，即海倫公式，其中peq f(1,2)(abc)為ABC的半周長(zhǎng). 3. 解三角形中的常用術(shù)語(yǔ)(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖). (2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖). (3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角. 北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖). 北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向. 南偏西等其他方向角類似. (4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角). 坡度指坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖，i為坡度，itan). 坡度又稱

4、為坡比. 【常用結(jié)論】4. 常用定理(1)三角形內(nèi)角和定理：在ABC中，ABC，進(jìn)而有eq f(BC,2)eq f(,2)eq f(A,2)等式子. (2)射影定理：在ABC中，abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA. (3)角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例. 即若AD為A的角平分線，則有比例關(guān)系：eq f(BD,CD)eq f(AB,AC). 5. 重要關(guān)系(1)等價(jià)關(guān)系：ABabsinAsinBcosAb. ()(3)在ABC中，當(dāng)b2c2a20時(shí)，ABC為銳角三角形. ()(4)在ABC中，eq f(a,si

5、nA)eq f(abc,sinAsinBsinC). ()(5)在三角形中，已知兩邊和一角，則該三角形唯一確定. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材例題改編)已知ABC中，a4，b4eq r(3)，A30，則B等于 ()A. 60或120 B. 30C. 60 D. 30或150解：因?yàn)閍4，b4eq r(3)，A30，所以由eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)得sinBeq f(bsinA,a)eq f(4r(3)f(1,2),4)eq f(r(3),2)，因?yàn)閍b，所以AB，所以B60或120. 故選A. 在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.

6、若b2c2a2eq f(6,5)bc，則sin(BC)的值為 ()A. eq f(4,5) B. eq f(4,5) C. eq f(3,5) D. eq f(3,5)解：因?yàn)閎2c2a2eq f(6,5)bc，所以cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(f(6,5)bc,2bc)eq f(3,5)，因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以sinAeq r(1cos2A)eq f(4,5)，則sin(BC)sinAeq f(4,5). 故選B. (教材改編)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若aeq r(5)，c2，cosAeq f(2,3)，則b_. 解：由余弦定理a2b2c2

7、2bccosA，得5b244beq f(2,3)，(3b1)(b3)0，解得b3或eq f(1,3)(舍去). 故填3. 考點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用(1)(2021江西南昌市高三期末)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,4)b，ceq f(r(2),2)，則C ()A. eq f(,6) B . eq f(,3) C. eq f(,4) D. eq f(5,12)解：由sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,4)b，可得eq f(r(2),2)(sinAcosA)b，因?yàn)閏eq f(r(2),2)，所以c(sin

8、AcosA)b，由正弦定理得，sinC(sinAcosA)sinBsin(AC)，即sinCsinAsinCcosAsinAcosCcosAsinC，即sinCsinAsinAcosC，因?yàn)閟inA0，所以sinCcosC，可得tanC1，因?yàn)?C，所以Ceq f(,4). 故選C. (2)(2020全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)A)cosAeq f(5,4). ()求A；()若bceq f(r(3),3)a，證明：ABC是直角三角形. 解：()由已知得sin2AcosAeq f(5,4)，即cos2Aco

9、sAeq f(1,4)0，即eq blc(rc)(avs4alco1(cosAf(1,2)eq sup12(2)0，cosAeq f(1,2)，由于0A，故Aeq f(,3). ()證明：由正弦定理及已知條件可得sinBsinCeq f(r(3),3)sinA，由()知BCeq f(2,3)，所以sinBsineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)B)eq f(r(3),3)sineq f(,3)，即eq f(1,2)sinBeq f(r(3),2)cosBeq f(1,2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3)eq f(1,2)，由于0Beq f(2,

10、3)，故Beq f(,2)，從而ABC是直角三角形. 【點(diǎn)撥】 解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系. 由正弦定理求角，注意利用條件判斷角的范圍，即確定是一解還是兩解. (1)ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且acosCeq r(3)asinCbc. 則A. 解：由正弦定理及acosCeq r(3)asinCbc得，sinAcosCeq r(3)sinAsinCsinBsinC，即sinAcosCeq r(3)sinAsinCsin(AC)sinCeq r(3)sinAsinCcosAsinCsinC，因?yàn)閟inC0，所

11、以eq r(3)sinAcosA1sin(A30)eq f(1,2)，因?yàn)?A180，所以30A30150，所以A3030A60. 故填60. (2)(2020臨猗縣臨晉中學(xué)月考)在ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ax，b3，B60，若ABC有兩解，則x的取值范圍是_. 解：由正弦定理得eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(x,sinA)2eq r(3)sinAeq f(x,2r(3)，若ABC有兩解，則sinBsinAeq f(x,2r(3)13x2eq r(3). 故填(3，2eq r(3). 考點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用(1)(2020全國(guó)卷)在ABC中，

12、cosCeq f(2,3)，AC4，BC3，則cosB ()A. eq f(1,9) B. eq f(1,3) C. eq f(1,2) D. eq f(2,3)解：依題意，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcosC4232243eq f(2,3)9 ，即AB3，所以cosBeq f(AB2BC2AC2,2ABBC)eq f(9916,233)eq f(1,9). 故選A. (2)(2021南岸重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月考)在ABC中，若(ac)(sinAsinC)sinB(bc)，則A ()A. 90 B. 60 C. 120 D. 150解：因?yàn)?ac)(sinAsinC)sinB(

13、bc)，由正弦定理得，(ac)(ac)b(bc)，即b2c2a2bc，由余弦定理得，cosAeq f(b2c2a2,2bc)eq f(bc,2bc)eq f(1,2)，因?yàn)锳(0，180)，所以A60. 故選B. 【點(diǎn)撥】 邊、角混合的條件，一般需要先利用正弦定理將其轉(zhuǎn)化為邊(或角)的條件. (1)(2021濱?？h八灘中學(xué)高三期中)在ABC中，已知absinC20sinB，ac9，且cosBeq f(1,8)，則b ()A. 4eq r(2) B. 6 C. 3eq r(5) D. 7解：因?yàn)閍bsinC20sinB，由正弦定理得abc20b，ac20，又ac9，所以b2a2c22accosB

14、(ac)22ac2accosB92220220eq f(1,8)36，所以b6. 故選B. (2)(2021黑龍江大慶中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2c2b2)tanBeq r(3)ac，則角B的值為 ()A. eq f(,6) B. eq f(,3) C. eq f(,6)或eq f(5,6) D. eq f(,3)或eq f(2,3)解：因?yàn)?a2c2b2)tanBeq r(3)ac，所以eq f(a2c2b2,2ac)eq f(r(3)cosB,2sinB)，即cosBeq f(r(3)cosB,2sinB)，所以eq blc(rc)(avs4a

15、lco1(sinBf(r(3),2)cosB0，因?yàn)閠anB有意義，即Beq f(,2)，所以sinBeq f(r(3),2)，在ABC中，Beq f(,3)或eq f(2,3). 故選D. 考點(diǎn)三正、余弦定理的綜合應(yīng)用命題角度1判斷三角形形狀(2020重慶八中期末)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq f(tanB,b2)eq f(tanC,c2)，則ABC的形狀為 ()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形解：因?yàn)閑q f(tanB,b2)eq f(tanC,c2)，所以eq f(sinB,b2cosB)eq f(sinC,c2c

16、osC)，由正弦定理可得eq f(sinB,sin2BcosB)eq f(sinC,sin2CcosC)，即sinBcosBsinCcosC，則sin2Bsin2C，所以2B2C或2B2C，所以BC或BCeq f(,2)，所以ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形. 故選A. 【點(diǎn)撥】 注意等式兩邊的公因式一般不要隨意約掉，而要移項(xiàng)提取公因式，否則有可能漏掉一種形狀. (2020梅河口市月考)對(duì)于ABC，有如下命題：若sin2Asin2B，則ABC為等腰三角形；sinAcosB，則ABC為直角三角形；若sin2Asin2Bcos2C1，則ABC為鈍角三角形. 其中所有正確命題的序號(hào)是_. 解：對(duì)

17、于，因?yàn)閟in2Asin2B，所以2A2B2k或2A2B2k，kZ，因?yàn)锳，B，AB(0，)，故AB或ABeq f(,2)，故ABC為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)閟inAcosB，所以sinAsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)B)，所以Aeq f(,2)B2k或Aeq f(,2)B2k，kZ，因?yàn)锳，B，AB(0，)，故Aeq f(,2)B或ABeq f(,2)，故ABC可為鈍角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)閟in2Asin2Bcos2C1，故sin2Asin2Bsin2C，由正弦定理得a2b2c2，由余弦定理有cosCeq f(a2b2c2,2ab)0，故C

18、為鈍角，所以ABC為鈍角三角形，故正確. 故填. 命題角度2三角形面積計(jì)算(1)(2020荊州中學(xué)月考)已知ABC的三個(gè)角A，B，C成等差數(shù)列，三條邊a，b，c成等差數(shù)列，且b2，則ABC的面積為 ()A. eq r(3) B. 2 C. eq r(5) D. 3解：由題意可得，AC2B，ac2b，由ABC，b2，得Beq f(,3)，ac4，又b2a2c22accosB(ac)23ac，所以ac4，則SABCeq f(1,2)acsinBeq r(3). 另解：采用特值法，依題意，令A(yù)BC為正三角形，則SABCeq f(r(3),4)22eq r(3). 故選A. (2)ABC的內(nèi)角A，B，

19、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosBacosCccosA，b2，則ABC面積的最大值是 ()A. 1 B. eq r(3) C. 2 D. 4解：由正弦定理可得2sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，因?yàn)閟inB0，所以2cosB1，即cosBeq f(1,2)，所以Beq f(,3)，又由余弦定理可得2accosBa2c2b2，即aca2c24，由基本不等式aca2c242ac4，所以ac4，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立，從而SABCeq f(1,2)acsinBeq f(r(3),4)aceq r(3). 故選B. 【點(diǎn)撥】 三角形面積計(jì)算問(wèn)題要選用恰當(dāng)公

20、式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化. 面積最值問(wèn)題，常化為邊的關(guān)系用基本不等式，或化為角的關(guān)系用三角函數(shù)性質(zhì)求解. (1)(2021陜西商丹高新學(xué)校開(kāi)學(xué)考試)在ABC中，a3eq r(2)，b2eq r(3)，cosCeq f(1,3)，則ABC的面積為_(kāi). 解：在ABC中，由cosCeq f(1,3)可得，sinCeq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)eq f(2r(2),3)，所以SABCeq f(1,2)absinCeq f(1,2)3eq r(2)2eq r(3)eq f(2r(2),3)4eq r(3). 故填4eq r(3). (2)已

21、知BC2，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2，則ABC面積的最大值為 ()A. eq r(2) B. 2 C. eq r(3) D. 3解：由eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2，可得ABACcosA2，又由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，因?yàn)锽C2，所以AB2AC28，又因?yàn)锳B2AC22ABAC，所以ABAC4，當(dāng)且僅當(dāng)ABAC2時(shí)等號(hào)成立，又sinAeq r(1cos2A)eq r(1f(4,（ABAC）2)eq f(r(（ABAC）24),ABAC)，所以SABCeq f(1,2)ABACsinAeq f(1,2)eq r

22、(（ABAC）24)eq f(1,2)eq r(424)eq r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)ABAC2時(shí)等號(hào)成立，所以ABC面積的最大值為eq r(3). 故選C. 考點(diǎn)四利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題(1)(2020廣東佛山一中期末)某環(huán)保監(jiān)督組織為了監(jiān)控和保護(hù)洞庭湖候鳥(niǎo)繁殖區(qū)域，需測(cè)量繁殖區(qū)域內(nèi)某濕地A，B兩地間的距離(如圖)，環(huán)保監(jiān)督組織測(cè)繪員在(同一平面內(nèi))同一直線上的三個(gè)測(cè)量點(diǎn)D，C，E，從點(diǎn)D測(cè)得ADC67. 5，從點(diǎn)C測(cè)得ACD45，BCE75，從點(diǎn)E測(cè)得BEC60，并測(cè)得DC2eq r(3)，CEeq r(2)(單位：km)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)km. 解：在ACD中，ACD45，ADC

23、67. 5，CD2eq r(3)，所以CAD67. 5，則ACCD2eq r(3)，在BCE中，BEC60，BCE75，CEeq r(2)，則CBE45，由正弦定理得eq f(CE,sin45)eq f(BC,sin60)，可得BCeq f(CEsin60,sin45)eq f(r(2)f(r(3),2),f(r(2),2)eq r(3). 則在ABC中，AC2eq r(3)，BCeq r(3)，ACB180ACDBCE60，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos609，因此，AB3(km). 故填3. (2)(2021全國(guó)甲卷)2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新

24、高程為8 848. 86(單位：m)，三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一. 如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C滿足ACB45，ABC60. 由點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)B的仰角為15，BB與CC的差為100；由點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45，則A，C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)ACC約為(eq r(3)1. 732) ()A. 346 B. 373 C. 446 D. 473解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHBB，過(guò)點(diǎn)B作BDAA，故AACCAA(BBBH)AABB100AD100，由題，易知ADB為等腰直角三角形，所以ADDB. 所以AACCDB100AB100

25、. 因?yàn)锽CH15，所以CHCBeq f(100,tan15). 在ABC中，由正弦定理得，eq f(AB,sin45)eq f(CB,sin75)eq f(100,tan15cos15)eq f(100,sin15)，而sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30eq f(r(6)r(2),4)，所以ABeq f(1004f(r(2),2),r(6)r(2)100(eq r(3)1)273，所以AACCAB100373. 故選B. 【點(diǎn)撥】 新高考更強(qiáng)調(diào)“學(xué)以致用”，解三角形問(wèn)題是高中階段較為典型的數(shù)學(xué)應(yīng)用，涉及測(cè)距、測(cè)高、測(cè)角等諸多方面. (1)奏唱中華人民共和國(guó)國(guó)歌需要46 s. 某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10eq r(2) m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上. 要使國(guó)歌結(jié)束時(shí)國(guó)旗剛好升到旗桿頂部，則升旗手升旗的速度應(yīng)為 ()A. eq f(3r(3)